基本不等式高考历年真题

1、温馨提示：高考题库为 Word 版，请按住 Ctrl ，滑动鼠标滚轴，调节合适的 观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点 20】基本不等式2009 年考题当且仅当ba即aab1 时 “ =成”立，故选择 B.22.（ 2009 天津高考）设x,y R,a1,b 1,若ax b y3,a2 3,则 1x1 的最大值为（yA.23B.2C.11D.2解析】 选 C. 因为 axby3,xlog a 3,y log b 3log 3 abalog3(b2b） 2 1（当且仅1.（ 2009天津高考）设 a 0,b 0.若 3是3a与3b的等比中项，则 1 1 的最小值为（ ） ab1A 8B

2、4C 1D4解析】选 B.因为 3a3b3 ，所以a b 1 ，1111baba(ab)()2224，abababab当 a=b= 3 时等号成立 ）3.（ 2009 重庆高考）已知0,b0 ，则 1ab1 2 ab 的最小值是A2B 2 2D51解析】 选 C. 因为 1a2 ab1b 2 abC4ab)4 当且仅当 1a1，b且ab ，即 ab 时，取 “ = 号”。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4.（ 2009 湖南高考）若 x（0, ）则 2tanx+tan（-x）的最小值为22【解析】 由 x (0, ) ，知 tan 0, tan( ) cot2210,所以 tan2ta

3、n tan( ) 2tan 1 2 2, 当且仅当 tan2 tan2 时取等号，即最小值是 2 2 。2答案： 2 225. ( 2009 湖南高考)若 x 0 ，则 x的最小值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.mx22【解析】 Q x 0 x 2 2 ，当且仅当 x x 2 时取等号 . xx答案： 2 226. ( 2009 湖南高考)若 x 0 ，则 x 的最小值为 .x 22【解析】 选Q x 0 x 2 2 ，当且仅当 x x 2 时取等号 . xx答案： 2 27. ( 2009 江苏高考)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为

4、m 元，则他的满意度为m ；如果他买进该产品的单价为 n 元，则他的满意度为 n .如果一个人m a n a对两种交易 (卖出或买进 )的满意度分别为 h1和h2 ，则他对这两种交易的综合满意度为h1h2 .现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12元和 5元，乙生产 A、B两种产品的单件成本分别为 3 元和 20元，设产品 A、B的单价分别为 mA元和 mB元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙3(1)求h甲和h乙关于 mA 、 mB的表达式；当 mAmB时，求证： h甲=h乙；53(2)设mAmB，当 mA 、 mB分别为多

5、少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度5为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为 h0 ，试问能否适当选取 mA 、mB的值，使得 h甲 h0和h乙 h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。解析】 (1)mA 3mB时， h甲53mB5 BmB3mB 12 mB 52 mB(mB 20)(mB 5) ,h乙35mBmB3mB 3 mB 20mB2(mB 5)(mB 20)h甲 = h乙3甲乙两人同时取到最大的综合满意度为10。53）由（ 2）知： h0= 105由 h甲 =mAmA 12 mB 5mBh010得：5mA 12mAmB 5 52，mB令3mA5 x, mBy,

6、则 x、141,1，即：(14x)(1y)同理，由h乙h010 得：5(1x)(1 4y)另一方面，x、114,114x、1+4y 2,5,x、1+y 52,2,(1 4)(1 y)525,(1 x)(14y)5, 当且仅当 x2y 1 ，即 mA = 3 mB 时，取等号。45由(1)知mA = 3 mB5x时 h 甲 =h 乙所以不能否适当选取mA、mB 的值，使得 h甲h0和 h乙 h0同时成立，但等号不同时成立。8（. 2009 湖北高考） 围建一个面积为 360m2 的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙 （利用旧墙需维修） ， 其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为

7、 2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费 用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x（单位：米 ），修建此矩形场地围墙的总费用 为 y（单位：元） 。（）将 y 表示为 x 的函数： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。2 【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为 a m,则 y2 =45x+180（x-2）+180 2a·=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 a=360 ,23602所以 y=225x+x360(x0) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(

8、II) Q x 0, 225x36022 225 3602 1080023602y 225x 360x360210440 .当且仅当 225x= 360 时，等号成立 .x即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元 .2008 年考题1、（ 2008 四川高考）已知等比数列 an中 a2 1，则其前 3项的和 S3的取值范围是A)(, 1B)( ,0) U(1, )C) 3, )D) ( , 1 U 3,解析】选 D. 方法1：等比数列 an 中 a21 当公比为1 时， a1a2 a31，S33；当公比为1 时， a11,a2 1,a31 ， S31从而淘汰（A

9、）（ B）（C）故选 D；方法 2： 等比数列 an 中 a21 S3 a1a2 a3 a2 (1q 1q)1 q 1q 当公比 q0时，方法 3：S3 1 q 1q1 2 q 1q3；当公比 q0时，S3 1 ( q 1q), 12 q( 1q)1 S3 ( , 1U3, ) 故A251x (xx0)函数f (x)B2、（ 2008 重庆高考）由双勾函数 y xS3 x 1x x1 的最大值为1x的图象知，1x2或xx1, 2，故选 D解析】 选 B. f （x）3、（ 2008 浙江高考）已知A.ab, 12B.解析】 选 C.由 a厖0,b成立 a2 b2 2 。4、（ 2008 陕西高

10、考）A充分不必要条件CD11x 1xa 厖0,bab120,且 a18”是0,且a当且仅 xb 2,则 (C. a2 b2 22b 2 4 (a b)2对任意的正数 x， 2xB必要不充分条件1x，D.b21时取等号） 。故选 B 。b2 , 3222ab, 2(a2 b2) ，当且仅当 a=b=1 时等号ax 1”的（）C充要条件D既不充分也不必要条件解析】 选 A.a 81 2x ax 2x 81x21，另一方面对任意正数 x， 2x xa1只要 2x ax 厖2 2x a 2 2a 1a1 ，所以选 A.85、（ 2008 江西高考）若0a1 a2,0b1b2, 且a1 a2 b1 b2

11、1 ，则下列代数式中值最大的是（A a1b1 a2b2Ba1a2 b1b2C a1b2 a2b1D12解析】选 A.a1a2b1b2 ,a1b1a2b2(a1b2a2b1)a1b1a2b2 (a1b2a2b1)(a1 a2 )b1(a1 a2 )2(2)(b1b2 )2 122(a1 a2)b2 (a2 a1 )(b2b1) 01 (a1 a2)(b1 b2 ) a1b1a2b2 a1b1 a2b1 ,2(a1b1 a2b2 ) a1b1a2b2 12 2 21(x 0), 则 f(x)6、（年安徽高考）设函数f （x） 2xA有最大值B有最小值C是增函数D是减函数解析】 选 A . x 0

12、2x 0, 1 0 ， xf(x)2x 1 1 ( 2x) x1x） 1 ，由基本不等式2 2 1有最大值.f (x) ( 2x) ( 1x) 1, 2 ( 2x)( 1x)7、( 2008 江苏高考) x, y,z R ,x 2y3z2y0, 的最小值为 xz解析】 本小题考查二元基本不等式的运用。x 2y3z 0得 yx 3z2，代入 y 得 xz22x 9z 6xz 6xz 6xz3 ，当且仅当 x4xz4xz3z 时取=。”答案:38、（2008 湖北高考 ）.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分） ，这两栏的面积之和为 18000cm2,四周

13、空白的宽度为 10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸 （单位： cm ），能使矩形广告面积最小？解析】 方法 1：设矩形栏目的高为 a cm，宽为 b cm ，则 ab=9000.广告的高为 a+20，宽为 2b+25，其中 a>0，b> 0.广告的面积 S(a+20)(2b+25)2ab+40b+25a+500 18500+25a+40b 18500+2 25a ? 40b =18500+ 1000 ab 24500.当且仅当 25a40b 时等号成立，此时 b=5a,代入式得 a=120，从而8b=75.即当 a=120，b=75 时,S取得最

14、小值 24500.故广告的高为 140 cm, 宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小x20， y 25, 其中 x>20，y>25225,方法 2：设广告的高为宽分别为 x cm， y cm ，则每栏的高和宽分别为 两栏面积之和为 2（x20） y 25 18000 ,由此得 y=180002 x 20 1800018000广告的面积 S=xy=x（25） 25x,x 20x 20整理得 S= 360000 25（x 20） 18500.x 20因为 x20>0，所以 S2 360000 25(x 20) 18500 24500. x 20当且仅当 360000 25（

15、x 20） 时等号成立，x 20 18000此时有 （x 20）214400（x>20），解得 x=140，代入 y=+25,得 y175，x 20即当 x=140，y175时， S取得最小值 24500，故当广告的高为 140 cm ，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小2007 年考题1.（ 2007 上海高考）已知a,b 为非零实数，且b，则下列命题成立的是22A、 a bB、 ab2 a2bC、aba2D、baab解析】 选C. 若 a b220 a b ，A 不成立；aba2b2ab ,B 不成立；若 a=1， b =2 ，则 b 2,a 1a b 2ab ,所以D不成立

16、 ,故选C.2.（ 2007 重庆高考）a是 1+2b与 1-2 b的等比中项，则2ab|a|的最大值为（ ）2|b|25A.152B.45C.5D.解析】 选B.a是1+2b与 1-2 b的等比中项，则1 4b222a2 4b2 1 4|ab |.1 2 2 2|ab| .Q a2 4b2 (|a| 2|b|)2 4|ab| 1.42ab 2ab 2|ab|4( ab)2|a| 2|b| 1 4|ab| 1 4|ab| 1 4|ab|444|ab| (ab)(|a1b|22)2 411 Q|ab| 41 |a1b| 4,32函数242abmax |a| 2|b|3.（ 2007 山东高考）1xa (a 0，a 1） 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线mx ny 10(mn0）上，则 1 1 的最小值为mn解析】 函数 ya1 x (a0, a 1） 的图象恒过定点A(1,1)，方法一）：m方法二）2 mn2，1) (mnn)0，1，m,n 0 ，1211mn22214（当且仅当 m=n= 时等号成立） .214（当且仅当 m=n= 时等号成立） .216答案： 4.4（. 2007 山东高考） 函数