2020年安徽省中考数学二轮复习专题突破五：函数的实际应用(含答案)

1、专题五函数的实际应用专题类型突破类型一最大利润问题卧（2018 安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆,售后统计，盆景平均每盆利润是160元，花卉平均每盆利润是19元.调研发现： 盆景每增加1盆，盆景平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景平均每盆 利润增加2元；花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共 100盆，设培植的盆景比第一期增加 x盆， 第二期盆景与花卉售完后的利润分别为 W, W（单位：元）.（1）用含x的代数式分别表示 W, W;（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？【分析】（1）分别用含x的代数

2、式表示第二期培植的盆景和花卉的数量，根据 利润=每盆的利润X数量可求解；（2）先根据 W W+ W用含x的代数式表示 W 并配成顶点式，再结合抛物线的开口方向、自变量x的取值范围和x是正整数可求出W的最大值.【自主解答】【方法点拨】1.一般由表格求二次函数的表达式常用的方法就是待定系数法;2.求二次函数的最值常将二次函数配方，然后根据开口方向和对称轴求最值.【难点突破】 本题的难点是如何正确运用二次函数的顶点式及自变量的实际意 义确定最大值.1. （2019 黔东南州）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某

3、种土特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030y（袋）252010若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？2. （2019 合肥38中一模）大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市.已 知超市中某商品的进价为每件 20元，售价是每件30元，每个月可卖出180件； 如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须 低于34元

4、.设每件商品的售价上涨x元（x为非负整数），每个月的销售利润为 y元.(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量 x的取值范围；(2)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ 利用函数关系式求出每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？这时每件商品的利润率是多少？3. (2019 辽阳)我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值

5、范围；(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用 450元，当销售单价为多少时，该公 司日获利最大？最大获利是多少元？y（ F 克）30 50 # 兀4. （2019 潍坊）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态 水果拓宽了市场.与去年相比，今年这种水果的产量增加了1 000千克，每千克的平均批发价比去年降低了 1元，批发销售总额比去年增加了 20%.（1）已知去年这种水果批发销售总额为 10万元，求这种水果今年每千克的平均 批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销 售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低

6、3元，每 天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为 w元，当每千克的平均销售价为 多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其他费用忽略不计.）5. （2019 合肥行知中学一模）肥东县八斗镇某小龙虾养殖大户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为 6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系为：p =1，4t+ 16 （1<t <40, t 为整数），日销售量y（千克）与时间t（天）之间的函2t+46 （41<t <80, t 为整数）， 数关系如图所示:yf T 克O I 80 “天(1)求日销售量y与

7、时间t的函数关系式？ 哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m(m<7) 元给村里的特困户.在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t的 增大而增大，求m的取值范围.类型二最优方案问题触(2019 鸡西)为庆祝中华人民共和国七十周年华诞， 某校举行书画大赛，准 备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生.已知购买 2个甲种文 具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费 30元.(1)求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？(2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金

8、不少于955元又不多于1 000 元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？(3)设学校投入资金 W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最 少资金是多少元？【分析】(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个 甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共 需花费30元”列方程组解答即可；(2)根据题意列不等式组解答即可；(3)求出W与x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可.【自主解答】1. (2019 山西)某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡 200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30

9、元.方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费 40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为 x次，选择方式一的总费用为 中(元)，选 择方式二的总费用为y2(元).(1)请分别写出yi, y2与x之间的函数表达式.(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数 x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.2. (2018 连云港)某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地石专.经过调查，获取信息如下：购买数量低于5 000块购买数量不低于5 000 块红色地石专原价销售以八折销售蓝色地石专原价销售以九折销售如果购买红色地石专4 000块，蓝色地石专6 000块，需付款86 00

10、0元；如果购买红色地石专10 000块，蓝色地石专3 500块，需付款99 000元.(1)红色地石专与蓝色地石专的单价各多少元？(2)经过测算，需要购置地石专12 000块，其中蓝色地石专的数量不少于红色地石专的一半，并且不超过6 000块，如何购买付款最少？请说明理由.4. (2019 泸州)某出租汽车公司计划购买 A型和B型两种节能汽车，若购买 A 型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车 15辆，共需700万元.A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？(2)该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A 型汽车的数量少于B型汽车的数

11、量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案 所需费用.类型三抛物线型问题例3 ( 2018 合肥45中一模)为了迎接“六一”儿童节的到来，某校七年级进行 集体跳大绳比赛.如图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是抛物线 的一部分，记作G,绳子两端的距离AB约为8米，两名甩绳同学拿绳的手到地 面的距离AC和BD基本保持1米，当绳甩到最低点时刚好擦过地面，且与抛物 线G关于直线AB对称.(1)求抛物线G的表达式并写出自变量的取值范围；(2)如果小华同学站在CD之间，且距点C的水平距离为m米，集体跳绳时当跳绳摇至最高处时，小华头顶离地面的距离始终为1.5米，并且不会碰到绳.求出m的取值范围.【分析

12、】(1)首先确定A, B和顶点E的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2)求得当y = 0.5时，对应的x的值，则m的取值范围即可求得.【自主解答】1. 有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面BC的宽为10米，拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4米，点。是BC的中点，如图，以点。为原点，直线 BC为x轴，建立平面直角坐标系xOy.(1)求该抛物线的表达式；(2)如果水面BC上升3米至水面EF(即OA= 3),点E在点F的左侧，求水面宽 度EF的长.2. （2018 滨州）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单

13、位：m）W飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y= 5x2 +20x,请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15 m时，飞行时间是多少？在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？3. (2019 庐阳区二模)天然生物制药公司投资制造某药物，前期投入了部分资金.企划部门根据以往经验发现，生产销售中所获总利润y随天数x(可以取分数)的变化图象如下，当总利润到达峰值后会逐渐下降，当利润下降到0万元时即为止损点，则停止生产.(1)设y = ax2+bx+c(a ?0),求出最大的利润是多少？(2)在(1)的条件

14、下，经公司研究发现如果添加m名工人(7wmc 15),在工资成35293 本增加的情况下，总利润关系变为 y = ax mx-2m+ -1.请研究添加m名工人后总利润的最大值，并给出总利润最大的方案中的 m值及生产天数.t w万元类型四 几何面积最值问题晒（2018 福建）如图，一个矩形菜园 ABCD 一边AD靠墙（墙MNK为a米，MN>AD）,另外三边用总长100米的不锈钢栅栏围成.一.J-J R ADffC（1）当墙a=20米时，矩形ABCD勺面积为450平方米，求A冰；求矩形ABCDS积的最大值.【分析】（1）由矩形面积公式列方程求解；（2）设AD= y米，同（1）列出面积关 于y

15、的函数关系式，注意a的取值范围，分类讨论.【自主解答】II炼1. (2019 安徽模拟)如图，某住宅小区有一块矩形场地ABCD AB= 16 m, BC=12 m,开发商准备对这块地进行绿化，分别设计了五块地，其中 两块形状大小相同的正方形地用来种花，两块形状大小相同的矩形地 用来种植草坪，为矩形地用来养殖观赏鱼.(1)设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为y m (2019 合肥二模)某社区决定把一块长50 m,宽30 m的矩形空地建成居民 健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同 的矩形)，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m, 不大于26

16、 m,设绿化区较长边为x m,活动区的面积为y m2.为了想知道出口宽 度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于 14 m,算出x<18.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量 x的取值范围；(2)求活动区的最大面积；, AG长为x m,求y与x之间的函数 关系式；(2)求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值.斤A EB(3)预计活动区造价为50元/m：绿化区造价为40元/m：若社区的此项建造投资费用不得超过72 000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？Tin30 jiiF I 50 tu -参考答案【专题类型突破】类型一【例11解：(1)培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有

17、(50 + x)盆， 花卉有(50x)盆，W= (x+50)(160 2x) = 2x2 + 60x+ 8 000;W= 19(50x) = 19x +950.(2)W=W+ W _2 _= (-2x +60x+8 000) + (-19x+950) =2x2 + 41x+ 8 950= -2(x-41)2+9 160：. 482< 0,抛物线开口向下.又.0<x<50,且x是整数，当 x=10 时，Wt大= 2X(10 41)2+9 1601=9 160(元)； 48，一41 21一当 x=11 时，Wft大=2X(11 - -) +9 1608= 9 151(兀).综上所

18、述，当x=10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大利润是9 160元.跟踪训练1.解：(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量 y(袋)与销售价x(元)的函数 关系式为y = kx + b得25=15k + b,20=20k + b,解得k=T, b = 40.故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为:y= x + 40.(2) 依题意，设利润为w 元，得w= (x 10)( -x+40) = -x2+50x-400, 整理得 w= (x25)2+225,: 一 1<0,当x = 25时，w取得最大值，最大值为225.故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的

19、销售价应定为 25 元，每日销售的最大利润是225 元2 .解：(1)y = (30-20 + x)(180 -10x) =- 10x2+80x+1 800(0<x<4,且 x 为整数 ) (2)y = 10(x4)2+ 1 960,一 10<0,当x<4时，y随x的增大而增大，0Wx<4,且x为整数，可得当x=3时，y最大=1 950,答：每件商品的售价为 33 元时，商品的利润最大为 1 950 元(3)1 920 = 10x2+ 80x+ 1 800 ,x2 8x+12 = 0,即(x 2)(x 6) = 0,解得x = 2或x = 6,/0<x<

20、; 4,x= 2.(3220)+20X 100险 60%.当售价为32元时，每个月的利润为1 920元，每件商品的利润率为60%.3 .解：(1)设一次函数关系式为y=kx + b(k?0)解得k= -2,b=200,由图象可得，当x=30时，y=140; x = 50时，y=100, 140 = 30k+ b,100 = 50k+b,.y与x之间的关系式为 y= - 2x + 200(30 <x< 60).(2)设该公司日获利为W阮，由题意，得W= (x 30)( 2x+ 200)-450=- 2(x 65) 2+2 000 ,抛物线开口向下.对称轴x = 65,当x<65

21、时，W遁着x的增大而增大.V30< x<60,x=60时,W有最大值，Wfc大值= -2X(60- 65) 2+ 2 000 = 1 950.即销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1 950元.4.解：(1)由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为(x +1)元.今年的批发销售总额为10(1 +20%)= 12万元.120 000 100 000整理得 x219x120=0,解得x = 24或x= 5(不合题意，舍去)故这种水果今年每千克的平均批发价是24元.（2）设每千克的平均售价为 m元，依题意由（1）知平均批发价为24元，则有41 m2(m

22、i- 24)( - X 180+ 300) = 60m + 4 200m 66 240 ,整理得 w 60(m 35)2 + 7 260.a= 60<0,抛物线开口向下，二当m= 35元时，w取最大值，即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7 260 元.5.解：（1）设y与t的函数关系式为y = kt+b,将（1 , 198）、（80 , 40）代入,/曰 k + b=198, 80k+ b=40,解得k= -2,b=200,/.y=-2t+200(1 <t<80, t 为整数).(2)设日销售利润为w,则亚=(p6)y,当 1wt W40 时，

23、w= (> +16 6)( -2t + 200) = -2(t 30)2+2 450. 当 t =30 时， w最大=2 450;当 41<t <80 时，w= ( 1t +46 6)( 2t+200) = (t -90)2- 100. a=1>0,抛物线开口向上, 当 t =41 时，w最大=2 301.V2 450 >2 301 , 第30天的日销售禾（J润最大，最大禾I润为 2 450元.、 ，一 1 设前40天小龙虾的实际日销售利润为 w,得后qt +16 6 m)(2t +200) = -2t2 + (30 + 2m)t + 2 000- 200m其函数

24、图象的对称轴为t=2m 30,.w随t的增大而增大，且iwtw40,由二次函数的图象及其性质可知 40< 2m 30,解得m> 5,又 m<7,. 5<m<7.类型二【例2】 解：(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意，得2a+b=35,a+3b= 30,解得a=15, b= 5,答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元.(2)根据题意，得 955< 15x+ 5(120 x) <1 000 ,解得 35.5<x<40.x是整数，.x=36, 37, 38, 39, 40.,.有5种购买方案.(3)W=15x +5(12

25、0-x) =10x + 600,V10> 0,.W随x的增大而增大，当 x=36 时，Wfc小=10X 36+ 600= 960(元)120 36=84.答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是 960元.跟踪训练1 .解：(1)当游泳次数为x时，方式一费用为：yi = 30x+200,方式二的费用为: y2 = 40x;(2)由 yi<y2得:30x+200<40x,解得x>20时，当x>20时，选择方式一比方式二省钱.解得a = 8, b=10.2 .解：(1)设红色地石专每块a元，蓝色地石专每块b元.由题意，得:4 000a + 6

26、 000b x 0.9 =86 000 ,10 000a X0.8 + 3 500b = 99 000 ,答：红色地石专每块8元，蓝色地石专每块10元.(2)设购置蓝色地石专x块，则购置红色地石专(12 000 x)块，所需的总费用为 y 元.一一 1由题意知 x>2(12 000 -x),得 x>4 000.又.xW6 000,蓝色地石专块数x的取值范围为4 000<x<6 000.当 4 000<x<5 000 时，y=10x + 8X0.8(12 000 -x) =76 800 +3.6x.x=4 000时，y有最小值91 200.当 5 000<

27、;x<6 000 时，y=0.9 X 10x+ 8X0.8(12 000 x)=2.6x+76 800.x=5 000时，y有最小值89 800.答：购买蓝色地石专5 000块，红色地石专7 000块，费用最少，最少费用为89 800元.3 .解：(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元,4x+7y=310, 依题意，得：解得10x+15y = 700,答：A型汽车每辆的进价为25万元x=25,y=30,B型汽车每辆的进价为30万元.设购进A型汽车m辆，购进B型汽车(10 m)辆，根据题意得:m<10- m,25m+ 30 (10n) <285,解得：3

28、<m< 5,Vm是整数，. m= 3 或 4.当m= 3时，该方案所用费用为：25X3+30X7= 285(万元)；当m= 4时，该方案所用费用为：25X4+30X6= 280(万元).答：最省的方案是购买 A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元.类型三【例3】(1)如解图所示，建立平面直角坐标系.CD地面由题意可知 A( 4, 0), B(4, 0),顶点 E(0, 1),设抛物线G的表达式为y=ax 2 .厂一帚+1. + 1,A( 4, 0)在抛物线G上，一 1 16a+ 1=0,解得 2=-16.自变量的取值范围为4<x<4.1 2(2)当

29、y= 1.5 1=0.5 时，-x + 1=0.5 ,解得 x=±242,贝U m的取值范围是4-2 2<m« 2 2.跟踪训练1.解：(1)设抛物线表达式为y = ax2+c,由题意可得图象经过点(5 , 0) , (0 , 4),4c 4,a 一 ,则解得 2525a+c = 0,c = 4.故抛物线的表达式为y= 7x2+4. 25(2)由题意可得y = 3时，3= 袅2+4, 25一 5 一解得 x = ± 2，故 EF= 5.答：水面宽度EF的长为5 m.2 .解：(1)当 y=15 时，15= 5x2+20x,解得，x1=1, X2=3,答：在飞

30、行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s;(2)当 y = 0 时，0= 5x2+20x,解得 x1 = 0, X2= 4.40 = 4,在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 4 s ;(3)y = 5x2 + 20x= 5(x2)2+20,则当x = 2时，y取得最大值，此时，y=20,答：在飞行过程中，小球飞行高度在第 2 s时最大，最大高度是20 m.3 .解：(1)由图象可知过点(0, 45), (5, 0), (45, 0),1c= 45，a=-5，则 25a+5b+ c = 0,解得、b= 10,2 025a+45b+c = 0,_c = 45,. y

31、= - 1x2+ 10x-45= - 1(x -25)2+ 80. 55x=25时，y最大为80万元.答：最大的利润是80万元.工 小1由(1)知a=-55则总利润关系变为 y = ；x2 mx- mr 5241 5m2 5 2293=5(x万)+4(m-14m -5-),;设 栏4(m2- 14m293),则m= 7为该函数的对称轴，V7<mc 15,二次项系数为正，二当m= 15时，w值最大，75 , 一一 一一， 一二当x=W时，y有最大值，最大值为92万兀，75答：增加15人，在第5天总利润最大为92万元.类型四【例4】解：(1)设AD= x米，则BO x米,11 tAB= CD= 2（100 x） = （50 x）米，、-1依题后有：x（50 x） = 450,整理得 x2100x+ 900= 0,解得 x=90 或 x=10. MNka=20, MN>AQ.x= 90不合题意，舍去.x=10,即 AD长为 10米.1.设 AD= y,则，AB= CD= （502丫）米，y>0,满足 150-2y>0,解得 0<y<100,设矩形ABCD勺面积为S,则：11 212S=