newCh2-1导数的概念ppt课件

1、 21 导数的概念 22 函数的求导法则 2 23 3 高阶导数高阶导数 2 24 4 隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数2 25 5 导数的简单应用导数的简单应用2 26 6 函数的微分函数的微分2.1 2.1 导数的概念导数的概念一、导数概念的引入一、导数概念的引入二、导数的定义二、导数的定义三、单侧导数三、单侧导数四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系一、导数概念的引入一、导数概念的引入求函数变化率的两个实例求函数变化率的两个实例实例实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度质点作变速直线运动的瞬时速度. 设质点的运动方程为：设质点

2、的运动方程为：s =s(t).s =s(t).那么那么从时刻从时刻t0t0到到t0 +t0 +t t时间段内，质点走过的路程为：时间段内，质点走过的路程为： s=s(t0 +s=s(t0 +t)-s(t0)t)-s(t0)在时间间隔在时间间隔tt内，质点运动的平均速度为内，质点运动的平均速度为: :00()( )S ttS tSvtt 000()( )limts tts tvt 当当 t t0 0时，取极限得质点在时刻时，取极限得质点在时刻t0t0的瞬时速度的瞬时速度: :实例实例2 2 切线问切线问题题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放实例实例2 2 切线问切线问题题割线的

3、极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问切线问题题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问切线问题题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问切线问题题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问切线问题题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问切线问题题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问切线问题题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问切线问题题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问切线问题

4、题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问切线问题题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的切线处的切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的的斜斜率率为为割割线线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲线线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 二、导数的定义二、导数的定义000

5、0000000000()( ( )(),() , ( )()( ),(),m. li,xxxxxx xfyf xxU xxxU xyf xyf xxxf xxdydf xxyfxdxdxx 设设在在点点 的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义且且若若则则称称在在并并称称这这个个极极限限点点处处可可导导导导为为在在点点数数处处的的记记为为或或定义定义1 1即即00000()()limlimx xxxf xxf xyyxx 0000()()lim( ).xf xxf xf xxx 如如果果不不点点 的的则则称称在在不不可可导导，.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()

6、(lim)(0000 xxxfxfxfxx 00000()()limlimx xxxf xxf xyyxx 实例实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度质点作变速直线运动的瞬时速度:00( )( )v ts t 实例实例2 曲线曲线y=f(x)上一点上一点M(x0 , f(x0)处的切线处的切线斜率斜率tana = f (x0)xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或 )()(00 xfxf( ),( ).yf xIf xI 如果在开区间内的每点处都可导如果在开区间内的每点处都可导就称函数在开区间内可导就称函数在开区间内可导定义定义2 2( )( )(

7、)( ),( ),.xIfxyfxdydf xf xyfxdxdx 导函导函由确定的新函数叫做由确定的新函数叫做的简称的简称数数作或作或导数导数，记，记注意注意: :00()( ).x xfxfx .,0慢慢程程度度而而变变化化的的快快因因变变量量随随自自变变量量的的变变化化反反映映了了它它处处的的变变化化率率点点导导数数是是因因变变量量在在点点 x注意注意（2右导数右导数: 单侧导数单侧导数（1左导数左导数:0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 0000000( )()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx

8、，定义定义左、右导数统称为单侧导数左、右导数统称为单侧导数定理定理1如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.注意注意: :由定义求导数步骤由定义求导数步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xx

9、xxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例4 4.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 11log

10、.lnaexxa1(log).lnaxxa 即 例例5 5.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解解更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(3 x23x )(1 x11)1( x.12x hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即例例6 6.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0

11、( ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy注意导数的几何意义与物理意义注意导数的几何意义与物理意义oxy)(xfy T0 xM（1几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 例例7 7.,)2 ,21(1方方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求等等边边双双曲曲线线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义

12、, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即（2物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度. .lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度. .0( )lim.tQdQi ttdt 非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度( (面积面积,

13、,体积体积) )的导的导数为物体的线数为物体的线( (面面, ,体体) )密度密度. .定理定理 假设假设 f (x) f (x) 在在 x0 x0 处可导，那么处可导，那么 f (x) f (x) 在在 x0 x0 处连续处连续. .证证三、函数的可导性与连续性的关系三、函数的可导性与连续性的关系,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连连续续在在点点函函数数xxf)0(0 x 注意注意: 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导连续函数未必可导)例如例如y

14、=|x|在在x=0处连续但不可导处连续但不可导.例例7 7.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处处有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之之间间振振荡荡而而极极限限不不存存在在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx例例8 8?,1)(,1,1,)(2应应取取什什么么值值处处连连续续且且可可导导，在在为为了了使使函函数数设设函函数数baxxfxbaxxxx

15、f 解解1lim)01(21 xfxbabaxfx )(lim)01(11)1( f1,1)( baxxf则则连连续续在在若若211lim)1(21_ xxfxaxaaxxbaxfxx 1lim11lim)1(11)1()1(,2_ ffa时时当当处处连连续续且且可可导导在在时时当当1)(,1b2, xxfa小结小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方

16、法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考与练习思考与练习1. 函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 有什么区别与联系 ?与导函数2. 设设)(0 xf 存在 , 那么._)()(lim000hxfhxfh3. 知知,)0(,0)0(0kff那么._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 设设0,0,sin)(xxaxxxf, 问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解2.2 函数的求

17、导法则函数的求导法则 一、四则运算法则一、四则运算法则二、反函数求导法则二、反函数求导法则 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 一、四则运算法则一、四则运算法则定理定理并并且且也也可可导导处处在在点点分分母母不不为为零零它它们们的的和和、差差、积积、商商那那么么处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu证证(3)(3)证证(1)(1)、(2)(2)略略. .),0)( ,)()

18、()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处处可可导导在在xxf推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ;)3(wuvwvuvwuuvw .)1()4(2vvv 例例1 1.sin223的

19、导数的导数求求xxxy 解解例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解23xy x4 .cos x xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的的导导数数求求xy 解解同理可得同理可得2(cot )sc.cxx 2(tan )sec.xx 即即)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 例例4 4.sec的的导导数数求求xy 解解同理可得同理可得(sec )sta.ecnxxx 即即(csc )cc.scotxxx xx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin )cos1()(sec x