3.2.1几类不同增长的函数模型word版含答案

1、ruize3.2函数模型及其应用3. 2.1几类不同增长的函数模型目标1.了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用；2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较；3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题.重点几类不同函数模型增长的含义及差异.难点如何选择数学模型分析解决实际问题.要点整合夯基础/档国通过向前自主学习.他合知识.梳理主T.夯然因M知识点三类不同增长的函数模型的比较填一填1 .三类函数模型的性质y -铲(n > 0)增长的速度图象的变化越来越快随刀增大逐渐增大相对平稳随尤增大逐渐增大相对平稳随n值不同而不同2 .函数 y=ax(a>1

2、), y= logax(a>1)或 y= xn(n>0)增长速度的对比(1)对于指数函数y= ax(a>1)和募函数y=xn(n>0),在区间(0,+8)上，无论n比a大多 少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn,但由于 少的增长快于xn的增长,因此总存在一 个xo,当x>xo时，就会有ax>xn.(2)对于对数函数y= logax(a>1)和募函数y=xn(n>0),在区间(0,十8)上，尽管在x的一 定范围内，lOgax可能会大于xn,但由于lOgax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0 ,当X>X0时，就会有logax<x

3、n.(3)在区间(0, 十°°)上，尽管函数 y=ax(a>1), y=logax(a>1)和 y=xn(n>0)都是增函数， 但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着 X的增大，总会存在一个 X0,当 X>X0 时，就会有 logax<xn<aX答一答1,函数y=x2与y = 2X在(0, +8)上增大情况有何区别？提示：在同一坐标系内画出函数y=2X和y=x2的图象，如图:2X>x2,有时 x2>2X,但是当自变量越来越大时，可以看到2X的值快速增长，x2比起2X来，几乎是微不足道的.丫=2*与丫=乂2图象在(

4、0, 十8)上有两个交点 化,4), (4,16).当x>4时，y = 2X的增长速度远远快于 y = x2的增长速度.2,在函数y=3x, y= log3x, y=3X, y= x3中增长速度最快的是哪一个函数？提示：y=3X.3 .当0<a<1, n<0时，如何比较 ax, logax, xn的大小？提示：总会存在一个X0,使X>X0时，logax<ax<xn,而当X<X0时，ax, logax, xn的大小不 确定.M典例讲练破题型木村F1通过映堂冲球兀动.索艇重点.削折址点.伞挖突破类型一函数模型增长差异的比较例1函数f(x) = 2X和

5、g(x)= X3的大致图象如图所示，设两函数的图象交于点A(X1,y1),B(X2, y2),且 X1<X2.(1)指出曲线Ci, C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图象，比较 f(8), g(8), f(2 011), g(2 011)的大小.分析观察图象特 点找区别比较同一函数 的不同函数值 大小比较相同自变量不同函数的函数一结论 值大小解(1)曲线C1对应的函数为g(x)=x3,曲线C2对应的函数为f(x)=2x.(2)-.g(1) = 1, f(1) = 2, g(2)=8, f(2) = 4, g(9)=729, f(9)=512, g(10) = 1 000, f(10)

6、 = 1 024, .f(1)>g(1), f(2)<g(2), f(9)<g(9), f(10)>g(10), . 1<x1<2,9<x2<10, .,.x1<8<x2<2 011.由图象可知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x);当x>x2时，f(x)>g(x),且g(x)在(0,十叼上是增函数，. .f(2 011)>g(2 011)>g(8)>f(8).通法提炼除了根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断，还可以根据图象进行判断.，根据图象判断增长型的指数函数、对数函

7、数和备函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最 “陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.变式训练1四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i= 1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1 (x) = x2 , f2(x)=2x, f3(x)=log2x, f4(x)=2x,如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(D )A . f1(x) = x2B . f2(x) = 2xC. f3(x)=log2xD. f4(x)= 2x解析：对比四种函数的增长速度，当 x充分大时，指数函数增长速度越来越快，因而最终物体4会

8、在最前面，故选 D.类型函数增长模型差异的应用例2某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励， 且奖金y（单位：万元）随生源利润x（单 位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过 3万元，同时奖金不超过利润的 20%.现有三个 奖励模型：y=0.2x, y=log5x, y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求？分析作出函数图象 一 |观察图象得到结论解借助工具作出函数 y=3, y=0.2x, y=log5x, y=1.02x的图象（如图所示）.观察图象可知，在区间5,60上，y=0.2x, y=1.02x的图象都有一

9、部分在直线y=3的上方，只有y= log5x的图象始终在y= 3和y= 0.2x的下方，这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合学校的要求.不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律:2指数函数增长模型适合1线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律;于描述增长速度急剧的变化规律；3对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；4哥函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.因此，需抓住题中蕴含的数学 信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题变式训练2 一天，李先生打算将 1万元存入银行，当时银行提供两种计息方式：一是单利，即只有本金生息，利息不再产生利

10、息，年利率为4%;二是复利，即第一年所生的利息第二年也开始计息，年利率为 3.6%.已知利息税率为 20% （即所产生的利息中应扣除作 为利息税上交国家的部分），问李先生应选用哪种计息方式？解：若年利率为r,则扣除利息税后，实际利率为0.8r.按单利计息，则第n年的本息为10 000（1 + nX 0.8 X 0.04） = 10 000（1 + 0.032n）（元）；按复利计息，则第 n 年的本息为 10 000（1 + 3.6% X0.8）n= 10 000X1.028 8n（元），列表如下（单位：元）年数12345单利10 32010 64010 96011 28011 600复利10

11、28810 58410 88911 20311 525年数678910单利11 92012 24012 56012 88013 200复利11 85712 19912 55012 91213 283从上表可以看出，若存款年数不超过8年，应选用单利计息； 若存款年数超过 8年，则应选用复利计息.|J课堂达标填经典事校n题过M堂”k达标*巧傩”靴.强堪枪熊.全皿假升1 .当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是（A ）A. y=2xB. y= 1 000x+ 50C. y= x100D. y=log100x解析：根据指数型函数增长速度最快知，当x越来越大时，y=2x的增长速度最快.C.对数函数

12、 D.指数函数解析：从函数图象可以看出，随自变量的增大，函数增长越来越慢，因此是对数函数图象.3.某航空公司规定，乘客所携带行李的质量（kg）与其运费（元）由如图所示的一次函数确定，那么乘客可免费携带行李的最大质量为运费(元M 930A63033030 40 50 质量(kg)B. 16 kgD. 30 kgA. 19 kgC. 25 kg30k+ b=330,解析：将点(30,330)与(40,630)代入 y= kx+b 得得 k = 30, b= 570,40k+ b=630,. y=30x 570.令 y=0 得 x= 19.4,当 2Vx<4 时，log2x,2x, x2 的大

13、小关系是 x2>2x>log2x.解析：令 x= 3 得 x2>2x>log2x.5.根据函数f(x) = 2x, g(x)=2x, h(x)=log2x给出以下命题:f(x), g(x), h(x)在其定义域上都是增函数；f(x)的增长速度始终不变；f(x)的增长速度越来越快；g(x)的增长速度越来越快；h(x)的增长速度越来越慢.其中正确的命题序号为.解析：f(x) = 2x的增长速度始终不变，g (x)的增长速度越来越快，而h(x)的增长速度越来越慢，故只有正确.图谈课堂小结本课须掌握的两大问题1 .三类函数增长的比较在区间(0, +8)上，尽管函数 y=ax(a

14、>1), y= logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数，但 它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着 x的增大，y=ax(a>1)的增长速度 越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，而 y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个 x°,当x>x0,就有log ax<xn<ax.2 .函数模型的选取：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.（3）募函数模型y=xn（n>0）则可

15、以描述增长幅度不同的变化，n值较小（nW 1）时，增长较慢；n值较大（n>1）时，增长较快.温馨提示学习至此，请完成课时作业 25学科素养培优精品微保堂图象信息迁移问题V开讲啦函数图象在实际生活中能反映某些事件的变化情况和趋势，它具有简单、明了的特点，是高考中常考的一种类型题，下面通过例题体现函数图象的实际应用.典例一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫.下列各图中能基本上反映出亮亮这一天（0时24时）体温的变化，情况的是（)解析观察图象A,体温逐渐降低，不合题意；图象B不能反映“下午体温又开始上升”；图象D不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”，故选C.-=-=-=答案=-=-=