《求多边形内角和》之四步教学探讨

1、求多边形内角和之四步教学探讨 1 定位 探究 建模 运用 求多边形的内角和之四步教学探讨 一、立足教材，整体把握 求多边形的内角和是运用探索三角形内角和的经验来探索四边形的内角和。教材编 者通过研讨四边形的内角和后，再次借助统计表的形式，将图形、边数、内角和编排在 一起，引导学生在探究过程中发现多边形的求内角和规律，从而获得合情推理的经验。 为了更好地达成教学目标，笔者立足于教材内容本身，课前做好如下准备： （一）理解设计意图，明确培养目标 本单元教材删去了实验教材中"图形的拼组'这一内容，主要有两点原因：义 务教育数学课程标准（2021 年版）在"课程内容'

2、;的第一学段提出"会用长方形、正 方形、三角形、平行四边形或圆拼图'。因此，修订后的数学教材在一年级初步认识平 面图形后，就安排了这一 内容。本单元重点在于 探讨三角形的数学特征， 进一步认识三角形的性 质，而拼组活动与三角形 的特征关联不大。 而用例 7 替换了实 验教材中"图形的拼组' 这一内容。例 7 主要是让 学生利用探索三角形内 2 角和的经验探索四边形内角和，从而让学生"了解四边形的内角和是 360 度'的基础上, 并鼓励有余力的学生，进一步扩展到探索五边形、六边形等多边形的内角和，引导 学生探究规律，从而培养学生简单的推理能力

3、。 （二）抓准重点突破，重在操作发现 在探究多边形内角和的过程，给予学生足够的时间和空间，通过两个层次来突破重 难点。第一层次：先引导学生充分利用探究"三角形内角和'的方法求"四边形内角和'。 学生的最初感觉就是利用"剪拼'的方法，把四个内角拼成一个"周角'，进而得出给 论。而教学过程中，应重点引导学生通过发现"三角形与四边形的内在联系'，即四边 形可以分成 2 个三角形。再通过"指和观察'两图中的内角，发现四边形的内角和就是 2 个三角形的内角和。 第二层次：指导学生想办法求出六边形的

4、内角和，目的让学生对转化思想方法的巩 固。在探索过程中，学生可能出现"剪 拼'的方法，顺势让学生直观体会使 用剪拼方法会出现重叠部分是不便 于得出结论；接着，再次让学生经历 "转化方法'去探索结论，从而体会 转化方法在数学学习上的优势。 二、优化教学，循序渐进 深入研读教材、钻研教法，充分做足课前准备，是有效落实教学目标的重要保障。 本课教学，笔者重在引导学生进行动手操作、自主探究多边形的内角和的学习方法指导; 教学方法上重在运用"转化与优化'的数学思想进行课堂教学。在课堂教学中，熟悉和 灵活运用多种教学方法，不仅有助于学生借助已有的知识经

5、验探索对未知知识的理解， 理清数学知识之间的内在联系，而且能提高学生解决数学问题的思维能力和技能技巧。 因此，笔者将多种的教学方法通过自身的研读与优化，循序渐进地引领学生掌握与运用 建构的数学模型，在实践中应用，形成解决问题的方法，同时培养了学生的数学能力， 发展了学生的数学素养。 3 （一） 直观引入 问题的导向性能激起学生对 数学知识的探究欲望，因为学生 已有了探索三角形内角和的经 验，教学时，笔者直截了当地抛 出问题：四边形的内角和是多少 度？前面的学习学生对四边形的学习已有了较深入的认识，包括四边形的分类，和这些 特殊四边形：长方形、正方形、平行四边形、梯形等图形特征，并有意识地让学生

6、观察 图形，说出长方形、正方形的各个内角的度数，然后让学生计算出特殊四边形内角和的 度数是 360 度。此时设疑问难："那么一般的四边形的内角和是否也和长方形、正方形 的内角和都是 360 度呢？ '再追问："可以用什么方法求出一般四边形的内角和呢？'本 环节从特殊的四边形内角和入手，给学生提供一个直观观察与猜想的教学平台，从而引 导学生经历获取数学知识过程的重要性，也渗透了数学上分类验证的思考方法，避免数 学教学和数学习的片面性。 （二） 操作验证 问题的指向性有利于启发学生进一步求实知识的正确性，并激发学生在实践中寻找 答案。而动手操作是一种特殊的认知活

7、动，在操作的过程中可以让多种感官参与学习， 加深对知识的理解，学到获取知识的方法。在操作中，学生利用已有经验对四边形内角 和进行动手操作与探究，课堂中学生呈现出多种解决问题的方法，具体的四种求和方法 如下: 方法一：量角 方法二：剪拼 4 学生经历了不同层面的多种解决方法，动手操作验证证明，得出结论：一般的四边 形内角和的度数也是 360 度。直观引入、操作验证充分体现出知识的形成过程；充足的 操作与探究时间，能让学生大胆求证，学生在操作、探索活动中获取知识，发展能力。 （三）对比优化 针对学生呈现的多种方法，教者对其让学生进行"对比一一讨论一一优化'数学 上"优化

8、思想'是学习数学的重要思想方法，教师要引导学生在解决问题时面对多种可 行的策略、方案或答案中筛选优化，寻找一种最佳的策略，以培养学生的数学能力。经 过学生讨论得出：方法一量角时容易出现误差；方法二剪拼时花费时间长，易受到外因 条件对操作的影响；方法三简单易懂，观察发现：四边形的 4 个内角和与 2 个三角形的 6个内角和是相对应的，总和等于 360 度；方法四将四边形分成的 4 个三角形后，发现 4个三角形的所有内角和比原来四边形的内角和多了一个"周角'，同样可以求出内角和， 比起前两种方法，后两种方法更方便快捷，更科学有理，容易得出结果。 通过对比，学生清楚地总结得

9、出：把四边形分成 2 个三角形，求四边形的 4 个内角 和就是求 2 个三角形的内角和，等于"180 度 x2=360 度'。最后，在回顾与反思中，让 学生进一步感受到：不管是特殊的四边形，还是一般的四边形的内角和都是 360 度的普 遍性。本环节学生不但体会到自我经历探索知识的成功感，而且学会在多种方法中筛选 最佳方案的策略，进一步培养学生解决问题的能力。 三、适度迁移，促成建模 学生在教学学习过程中不仅要掌握基础的数学方法与知识，还应当具备一系列的数 学思维，迁移就是其中一种重要的思维方法，它能够对相同性质问题做到及时联系，提 方法三：分成两个三角形 方法四：分成四个三角

10、形 高学生对相同特性问题的分析能力，从而可以推进自我学习向着更高的层次发展。本课 教学重点、难点在于让学生通过"画一画'，把多边形分成若干个三角形，利用三角形 内角和求出多边形的内角和，并从中发现多边形与三角形的关系，形成数学模型。 （一）放手探索，初步总结 在探索完四边形的内角和后，再次追问：你能想办法求出下图中多边形的内角和吗？ 学生有了丰富的求证经验，快速独立地完成。但这 次受到条件的限制，又有了刚才"优化方法'的导 向，同学们只选择了 "画一画'的方法去寻找解决 办法，而非"量角'与"剪拼'的方法

11、。出现有多 种画法，如右图： 在充分肯定学生的个人见解后，引导学生发现：计算六边形的内角和时，同样可用 求四边形的方法，把求六边形的内角和转化成已学的三角形或四边形的内角和来计算。 学生对多边形内角和的计算方法有了更进一步地了解与掌握，有利于下面各种多边形内 角和模型的构建。 （二）归纳类比，成功建构 2021 年版数学课程标准关于数学建模教学，指出："要从学生已有的生活经验 出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程'。因 此，在教学过程中，学生经历探究活动之后，教学上教者有目的让学生发现、提出、分 析和解决问题，在边数增加变化中让学生在解决问题的过

12、程中感悟数学知识蕴藏的模型 与规律。 课中教学层层推进，学生根据表格中的辅助线提示，顺理成章地观察发现：从一个 顶点出发向对角连线，可以把多边形分成有比边数少 2 的三角形个数，即得出：多边形 的内角和=（边数-2）x180，从而发现了转化后的三角形个数与多边形之间的关系。 6 解决问题的方法总是多样的，根据学生在探究四边形和六边形内角和时发现的方 法，顺势出示第二种规律，即：从多边形中间的一点与每个顶点连接起来（如下图）， 得到的三角形个数与多边形的边数一样多，但分成的所有三角形内角和比原多边形的内 角和多出一个中心角，为"一个周角'。因此，引导学生观察表格中的数据，发现得

13、 出：多边形的内角和=边数 x180 -360的数学模型。 一个个的探究活动，加深学生对转化思想的运用，在多次的观察、分析、比较当中， 合理地推导出多边形内角和的规律，并对比当中的数字，挖掘出知识间的联系，成功建 立多边形内角和的数学模型，寻找出解决问题的方法。 四、综合运用，深层提升 学习是为了更好地应用，更好地解决问题。为了做到灵活运用已学知识，本环节设 计了两道题不同层次的练习题，做到有的放矢，难易得当，层层推进。 先设计了一道基础题：运用"模型'公式，让学生检验"模型'并应用。求五边形 的内角和？八边形？ 11 边形？目的让学生能学以致用，并利用规律

14、，快速地解决问题， 从而体会自己探索知识并获取知识的喜悦感。 再设计了一题有思考价值的题目（如右图），设计本题 的意图是考查学生是否懂得灵活运用已学知识。由于学生 的年龄特征直观性较强，对较复杂几何图形之间的关系难 以发现，另外学生的推理能力较薄弱。因此，在解题过程 中，大部分学生会错误地认为：图形中的每个小三角形都 是等边三角形，而要求的匕 1 至匕 6 的和刚好是 6 个 60 相加的和，等于 360 。 7 显然，从图中可见，学生的判断是错误的，解题的 思路与方法也是错误的。这时，借助电脑增加"辅助符号'，停顿不语，等学生仔细观 察分析后，追问："这 6 个红

15、色角是哪个图形的内角？它们与分别 z1.z2.z3.z4. z5.z6 又有什么关系？ '在老师的追问下，有部分学生从图中发现了： 6 个红色角就 是图形中间六边形的 6 个内角和；而 z1.z2、匕 3、匕 4、匕 5、匕 6 分别与每个相邻的 红色角形成一个平角，这样就找到了 6 个平角。通过老师的追问与学生的分析，借助图 形的直观，学生明白了：求 z1 + z2+z3+z4+z5+z6= ( ) ，就是先求出 6 个平角的度数，再求出六边形的内角和，即利用了本节课的新学知识：(6 2)x180 = 720求六边形的内角和，最后用 6 个平角减去六边形的内角和就是问题的答案了。 学生在解题过程中，通过思考与点拨进