(推荐)1.1.3导数的几何意义ppt

1、(推荐)1.1.3导数的几何意义ppt00 f xx就指在某一点处的瞬时变化率复习复习1、什么叫导数？、什么叫导数？2. 如何表示在某一点如何表示在某一点x0处的导数？处的导数？ 表示“平均变化率”其中xy 平均变换率的几何意义是平均变换率的几何意义是 表示曲线上表示曲线上两点连线（就是曲线的两点连线（就是曲线的割线割线）的斜率。）的斜率。 3.由导数的定义可知由导数的定义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处处的导数的步骤是的导数的步骤是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导

2、数回回顾顾 0000,.,?fxfxxxfxxxfx我们知道 导数表示函数在处的瞬时变化率 反映了函数在附近的变化情况 那么 导数的几何意义是什么呢p1p2p3p4pttttpp xfy xfy xfy xfy oyxoyxoyxoyx211 .图图 1 2 3 4 ?,.什么什么是是趋势趋势化化变变的的割线割线时时趋近于点趋近于点沿着曲线沿着曲线当点当点图图如如察察观观nnnnppxfxpxfnxfxp004321211 yxo)(xfy p相切相交pqoxyy=f(x)割割线线切线切线t 请看当点请看当点q沿着曲线逐渐沿着曲线逐渐向点向点p接近时接近时, 割线割线pq绕着绕着点点p逐渐转动

3、的情况逐渐转动的情况. 我们发现我们发现,当点当点q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点p即即x0时时, 割线割线pq有一个极限位置有一个极限位置pt.则我们把直线则我们把直线pt称为曲线在点称为曲线在点p处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时, 割线割线pq的斜率的斜率, 称为曲线在点称为曲线在点p处的处的切线切线的斜率的斜率.即即:xxfxxfxykxx)()(limlimtan0000切线 曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多个.切线切线pl 能否将圆的切线的

4、概念推广为一般曲线的切线：能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。例。不能不能xyo直线与圆有惟一公共点时，直线与圆有惟一公共点时，直线叫做直线叫做圆圆的切线。的切线。所以，不能用直线与曲线的公共点的个所以，不能用直线与曲线的公共点的个数来定义曲线的切线。数来定义曲线的切线。过的切线定义不同。此处切线定义与以前学直线与圆锥曲线有惟一公共点时，直线与圆锥曲线有惟一公共点时，直线叫做直线叫做圆锥曲线圆锥曲线的切线。的切

5、线。 圆的切线定义并不适圆的切线定义并不适用于一般的曲线。用于一般的曲线。 通过通过逼近逼近的方法，将的方法，将割线趋于确定位置的直割线趋于确定位置的直线线定义为切线定义为切线（交点可（交点可能不惟一）能不惟一）适用于各种适用于各种曲线。所以，这种定义曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直才真正反映了切线的直观本质。观本质。 2l1lxyabcxoyy=f(x)p(x0,y0)q(x1,y1)mxy割线与切线的斜率有何关系呢？割线与切线的斜率有何关系呢？xxfxxfkpq)()(xy00割线 即：当即：当x0时，割线时，割线pq的的斜率的极限斜率的极限，就是曲线，就是曲线在点在点p处的处的切

6、线的斜率切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim所以：切线 0 xf 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义，就是曲线线 y=f(x)在点在点p(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点在点p(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是处的切线的斜率是 .)(0 xf 故曲线故曲线y=f(x)在点在点p(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy 导数的几何意义导数的几何意义例例1求抛物线求抛物线y=x2过点过点(1，1)的切线的的切线的斜率。斜率。解：过点解：过点

7、(1，1)的切线斜率是的切线斜率是f (1)= 200(1)(1)(1)1limlimxxfxfxxx 0lim(2)2xx 因此抛物线过点因此抛物线过点(1，1)的切线的斜率为的切线的斜率为2.导数的几何意义的应用导数的几何意义的应用例例2:2210(1)1 (11)|limxxxyx 解：22(1)yx切线方程：20 xy即：求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点p(1,2)处的切线方程处的切线方程.导数的几何意义的应用导数的几何意义的应用202lim2xxxx 例例3求双曲线求双曲线y= 过点过点(2， )的切线方程。的切线方程。1x21解：因为解：因为 00011(2)(2)112

8、2limlimlim2(2)4xxxfxfxxxx 所以这条双曲线过点所以这条双曲线过点(2， )的切线斜率的切线斜率为为 ， 2114由直线方程的点斜式，得切线方程为由直线方程的点斜式，得切线方程为114yx 例例4求抛物线求抛物线y=x2过点过点( ，6)的切线方程。的切线方程。52解：点解：点( ，6)不在抛物线上，设此切线过不在抛物线上，设此切线过抛物线上的点抛物线上的点(x0，x02)，因为，因为5222000000()()()limlimxxf xxf xxxxxx 20002()lim2xxxxxx k= 00202256-xxxk又2300 xx或求得 k=6，或，或k=4.

9、过点（过点（ ，6）的切线方程为）的切线方程为 y-6=6(x- )，或，或y-6=4(x- ).即所求切线方程为即所求切线方程为 y=6x- 9 ，或，或y=4x- 6.252525例例5y=x3在点在点p处的切线斜率为处的切线斜率为3，求点，求点p的坐标的坐标.解：设点解：设点p的坐标的坐标(x0，x03)斜率斜率3= xxfxxfx)()(lim00033000()limxxxxx 22300033()()limxxxxxxx 2220000lim33() 3xxxxxx 3x02=3，x0=1. p点的坐标是点的坐标是(1，1)或或(1，1) .求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1

10、）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 课堂练习：课堂练习：1曲线曲线y=x2在在x=0处的（处的（ ） a切线斜率为切线斜率为1 b切线方程为切线方程为y=2x c没有切线没有切线 d切线方程为切线方程为y=0d2已知曲线已知曲线y=2x2上的一点上的一点a(2，8)，则，则点点a处的切线斜率为（处的切线斜率为（ ） a4 b16 c8 d2c3函数函数y=f(x)在在x=x

11、0处的导数处的导数f (x0)的几的几何意义是（何意义是（ ） a在点在点x=x0处的函数值处的函数值 b在点在点(x0，f(x0)处的切线与处的切线与x轴所夹轴所夹锐角的正切值锐角的正切值 c曲线曲线y=f(x)在点在点(x0，f(x0)处的切线处的切线的斜率的斜率 d点点(x0，f(x0)与点与点(0，0)连线的斜率连线的斜率c5已知曲线已知曲线y=x3上过点上过点(2，8)的切线方程的切线方程为为12xay16=0，则实数，则实数a的值为（的值为（ ） a1 b1 c2 d2b6若若f (x0)=3，则，则（ ） a3 b6 c9 d12hhxfhxfh)3()(lim000d7设设y=

12、f(x)为可导函数，且满足条件为可导函数，且满足条件 , 则曲线则曲线y=f(x)在点在点(1，1)处处的切线的斜率为（的切线的斜率为（ ） a2 b1 c d212)1 () 1 (lim0 xxffx21dxoyy=f(x)pq1q2q3q4t 想方法以直代曲！中的重要思近似代替。这是微积分的切线就可以用过点曲线附近，。因此，在点附近的曲线最贴紧点的切线过点，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比附近，在点观察图像，可以发现，ptpxfpxfpptpxfpqpqxfpqpqxfpqpqp342312继续观察图像的运动过程，还有什么发现？继续观察图像的运动过程，还有什么发现？.,.1416

13、. 3,.以直代曲想方法这是微积分中重要的思附近的曲线点这替近似代切线我们用曲线上某点处的这里近似代替无理数用有理数如例刻画复杂的对象数学上常用简单的对象 .,.,.附近的变化情况附近的变化情况在在述、比较曲线述、比较曲线请描请描据图象据图象根根图象图象的的数数时间变化的函时间变化的函示跳水运动中高度随示跳水运动中高度随它表它表如图如图例例21021056943112tttthttth 0l1l2ltho0t1t2t311 .图图.,的的变变化化情情况况刻刻画画曲曲线线在在动动点点附附近近利利用用曲曲线线在在动动点点的的切切线线 .,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解t

14、htttxh210 .,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt .,.,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt .,.,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll 0l1l2ltho0t1t2t311 .图图hto3t4t 附近的变化情况。、在较曲线根据图像，请描述、比43ttth。数在两点附近单调递增

15、点附近曲线上升，即函，所以在两斜率均大于处的切线的、函数在0tt43附近上升的快速附近比在这说明曲线在处切线的倾斜程度，处切线的倾斜程度大于但是4343tttt 结论：根据导数的几何意义，结论：根据导数的几何意义， 当某点处导数当某点处导数大于零时大于零时，说明在这点的附近曲线，说明在这点的附近曲线是是上升的上升的，即函数在这点附近是，即函数在这点附近是单调递增；单调递增； 当某点处导数当某点处导数小于零时小于零时，说明在这点的附近曲线，说明在这点的附近曲线是是下降的下降的，即函数在这点附近是，即函数在这点附近是单调递减单调递减； 当某点处导数当某点处导数等于零时等于零时，说明是函数的，说明是

16、函数的最值点。最值点。 例例3如图表示人体血管中的药物浓度如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：（单位：mg/ml）随时间）随时间t（单位：（单位：min） 变化的函数图像，根据图像，估计变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。的形式列出。(精确到精确到0.1) .在此点处的切线的斜率曲线tf., 41 . 1时变化率的近似值瞬可以得到此刻药物浓度估计这条切线的斜率利用网格线画出曲线上某点处的切如图 .,.,.41804180 ft所以它的斜率

17、约为处的切线作.,这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬 417004080604020. tft药物浓度的瞬时变化率 它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解：,.,tf1.导数的几何意义导数的几何意义: f (x0)表示在点表示在点x0处切线的斜率处切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2.求某点处切线的方法求某点处切线的方法: (1)先求斜率先求斜率k=f (x0) (2)再用点斜式得到切线方程再用点斜式得到切线方程注意：利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上注意：利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点，表示出切线方程，然后求出切点 （3）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0