上三角矩阵代数

1、上三角矩阵代数摘 要本文主要研究上三角代数的性质及其与路代数的关系，建立了上三角代数与有向图的路代数的同构映射.定义了可上三角化代数和上三角化矩阵，是所有形如的矩阵的集合所形成的代数（它的结合法是矩阵的加法和乘法），其中，且可逆，称为的上三角化矩阵.初步探讨了的子代数是否是可上三角化代数，若是可上三角化代数，其上三角化矩阵是否唯一.具体讨论了n=2的情况，最终由的可上三角化子代数的个数有限得出至少有一个可上三角化代数的上三角化矩阵不唯一地结论.关键词：上三角矩阵代数，有向图，路代数，可上三角化代数，上三角化矩阵HIGHER TRIANGULAR MATRIX ALGEBRASABSTRACTI

2、n this paper, we study upper triangular matrix algebras, and its connection with path algebras. The isomorphism between upper triangular matrix algebra and the corresponding path algebra is given. As a generalization, upper triangulable matrix algebras and upper triangulable matrix are defined and s

3、tudied. consisting of all matrices like(its combination is the addition and multiplication of matrices), Among them ，and is reversible. we call is the upper triangulable matrix of . We also discuss whether the subalgebra of is a upper triangular matrix algebra and the upper triangulable matrix of a

4、upper triangular matrix algebra is unique. We also give a concrete example of n=2 to illustrate our theory. Finally we draw a conclusion that there is at least one upper triangular matrix algebra of which its upper triangulable matrix is not unique .KEY WORDS: upper triangle matrix algebras，quivers，

5、path algebras，upper triangular matrix algebras，upper triangulable matrix 目录前言1第一章 预备知识3§1.1 群3§1.2 环4§1.3 体5§1.4 模6§1.5 代数7§1.6 同构映射7§1.7 有向图与路代数8第二章 上三角矩阵代数9§2.1 上三角矩阵9§2.2 上三角矩阵代数9§2.3 上三角矩阵代数与路代数的同构10第三章 可上三角化代数14§3.1 可上三角化矩阵14§3.2 可上三角化

6、代数结论17参考文献18致 谢20前言代数是研究数、数量、关系与结构的数学分支。代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。代数学一直是数学的主要支柱之一，是数学方法和思想的重要源泉代数方法和结果具有广泛适用性。表示理论是代数学中具有根本性的问题，是当前国际上数学研究的前沿重点课题，在数学的其它分支，量子物理与粒子物理学以及化学等其它学科中有深刻而广泛的应用。代数表示理论是兴起于上世纪70年代的一个重要的代数分支。它的基本内容是研究一个Artin代数上的模范畴。在近二十五年的时间里，这一理论有了很大的发展并逐步趋于完善。代数表示理论主要研究非

7、半单有限维(亦包括若干无限维)代数的结构、不可分解表示和模范畴的整体构造它所关心的根本问题是一个系统(代数系统)在对外部空间(向量空间)作用下的表示行为。研究中遇到的最大问题是：一个相对简单的代数系统却有着相当复杂，深刻但很优美的表示范畴。目前，有限维代数表示论被分成三大块：有限表示型， Tame表示型和野(wild)表示型 30年来，由于Quiver表示，几乎可分裂序列和倾斜函子等独特技巧和方法的创立，也由于它和群表示论， Lie代数，代数群，代数几何等的紧密联系，特别是近年与量子群等新兴学科的本质联系，代数表示论一直处于蓬勃发展中。用箭图刻画代数及其表示有多种方法。一种方法是Gabriel

8、箭图。这是最常用的一种。我们要具体画出各种类型的有限表示型代数的Gabriel箭图。它可以直观清晰地刻画代数的模范畴结构。对于有限表示型代数，由于 Gabriel等人完善了覆盖理论(源于代数拓扑)，最主要的问题已经解决根据有限表示型代数的乘法基定理，可推出任意给定维数的有限表示型的代数仅有有限多个同类。本项目运用已给结论，刻画各类有限表示型代数。具体绘制其Auslander-Reiten箭图。 第一章给出文章所要用到的基本概念，包括群，环，体，模，代数，有向图，路代数以及同构等概念。第二章给出了上三角代数的定义，并作出了上三角代数与路代数的同构映射。第三章给出可上三角化代数以及上三角化矩阵的概

9、念，并讨论了上三角化代数的一些性质第一章 预备知识 §1.1 群 定义1.1.1设G是一个非零集合，并且满足下列四个性质（1）封闭性：若“ ”是G上的一个代数运算，G中任意两个元素a,b的结合 仍然是G中的元素。例如最常出现的就是乘法，这时c又叫做a,b的积，我们可以简单地用ab=c表示。值得注意的是积ab是由a,b唯一确定的，但一般与a,b的先后顺序有关，即ab并不一定等于ba。（2）结合律：即对G中任意的三个元素a,b,c有如下关系 （3）存在单位元：对于G中的任意元素a，在G中可以找到一个元素e，使e·a=a，则该e叫做G的单位元。群G的单位元是唯一的（4）存在逆元：

10、对于G中的每个元素a，存在元素b，使，则b叫做a的逆元。每个元素的逆元都是唯一的，G中元素a的逆元通常写为。 则称G关于运算“ ”构成一个群，记作（G,·），在不致引起混乱的情况下，也称G为群 注：1，从以上可以看出，群是一个二元组（G,·），其中G是一个集合，“ ”是二元运算，通常为乘法。 2，一个非空集，如果它满足上面条件1,2，我们叫它为半群。一个群如果满足交换律，即对任意的a,bG有 该群叫做交换群或者阿贝尔群。 3，群G中元素的个数称为群G的阶，记为|G|,如果G是有限数，则称G为有限群，若G为无限数，则称G为无限群。 我们知道半群和群都是一个二元运算的代数系统，

11、因此它们概括了很多的二元系统。为了对群这个概念有更深层次 的理解，下面给出一些常用群的例子。 例如，整数集Z对加法成群，叫做整数加群，记为（Z，+），单位元为零。逆元是它的相反数。同理还有（Q,+），（R,+）,(C,+),分别叫做有理数加群，实数加群和复述加群。所有正有理数对乘法成群，记为（Q，），单位元是1，逆元是它的倒数。有理数集对加法成群，单位元是零，但对乘法只是成半群，因为零没有逆元。以上都是一些常用的简单的群 ，我们也可以自己定义一些群。譬如，所有形如（a,b）的元素集合M,其中a,b都是实数，并且a不等于零，定义以下运算 那么M关于以上运算成群，（1,0）是单位元，（a,b的逆元

12、是 设n是大于1的正整数，M（R）表示实数域上所有n阶矩阵的集合，则（M（R），·）是半群，这里·表示矩阵乘法，但不是群，因为不是每个n阶矩阵都有逆矩阵。但由实数组成的所有n阶满秩矩阵对乘法成为群，叫做实数域R上的n阶线性群，简称线性群，其单位元是单位矩阵（主对角线上元素都为1其余元素全为0的矩阵），逆元是其逆矩阵。 在研究一个群时，如果群中的部分元素就可以代表整个群中元素的性质，那么就会减少研究对象的数量，给我们的工作带来很大的方便，大大地提高了工作效率。因此子群是一个很重要的概念，群的全部内容大多都与子群有关。 定义1.1.2设G是群，H是G的非空子集，假如对于G中的运

13、算仍然构成群，则称H为G的子群，记作HG，若H是G的子群，并且HG，则称H是G的真子群（即异于自身的子群），记作H<G.。 例如nZ（n是自然数）是整数加群的（Z，+）的子群，当n1时，nZ是Z的真子集。 任何群都存在子群，群可以看成是自身的子群，任一个群有只由单位元组成的单位元群也是它的子群，群本身和它的单位元群称为G的平凡子群，其余的子群称为非平凡子群。一个群中任意两个子群的交集仍然是一个子群，但任意两个子群的并集不一定是子群，§1.2 环 环是具有两个二元运算的代数系统，定义如下；定义1.2.1：一个非空集合R，假如它有两种二元运算，一种叫做加法(用符号+表示)，一种叫做

14、乘法(用符号表示)，如果满足以下条件，则称（R，+，·）是一个环。（1) 对于加法称为交换群，即（R，+）构成交换群（阿贝尔群）；（2) 对于乘法称为半群，即（R，·）构成半群；（3) 乘法运算关于加法运算适合分配律，即对于R中的任意三个元素，有，.注；1，从上面可以看出环是一个三元组(R，+， )，其中R是一个非空集合，加法“+”和乘法“” 是两个二元运算，其中（R，+）是一个交换群，（R，）是一个半群，且 运算关于+运算适合分配律。 , 2，若环中乘法 适合交换律，即对所有的， R有，则称R是交换环.。, 3，类似于群，元数是有穷的环，叫做有穷环.，否则叫无穷环. 下面

15、给出一些常用环的例子；（1）整数集，有理数集，实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C。（2）n（n2）阶实矩阵的集合关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环 在R的子集S上，假如对R的两种运算又形成环，那么S就叫做R的子环，R又叫做S的扩张环.。环的一个子集称为子环，只要它对于加法成群，对于乘法是闭合的就行，因为其他条件显然都适合。.环可以看成是自身的子环，异于自身的子环叫做真子环.§1.3 体定义1.3.1：定义一个环F，假如含有非零的元素，即至少包含两个元素，并且所有非零的元素对乘法构成群，则F就称为体，有时又叫做可除环。.

16、当F可交换时，又叫交换体，或者叫做域.从而我们可得，体有加法，乘法两种运算，并且所有元素对加法成交换群，所有非零元素对乘法成群，但不一定是交换群。体是一种特殊的环，它是非零元素可以构成群的环，它满足环的所有性质和运算法则。.还可以看出一个体F至少包含两个元素，一个是加群的零元，一个是乘群的单位元，每个非零的元素都有逆元。§1.4 模 定义1.4.1：假如V是一个加群（代数运算为加法），它的元素用 表示，F是体(但不一定是域)，它的元素用表示。如果，的乘积满足下列各性质；：（1) V，（2），（3),（4),（5) ,其中是F的单位元.那么V就叫做F的(左)向量空间，有时又简单地叫做F

17、空间 注：向量是特殊的群，群乘法就是向量的加法,而且是可交换的,也就是说向量空间一定是阿贝尔群，向量空间上除了这个乘法或者说加法以外还有和数的点乘,所以说向量空间是特殊的群。 假定是F的向量空间V中的元素，如果F中存在个不全是零的元素使成立那么称，关于F线性相关；如果不存在这样的，即上面式子的等号只有在，都是零的时候才取的，那么称，关于F线性无关.类似于线性空间，假定V是F空间，如果V中线性无关元素的个数有最大数，那么V是关于F是有限维空间。相应地这个最大数，就叫做V关于F的维数，如果V中线性无关元素的个数没有最大数，那么V就叫做关于F是无穷维空间。假定，是F的向量空间V中的元素，如果V中任意

18、元素可以用，中有限个元素的线性组合表示，那么上述有限个元素叫做V关于F的生成元。特别地，V关于F线性无关的生成元，叫做V关于F的基底。若，是V关于F的基底，我们可以用如下形式表示VV=这时V中任意元素都能够表示为，的线性组合，并且这种表示形式是唯一的。定义1.4.2：假定M是加群，R是环，如果M中元素与R中元素的乘积仍在M中，并且还满足下列三个条件， （1），（2），（3）. 那么M就叫做(左)R-模。可得，F-向量空间V是F-模，假定环R有单位元，并且，那么R-模M叫做酉模。§1.5 代数在数学中，交换环上的代数或多元环是一种代数结构，上下文不致混淆时通常径称代数。定义1.5.1：

19、设R为一交换环，R上的代数（或称A-代数）是下述结构：（1）集合A是个R-模；（2）A上有一个二元运算“” ，并且这个二元运算是双线性的，即：对任何成立其中最常考虑的情形是R是一个域，这时叫做域代数，因此也可将代数定义成域上的代数代数是一类特殊的环，代数与环的主要差别在于它们的加群，环的加群只是交换群，而代数的加群是F-模并且是酉模.若A上的乘法满足交换性，则称之为可交换代数；若A上的乘法满足结合律，则称之为'''结合代数'''，否则称为“非结合代数”。上面我们介绍的代数，因为满足乘法结合律，所以我们又常常称它为结合代数。非结合代数虽然对乘法也是

20、封闭的，但不再是环了。交换代数学中考虑的代数均属可交换的结合代数。§1.6 同构映射定义1.6.1：存在E和F两个集合，且对于E、F各存在一种运算，我们可以记作（符号可更换）*和 ，对于E、F，*、· 分别封闭（即对于任意两个集合内的元素，进行运算之后依然为该集合的元素）。那么我们说f是一个同构当且仅当f（E,F）并且f是一个双射且对于E内的任意元素a，b都成立。如果上面所描述的E、F为同一集合E，则说f是一个自同构。常见的同构有：群同构，环同构，域同构，向量空间同构。 注：同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构

21、之间存在同构映射，那么这两个结构叫做是同构的 引入：如果V，都是数域P上的线性空间，如果映射：具有以下性质：（1） 为双射（2） , (3) , 则称 是V到的一个同构映射，并称线性空间V和同构。 定义1.6.2：假设集合与各有代数运算和:*，并且是到的一个映射，如果对中任意元素，在之下满足以下条件:；，,或者 则称是到的一个同态映射。. 如果到存在同态满射，则称到同态,记. 设是到的一个同态满射，如果又是单射的，那么称为到的一个同构映射.，可以看出同构映射是一一映射的。§1.7 有向图与路代数引入：有向图是一个二元组，其中（1）.V是非空集合，称为顶点集。（2.）E是V×

22、V的子集，称为箭头集定义1.7.1：一个有向图是=(V，E，)其中V和E是两个集合(可以有限也可以无限)，V是的顶点集，E是的箭头集，是从E到V的一个映射.对每一个箭头,分别称为的起点和终点.如果集合V和E是有限维的，则称有向图是有限维的。 若箭头的起点和终点分别表示为=，=，那么可表示为：.图通常可简记为或.称=为有向图Q的一个长度为的路.，其中对有并且满足 ， 也可简写为或表示为如下图形形式： .可将V中的顶点看成一个长度为的路并记为：.一个从到得到的长度大于1的路称为循环路，长度为1的有向圈称为有向环.定义1.7.2：给定域，有向图的路代数是指域上的结合代数：（1）是由中的所有路为基作成

23、的-向量空间；（2）乘法是由路之间的乘法按分配律给出，两个路的乘法规定如下：，其中当时=1，当是=0.第二章 上三角矩阵代数§2.1 上三角矩阵定义2.1.1矩阵的定义 有个数 排成的行列的数表 称为矩阵，记作 简记为 其中一类特殊的矩阵如下： 形如上述形式的矩阵叫做上三角矩阵，它的特点是主对角线左下方的元素全为0. §2.2 上三角矩阵代数设K是一个代数封闭域，A是K代数，则分量是A中元素的矩阵全体组成的集合，它关于矩阵的加法和乘法构成为一个代数。的单位元是主对角线全部是A的单位元其他元素全是A的零元的矩阵，记为E=.特别的有是维K代数，矩阵是的一组基，其中的的元素是K的

24、单位元1，其他元素都是K的零元0的矩阵.容易验证的子集 是的一个K-子代数，其中是中主对角线的下方全为K的零元的矩阵全体组成的集合。事实上，只需验证中的元对中的加法和乘法封闭即可。证明如下：设 则有 我们称为上三角矩阵代数。§2. 3 上三角矩阵代数与路代数的同构 结论：上三角矩阵代数与有n(n2)个顶点的有向图 的路代数同构. 先分别考虑n=2，3时的情况： 当n=2时，设有向图： 的路代数为，其一组基为， ，；对上三角矩阵代数，其一组基为=其中1是K的单位元，0是K的零元，则映射：， 是上三角矩阵代数到路代数上的同构映射.因为：， ， 当n=3时，设有向图 的路代数为，记的子 ，

25、则其一组基为 对下三角代数，其一组基为= = = 其中1是K的单位元，0是K的零元，则映射：， 是上三角矩阵代数到路代数上的同构映射，因为:对所有的 ， 有其中当时=1，当是=0，易知从而得到 对一般的n，设有向图：的路代数为，记的子路 则其为的一组基，其维数为.对上三角矩阵代数，其一组基为 ，是为K的单位元，其他为K的零元的矩阵，其维数为.则映射：， 是上三角矩阵代数到路代数上的同构映射.因为：对所有的 ， 有其中当时=1，当是=0，易知从而即证.第三章 可上三角化代数§3.1 可上三角化矩阵引出：可上三角化矩阵就是把一个矩阵通过线性变换变成上三角矩阵的形式§3. 可上三

26、角化代数结论：设，且可逆，则所有形如的矩阵的集合称为一个的子代数.证明：只需要证明该集合中的元素对中的结合法封闭即可，设，则：+=因为：+即得. 定义3.2.1：固定一个可逆矩阵,我们称代数=为的关于的可上三角化子代数，简称为可上三角化代数.称P为的上三角化矩阵.结论：上三角代数与可上三角化代数同构.证明：设，做映射：则映射是到的同构映射，即证. 结论：可上三角化代数与有n(n2)个顶点的有向图的路代数同构.证明：因为上三角代数与有n(n2)个顶点的有向图的路代数同构，而上三角代数与可上三角化代数同构，即证.由之前的讨论我们知道可上三角化代数=的维数是，那么对的任一个维数是的子代数，是否是可上

27、三角化代数，若是可上三角化则代数，其上三角化矩阵P是否唯一？当n=2时，的维数是4，的子代数必是其子向量空间，的维数是3的子向量空间有4个，故的维数是3的子代数至多有4个.一组基为：=其维数是3的子向量空间有： . 显然，是的结合法封闭，是的子代数，而=，=，因此，不是的子代数.由上知=为的关于的可上三角化子代数，任一可逆矩阵P都可作为的某一下可上三角化代数的上三角化矩阵，而的维数是3的子代数只有和，可知可上三角化矩阵P不唯一.当取=时，显然有= ，则是的关于=的可上三角化代数. 取=时，由：= = = 可得= = .因此有的子代数是可上三角化代数，且矩阵，为可上三角化代数的两个不同的上三角化

28、矩阵.对一般的n，的维数是的向量子空间有个，故其维数是的子代数为有限个，任一可逆矩阵P都可作为的某一可上三角化代数的上三角化矩阵，故至少有一个可上三角化子代数的上三角化矩阵不唯一.结论已知上三角矩阵代数，有n(n2)个顶点的有向图的路代数，可上三角化代数=两两同构.有有限个可上三角化子代数，且其至少有一个个可上三角化子代数的下三角化矩阵不唯一。参考文献【1】 Natural Science Journal of Xiangtan University2003年 第3期【2】 T Petek. Additive mappings preserving commutativityJ.Li

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