在中学数学中,关於轨迹的讨论,主要有两类

1、轨迹问题的探究性学习韦辉樑2011/09在中学数学中, 关于轨迹的讨论，主要有两类: "几何轨迹" - 是指由一个几何结构中的动点而产生的轨迹图形。"方程的轨迹" - 是指由代数方程 f(x, y) = 0的解集G=p=(x, y)| f(x, y) =0, xÎD 所构成的图像。构成几何轨迹的要素有3: 几何结构, 主动点, 轨迹点，而轨迹点是受几何结构约束的。构成方程轨迹的要素有2: 定义域D和方程 f(x, y) = 0。 几何轨迹的的学习是初三的课程，方程轨迹的学习是高二的课程，当中包括了用方程来描述几何轨迹的问题 - 求几何轨迹的方程

2、。研究几何轨迹的方法是: 1. 根据给定的条件, 设计并作出相关的几何结构； 2. 作出轨迹图形。由于初中课程的限制，结果并不要求推导轨迹方程，重要的是设计并作出相关的几何结构。研究方程轨迹的方法是:1. 根据给定的条件, 由公式或其他方法，建立能表达该条件的数学方程 f(x, y) = 0和定义域D；2. 解方程、描点，得到轨迹的图像。高中课程的重点是建立方程。建立方程要靠数学思维、数学方法和演译推理，最好还是用人脑纸笔作业。解方程和作图主要是一些大量的重覆而繁琐的工作, 宜借助电脑完成。如果研究的是几何轨迹的方程，则首先要作出相关的几何结构，作出几何轨迹，这有助于建立方程的思考，并对所得方

3、程进行检验 - 方程轨迹与几何轨迹是否重合。无论是作几何结构或函数图像都要借助工具，下面问题将在DM_Lab环境中进行探究。一. 几何轨迹的探究几何轨迹的探究着重在几何结构的设计。下面以 "平面内到两定点距离之“和、差、积、商”为定值的点的轨迹"为例。1. 平面内到两定点距离之和为定值的点的轨迹操 作参 考 图 例说 明方法11. 用作两点F1和F2；2. 用以F1为心作圆F1,半径R> |F1F2|;3. 用在圆周上取一点A;4. 用作线段AF1,AF2;5. 用作AF2中垂线BC交AF1于C;6. 选蓝色，用跟踪点C;7. 用点一下A点，建立自动动画。8. 暂存1

4、. 这样的几何结构需要证明其满足给定的条件。易证: CF1+CF2 = CF1+CA = R= 定值。2. 可用缩放圆的半径，改变定值。方法21. 用作两点F1和F2;2. 用作线段AB, 使得:|AB| > |F1F2|3. 用在AB上取一点C;4. 用作线段AC和CB;5. 用作以F1为心,AC为半径的圆F1;6. 用作以F2为心,CB为半径的圆F2;7. 用作两圆交点P1和P2;8. 蓝色，用跟踪点P1,P2;9. 用点一下C点，建立自动动画。10. 暂存1. 这样的几何结构显然有P1F1+P1F2 = AC+CB = AB= 定值。2. 移动A或B可改变该定值。2. 平面内到两定

5、点距离之差为定值的点的轨迹操 作参 考 图 例说 明方法11. 取出 "和" 1.的图;2. 用缩小圆F1,至半径R< |F1F2|;3. 用点一下A点，建立自动动画。4. 暂存1, |CF2-CF1| = R = 定值。2. 可用缩放圆的半径，改变定值。方法21. 取出 "和" 2.的图;2. 移动B点, 缩小AB的长度, 使 |AB| < |F1F2|3. 用改AB为直线;4. 用点一下C点，建立自动动画。5. 暂存1. |CA-CB| = AB =定值。2. 移动A或B可改变该定值。3. 如果图像在顶点附近有断裂,可取消自动动画, 改为

6、手动慢动作拖动C点的移动。注 符合条件的几何结构不是唯一的，这里只是其中的两例，更多的方法可以让学生去探究和讨论，这有助于提高学生几何知识的运用和数学的思维能力，有助于学生数学素养的培育。3. 平面内到两定点距离之积为定值的点的轨迹操 作参 考 图 例说 明方法11. 用作两点F1和F2;2. 用作线段AB, 使得: |AB| > |F1F2|3. 用在AB上取一点C;4. 用连结AC;5. 测量AC长度，得变量a；6. 在参数监察栏输入: d = 37. 在参数监察栏输入: b=d/a8. 用作线段DE=b;9. 用作以F1为心,DE为半径的圆F1, R1=DE;10. 用作以F2为心

7、,AC为半径的圆F2, R2=AC; 11. 用作两圆交点P1和P2;12. 红色，用跟踪点P1,P2;13. 用点一下C点，建立自动动画。1.R1·R2 = DE·AC = a·b=d=定值。2. 修改d的值, 例如改 d=5，可改变该定值。4. 平面内到两定点距离之商(比)为定值的点的轨迹操 作参 考 图 例说 明方法11. 用作两点F1和F2;2. 用作线段AB； 3. 用在AB上取一点C;4. 用连结AC;5. 用作以F1为心,AC为半径的圆F1, R1=AC;6. 用作以F2为心,AB为半径的圆F2, R2=AB; 7. 用作两圆交点P1和P2;8. 红

8、色，用跟踪点P1,P2;9. 用鼠标慢慢拖动B点移动。1. C是线段AB的内分点，当A或B移动时，C的分比不变。即AC:AB=定值。R1:R2 =AC:AB = 定值。2. 移动C的位置, 可改变该定值。注 以上是一些几何轨迹的例，这些轨迹都是由特定的几何结构产生的。设计这些几何结构，要根据给定的条件，再运用几何知识或有关几何定理，很考究心思。产生同样轨迹的几何结构不是唯一的，这里有广阔的创意空间。可以成为小组讨论或创意活动的课题。几何轨迹一般是按排在初三课程的后期，多数几何内容学过之后进行，因此也可以作为对前面知识的拓展应用。例如：运用圆幂定理，设计一个能产生 "到两点距离之积为常

9、量" 的点的轨迹。学生首先要回忆圆幂定理讲的是什么。圆幂定理包括三条定理，其中之一叫相交弦定理。如下图：圆O上两弦AB和DE相交于C点，则EC·CD = AC·CB。如果A、B、C不动，让D点绕圆周一圈，则有EC·CD = AC·CB=常量。而EC和CD却是变量。如果以EC和CD为半径作两个圆，两圆不要离的太远，让它们能相交，则交点到两圆心的距离之积就是一个常量。那么，交点的轨迹满足题目条件，就是所求。操 作参 考 图 例说 明11. 用作圆O；2. 用作弦AB，A、B在圆周上；3. 用在AB上取一点C；4. 用作CD，D在圆周上；5. 用作C

10、D与圆O交点E；6. 用连结EC；7. 用作两点F1和F2;8. 用作以F1为心,EC为半径的圆F1, R1=EC;9. 用作以F2为心,CD为半径的圆F2, R2=CD; 10. 用作两圆交点P1和P2;11. 红色，用跟踪点P1,P2;12. 用点一下D点，建立自动动画。1.R1·R2 = EC·CD = AC·CB=定值。2. 移动C的位置, 可改变该定值。3. 完成后再玩一玩：用点一下C点，出现的是一条怎样的轨迹?二. 函数轨迹的探究所谓函数的轨迹，就是方程的曲线，主要是解方程描点。这交给电脑去做好了，探究的空间只是参数对图像的影响。这是高中课程的内容。下

11、面以 "平面内到两定点距离之“和、差、积、商”为定值的点的轨迹"为例。1. 平面内到两定点距离之和为定值的点的轨迹操 作参 考 图 例说 明方法11. 开启座标格线，作座标轴，显示刻度。2. 从工具打开函数作图；3. 用作两点F1和F2；4. 测量点F1的x、y座标得变量a和b；5。测量点F2的x、y座标得变量c和d；6. 测量点F1到F2的距离，得变量e；7. 在函数输入栏输入：hf=>sqrt(x-a)2+(y-b)2)+sqrt(x-c)2+(y-d)2) = k8. 设k为参数，要初值 > 变量e；9. 用让函数动起来.。观察：参数k对图像的影响。 +2

12、. 差、积、商 的作图方法几乎完全相同，只是输入函数不同而以，这里从略。下面只给出图例。要注意的是参数k要有适当的范围，不是任意的k值都有图像。原因留给学生去思考。差积商(比)hf=>abs(sqrt(x-a)2+(y-b)2)-sqrt(x-c)2+(y-d)2)=k参数K的初终值都要小于变量e。hf=>sqrt(x-a)2+(y-b)2)*sqrt(x-c)2+(y-d)2)=k受DM_Lab精度的限制，参数K的初值最好>=2。hf=>sqrt(x-a)2+(y-b)2)/sqrt(x-c)2+(y-d)2)=k参数K可取(0,5)试试。三. 求几何轨迹的方程解析几

13、何学习中较困难的要数求轨迹的参数方程了，题目一般是没有附图的，图形要学生自己画图，图形画不好不但使解题无从着手，而且还可能形成误导。获得答案后，也难以验证。此处给出3例，可作为解题和验证的参考。例1. 如图，圆O(0,0)的半径 R = 5，A是圆周上一点，自A向x轴作垂线，垂足为B，沿OA方向截取OC = AB，求C点轨迹方程。作图1. 用，作圆O，以(0, 0)为心，5为半径；2. 用，在圆周上取一点A；3. 用，作ABx轴；4. 用，沿OA截取OC=AB；5. 选择颜色，用跟踪C的轨迹；操作 : 拖动A点移动，画出点C的轨迹。解:(1) (2) |OC| = |AB| = 5|sin|

14、(3) (4) 轨迹方程: 验证 1. 在函数输入栏输入 tf=> x=5*abs(sin(t)*cos(t), y=5*abs(sin(t)*sin(t) ，（按Enter）例2 . 过椭圆 上一点 P(-8, 0)作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹。作图1. 用，作椭圆O，其中a = 8，b = 6；2. 用，在x轴上作一点 P (-8, 0)；3. 用，作线段PQ，Q在椭圆上；4. 用，作PQ中点M；5. 选择颜色，用跟踪C的轨迹；操作 : 拖动A点移动，画出点C的轨迹。解: 椭圆的参数方程: 由Q在椭圆上=>，由已知 ，设PQ中点为M(x, y) = ，=> M点轨

15、迹的参数方程: ，消去参数 => 验证: 在函数输入栏输入 tf=> x=4*cos(t)-4, y=3*sin(t) ，按Enter思考: 如果M是PQ的2/3分点，则轨迹及方程又如何 ?例3. 已知 :1. 原点O(0,0)，圆O半径为 4，2. 点A在x轴上: A(5,0)3. 点B在圆周上，4. CD为AB中垂线，CD长为 4求: D点的轨迹方程作图1. 用，作圆O，以(0, 0)为心，4为半径；2. 用，在x轴上作一点 A (5, 0)；3. 用，作线段AB，B在圆O上；4. 用，作AB中点C；5. 用，作CKAB，6. 用自由线段，利用网格作一线段a = 4；7. 用x

16、 1，沿CK截取CD = a；8. 选择颜色，用跟踪D的轨迹；操作 : 拖动B点在圆周上滑动一周，画出点D的轨迹。解: (1) 写出A、B、C各点座标:A = (5, 0)B =( 4cos, 4sin)(2) 写出向量由CDCB，|CD| = 4得:(3) 写出D点座标 - D点轨迹的参数方程:由得: 验证1. 在函数输入栏输入 tf=> x=(5+4*cos(t)/2+16*sin(t)/sqrt(5-4*cos(t)2+(4*sin(t)2), y=2*sin(t)+4*(5-4*cos(t)/sqrt(5-4*cos(t)2+(4*sin(t)2) ，按Enter拓展：本题，如果B点不在圆周上，而在函数 y = sin x 曲线上， 求D点轨迹的参数方程。求轨迹的方程这一类问题，首先用