许昌大学线性代数期末试题及答案解析

1、许昌大学线性代数期末试题+答案解析一、填空题（每空3分，共15分）得分评阅人1、D0 10 50 2 2 63 3 0 70 4 0 8-722、设 i (2,3,5), 2 (3,7,8), 3 (1, 6,1)，若2 i 2 3 3，则(-2,17,-1).1 233、设A为三阶可逆矩阵，且A10 12 ,则A4、若n阶方阵A有一个特征值2,则2E A 05、如果二次型 f(x1,x2,x3) x12 x22 5x32 2txix22x1x3 4“x3是正定的，则t的取值范围是 4 t 0.5二、选择题（每小题3分，共15分）得分评阅人kx1X2x30xkx2x30仅有零解，则（C ）2x

2、1x301、若齐次线性方程组(A) k 4 或 k 1(B) k 4 或 k 1(C) k 4 且 k 1(D) k 4 且 k 12、1, 2，s(s 2)线性无关的充分必要条件是(D )(A)都不是零向量(B)任意两个向量的分量不成比例(C)至少有一个向量不可由其余向量线性表示(D)每一个向量均不由其余向量线性表示3、A,B均为n阶方阵，下列各式中成立的是(D )222(A) (A B) A 2AB B(B) (AB) AB(C)设 AB 0 ,则 A 0 或 B 0(D)若 A AB 0 ,则 | A 0 或4、设n阶方阵A的秩r n ,则在A的n个行向量中(A )(A)必有r个行向量线

3、性无关(B)任意r个行向量均可构成最大无关组(C)任意r个行向量均线性无关(D)任一行向量士可由其它r个行向量线性表示5、n阶方阵A可与对角矩阵相似的充分必要条件是(A )(A) A有n个线性无关的特征向量(B) A有n个不同的特征值(C) A的n个列向量线性无关(D) A有n个非零的特征值三、计算题(每小题9分，共63分)得分评阅人1、设A为4阶方阵，A :求3A 4A3解:A |A A 1 ：A 1,分3A4A33A14A 13A(3)81 73243.2、计算n阶行列式11 1011 01rT10 J L1101 11D解:Drrnr1 (n 1)2131rn1n(n 1)-2-(n 1

4、)(n2-2)所以0 f 3 1131X 1 f 3 2020.-0-5311一9分3、已 知 向1 (1,1,1,1), 2(1, 1,1, 1), 3(1,3,1,3), 4 (1, 1, 1,1).11113111113102011 0001000(1)求1, 2, 3, 4的一个最大无关组(2)将其余向量用此最大无关组线性表示解：用这些向量作为列向量得矩阵 A,并对其施行初等行变换11A ( 1 , 2 , 3 , 4 ),11-2分4、设AX B X,其中A0101 11 ,B1 01112 0 ，求 X.53解：由 AX B X,得(E A)X B.2分故X (E-3分A)1B.(

5、EA)12323131313135、线性方程组2x1Xi又2X27x1 2x27x1 x2X3X3 2x3X3X4X44x45x4,当a,b为何值时有解？在有解的情况下,求其解.解：对增广矩阵施行初等行变换21111111121111211 221224a 715 b71 a b21江7193 a 1462 b 143 3r2 1 04 2 r2 012 3 0 01 r2 0 00f11i100a500b8当a 5且b 8时，R(A) R(B) 2,方程组有解。此时，方程组的一般解为令 X3 ki,X4X1X2XX3X4X1X2X3X41 1X41 X313 X4X3X4k2,并写成向量形式

6、即得方程组的通解1100ki0110k22 31 301R.6、已知矩阵A00相似.(1)求 X.求可逆矩阵P,使P1APB.解：由于A与B相似，则2.因此，矩阵A的特征值为10, 23,2.对于0,对应的特征向量为(11,0)对于3,对应的特征向量为(0,0,1)对于2,对应的特征向量为(1,1,0)1 0 1P ( 1, 2, 3)101,0 1 0则0P 1AP 3 B. 9 分27、化二次型 f(x1,x2,x3) x110取 P011 001-7分 2x1x2 2x1x3 2x22 4x2x3 为标准形，并写出对应 的可逆线性变换.解：对二次型f进行配方得2f(x1，x2,x3) (

7、x1 x2 x3)22(x2 %)2x3于是通过可逆变换xPy, f化为标准形yXx2x3x1y1y2令y2x2x3, 即 x2y2y3 ,y3x3x3y3-6分f y；黄 2y2.9 分四、证明题（7分）得分评阅人aii呢a13已知实矩阵Aa2ia22a23满足条件：a31a32a33(1) ajAj(i,j 1,2,3)，其中Aj是aj的代数余子式;(2) aii0.证明：A 1.证明：'/aj Aj(i, j 1,2,3), , A A.一1分从而 A | |A|A.- 2分3 12又 A A A ,- 3分所以|A |A2,一4分因此，A 0或|A 1.- 5分将A按第一行展开得：7分Aa11A11