基尔霍夫衍射理论

1、标量衍射理论标量衍射理论 信息光学主要研究内容：光波作为载波，实现信息光学主要研究内容：光波作为载波，实现信息的传递、变换、记录和再现问题。信息的传递、变换、记录和再现问题。 标量衍射理论是研究上述问题的物理基础，我们用它来研究光波传播规律。 光波是矢量波。当满足下列条件时，标量衍光波是矢量波。当满足下列条件时，标量衍射理论得到的结果与实际情况十分相符。射理论得到的结果与实际情况十分相符。条件条件：1）衍射孔径比波长大得多；）衍射孔径比波长大得多；2）观察屏离衍射孔径相当远。）观察屏离衍射孔径相当远。通常的光学仪器都满足上述条件！通常的光学仪器都满足上述条件！ dSreKPUCQUjkr 0（

2、1）叠加积分公式表明：观察点叠加积分公式表明：观察点Q的光波分布的光波分布 是是 上上所有单位脉冲在所有单位脉冲在Q点引起的光波扰动的相干叠加。点引起的光波扰动的相干叠加。 QU 基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论 惠更斯惠更斯菲涅耳原理建立在菲涅耳原理建立在“子波子波源源”的假说的假说上。假定子波源振动相位比上。假定子波源振动相位比实际光波在该点的振动超前实际光波在该点的振动超前 。2 惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理（二）亥姆霍兹方程（二）亥姆霍兹方程1. 波动方程波动方程(标量标量)单色光场中任意一点单色光场中任意一点Q的光振动的光振动u满足满足012222 tucu其中其中2222222

3、zyx -拉普拉斯算符拉普拉斯算符将单色光波分布将单色光波分布 tjeQUtQu2, 代入波动方程代入波动方程,得到得到 022QUk-亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程ck 22 说明说明: :1.1. 亥姆霍兹方程与时间变量无关，因此多用于解决单色光场的空间分布。亥姆霍兹方程与时间变量无关，因此多用于解决单色光场的空间分布。2.2. 我们今后假定，在自由空间传播的任何单色光波的光场分布必须满足亥姆我们今后假定，在自由空间传播的任何单色光波的光场分布必须满足亥姆霍兹方程。霍兹方程。基尔霍夫衍射理论所要解决的问题基尔霍夫衍射理论所要解决的问题解决的方法：利用格林定理，通过解决的方法：利用格林定理，通过假

4、定衍射屏的边界条件，求解波动假定衍射屏的边界条件，求解波动方程，得到方程，得到基尔霍夫衍射公式。基尔霍夫衍射公式。 光场中任意一点光场中任意一点Q的复振幅能否用光场中其他各点的复振幅能否用光场中其他各点的复振幅表示出来？的复振幅表示出来？比如：通过孔径平面的场分布计比如：通过孔径平面的场分布计算孔径后面任意一点的复振幅。算孔径后面任意一点的复振幅。基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式 dSrernrnreajQUjkrjkr 2,cos,cos10000 点光源点光源P0照明平面屏幕照明平面屏幕因此有因此有（1）孔径平面上的光波分布是）孔径平面上的光波分布是P0点发点发射的单色球面波产生的；射的单

5、色球面波产生的； 0000jkreraPU 与惠更斯与惠更斯菲涅耳衍射积分公式比较：菲涅耳衍射积分公式比较： dSrernrnreajQUjkrjkr 2,cos,cos10000 dSreFPUcQUjkr ,00 惠更斯惠更斯菲涅耳衍射积分公式菲涅耳衍射积分公式可以看出：可以看出： 常数常数 jc1 倾斜因子倾斜因子 2,cos,cos,00rnrnF 基尔霍夫假设：基尔霍夫假设：衍射公式的适用范围：衍射公式的适用范围：任意单色光波照明孔径的情况。任意单色光波照明孔径的情况。因为任意复杂的光波都可以看成是简单球面波的线性组合。因为任意复杂的光波都可以看成是简单球面波的线性组合。因此，上式中

6、的因此，上式中的 可以理解为在任意单色光照明下对可以理解为在任意单色光照明下对孔径平面产生的光场分布。孔径平面产生的光场分布。 PU0（1）在）在 上，上， PU0与无屏时一样；与无屏时一样；（2） 外，外， 00PU衍射公式的积分限可以被扩展到无穷，即：衍射公式的积分限可以被扩展到无穷，即： dSreFPUQUjkr ,00 光波传播的线性性质光波传播的线性性质令令 QPhreFjjkr,10 dSreFPUjQUjkr ,100 基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式（1）则（则（1）式化简为）式化简为 dSQPhPUQU,0 （2）说明说明：（：（2）式是叠加积分，它的物理意义是）式是叠加积分

7、，它的物理意义是P点有一个单位脉冲，它在观察点点有一个单位脉冲，它在观察点Q造成的光波造成的光波分布是分布是 ，它被称为脉冲响应。，它被称为脉冲响应。 QPh,叠加积分公式表明：观察点叠加积分公式表明：观察点Q的光波分布的光波分布 是是 上所有单位脉冲在上所有单位脉冲在Q点引起的光波扰动的相干叠加。点引起的光波扰动的相干叠加。 QU条件条件：（1）点光源）点光源P0足够远，且入射光在孔径平面上各点的足够远，且入射光在孔径平面上各点的入射角都不大。入射角都不大。 （2）观察平面与孔径平面的距离）观察平面与孔径平面的距离z远大于孔径，且在远大于孔径，且在观察面上仅仅考虑一个对孔径上各点张角不大的范

8、围。观察面上仅仅考虑一个对孔径上各点张角不大的范围。满足以上条件，则有满足以上条件，则有 rejQPhjkr 1, 脉冲响应：脉冲响应： 002202000,exp1,;,yyxxhzyyxxjkzjyyxxh 对对r进行二项式展开并化简，有进行二项式展开并化简，有 20202yyxxzr 显然，脉冲响应具有空间不变的函数形式。显然，脉冲响应具有空间不变的函数形式。 无论孔径平面上子波源的位置如何，它所产生的无论孔径平面上子波源的位置如何，它所产生的球面子波的形式是一样的。球面子波的形式是一样的。 2202000exp1,zyyxxjkzjyyxxh yxhyxUydxyyxxhyxUyxU,

9、0000000000 上式表明：孔径平面上透射光场和观察平面上光场之间上式表明：孔径平面上透射光场和观察平面上光场之间存在一个卷积关系。存在一个卷积关系。衍射屏的新定义衍射屏的新定义在波动光学中，一般认为衍射屏就是在不透明屏上开各种各样的孔。在波动光学中，一般认为衍射屏就是在不透明屏上开各种各样的孔。如今，我们将如今，我们将“能引起衍射的障碍物能引起衍射的障碍物”统称为衍射屏。统称为衍射屏。例如：例如：障碍物的振幅障碍物的振幅以一定的分布衰减；（以一定的形式限定波面的变化）以一定的分布衰减；（以一定的形式限定波面的变化）障碍物的相位障碍物的相位延迟；（衍射屏的光学厚度发生变化）延迟；（衍射屏的

10、光学厚度发生变化）或两者兼而有之。或两者兼而有之。表示衍射屏的光学性质的一个重要参数是：表示衍射屏的光学性质的一个重要参数是：复振幅复振幅透过率透过率，有些场合里有些场合里 又称为孔函数或瞳函数，一般用又称为孔函数或瞳函数，一般用 或或 表示。表示。 Ptzyxt,前前后后 PUi PUt衍射屏衍射屏定义：定义： PUPUPtit常用衍射屏的透过率函数表示常用衍射屏的透过率函数表示： 2,2 . 0,yxrectyxt（1）一个矩形孔）一个矩形孔 的衍射物的衍射物222 . 0mm（2）平行）平行y轴的单狭缝，轴的单狭缝，x轴上宽度为轴上宽度为a。 x 1, axrectyaxrectyxt（3）双缝光栅，如图）双缝光栅，如图aa02d2d 12/2/, adxrectadxrectyxt常用衍