人教版数学九年级中考备考训练习题：圆的综合(含答案)

1、E为圆=y.x的解：(1)v CF与O E切于F点,中考备考训练习题：圆的综合1如图，四边形 ABCD是正方形，E是AD边上的一个动点(有与 A、D重合)，以2 心，EA为半径的OE交CE于G点，CF与O E切于F点.AD = 4, AE = x, CF2(1 )求y与x的函数关系式，并写出 x的取值范围；(2 )是否存在x的值，使得FG把厶CEF的面积分成1 : 2两部分？若存在，求出 EF 丄 CF ,/ AE= x, AD = 4,. DE = 4 - x,四边形ABCD是正方形,CD = AD = 4，/ ADC = 90°, CE2= DE2+CD2 =( 4 - x) 2

2、+16 ,2 2 2在 Rt EFC 中，CF2= CE2 - EF2,2 2y=( 4 - x)+16 -x = 32 - 8x ( 0 v xv 4)；(2 )T FG把厶CEF的面积分成1 : 2两部分,19 EG= . EC,或 EG=. EC ,.x=g 或 x=_2 x=±姮或=T6土合阿 :,或 x=/ 0 v xv 4 ,或8V14"16x=,或 x=252. AB是O O的直径，C点在O O上，F是AC的中点，OF的延长线交 OO于点D，点E 在AB的延长线上，/ A =Z BCE.(1) 求证：CE是O O的切线；(2) 若BC = BE，判定四边形 O

3、BCD的形状，并说明理由./ ACB= 90 ° ,/ ACO+ / BCO= 90°,/ OC = OA,/ A=Z ACO,/ A+Z BCO= 90°,A=Z BCE, Z BCE+ Z BCO = 90 ° , Z OCE= 90°, CE是O O的切线；(2)解：四边形 OBCD是菱形，理由： BC = BE, Z E=Z ECB,Z BCO+ Z BCE = Z COB+ Z E= 90°, Z BCO=Z BOC, BC= OB, BCO是等边三角形， Z AOC= 120°, F是AC的中点， AF = CF

4、 ,/ OA= OC,/ AOD = Z COD = 60°,/ OD = OC, COD是等边三角形，CD = OD= OB = BC,四边形OBCD是菱形.3. 如图，A、P、B、C 是 OO 上的四个点，/ APC = Z CPB = 60°(1) 求证：FA+PB= PC；(2) 若BC = 2衣，点P是劣弧AB上一动点(异于 A、B), FA、PB是关于x的一元 次方程x2- mx+n= 0的两根，求 m的最大值.证明：(1)在PC上截取PD = AP，如图,又/ APC = 60°, APD是等边三角形，AD = AP= PD，/ ADP = 60&#

5、176;,即/ ADC = 120°又/ APB =Z APC+Z BPC = 120°, / ADC = Z APB,在厶APB和厶ADC中，fZAPB=ZADC ZABP=ZACD,AP=AD APB BA ADC (AAS), BP= CD ,又PD = AP, CP= BP+AP(2)由(1)可知 PA+PB = PC, PA、PB是方程的两根,FA+PB= m,要使m有最大值，则 PA+PB最大，即PC为O O的直径，连BO并延长交O O于点M ,连接CM,则/ BCM = 90°,.BMC = Z BPC= 60°, BC= 2 二BG= 4

6、,.m的最大值为4.4如图，AB是O O的直径，点C是圆周上一点，连接AC、BC,以点C为端点作射线CD、CP分别交线段AB所在直线于点 D、P,使/ 1=7 2 = /A.(1)求证：直线PC是O O的切线；/ AB是o O的直径，7 ACB= 90 ° ,7 ACO+ 7 BCO= 90 °,/ OA= OC, 7 A=7 ACO,.7 a=7 1 = 7 2,/ 2=Z ACO,/ 2+Z BCO = 90°,/ PCO= 90°, OC 丄 PC,直线PC是O O的切线;(2)/ ACB = 90°,/ A+Z ABC = 90

7、6;/ 1 = Z A, Z 1 + Z ABC = 90°, Z CDB = 90°,2CD2= ad ?bd ,/ CD = 4, BD = 2, AD = 8, AB= 10,OC = OB = 5,Z OCP= 90°, CD 丄 OP, OC2= OD?OP, 52=( 5 - 2)X OP, OP =25T'PB= OP - OB5.如图，已知在 Rt ABC中，/ C= 90°,/ BAC的平分线 AD交BC边于点D .以AB上 点O为圆心作O O,使OO经过点A和点D .(1 )判断直线BC与O O的位置关系，并说明理由；(2)若

8、AE = 6,劣弧DE的长为n,求线段BD , BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面解：(1)直线BC与O O相切.理由如下:连接OD. AD是/ BAC的平分线,/./ DAC = / DAB ,/ OA= OD,/./ OAD = / ODA ,/ DAC = / ODA, OD / AC,/ ODB = / C = 90°, OD 丄 BC,直线BC与O O相切.(2)T l =AE = 6,劣弧 DE 的长为 n,/ DOE = 60°./ ODB = 90°, BD =二OD = 3 二二 Sabod=*BD?OD ='二 2S扇形DOE =答：B

9、E与劣弧DE所围成的部分的面积为6如图，AB是O O的直径，点C为半径OA的上的中点，CD丄AB交O O于点D和点E,DF / AB 交 O O 于 F，连结 AF , AD (1) 求/ DAF的度数；=(2) 若AB _ 10,求弦AD, AF和| 所围成的图形的面积.(结果保留n)/ EDF _Z ECB_90°,EF为O O的直径，点C为半径OA的上的中点， OC _ 尹，/ E_ 30°,/ DAF _Z E_ 30° ;(2)连接OD ,则/ DOF _ 2/E_ 60°,/ DF / AB, Saadf _ Sdof ,s阴影_ s扇形,/

10、 OD _ AB_ 5,2弦AD , AF和丘所围成的图形的面积_辽- k _ n.3o0 b7.如图，AB是O O的一条弦，OD丄AB,垂足为 C,交O O点D .点E在OO 上.(1)若/ AOC_ 40 °，求/ DEB 的度数;(2)若 OC = 3, OA = 5，求 AB 的长.解：(1)v AB是O O的一条弦，OD丄AB,弧 AD =弧 BD ,/ DEB =/ AOC = X 40°= 20°；2 2(2) AB 是 O O 的一条弦，OD 丄 AB , AC= BC,即卩 AB = 2AC,在 Rt AOC 中，AC =. J_| 丄= 一 _

11、：.广=4,贝V AB = 2AC = 8.BC相切&如图，在 ABC中，/ C= 90°,以AB上一点O为圆心、OA长为半径的圆与于点D，分别交AC、AB于点E、F.(1 )若AC = 6, AB = 10,连结AD，求O O的半径及AD的长.(2)当/ B的度数为 30° 时，四边形BDEF是平行四边形.解：(1)连接OD，如图1所示：设 O O 的半径为 r，贝U OB = AB - OA = 10 -r, BC切OO于点D, OD 丄 BC ./ C= 90°, BC= :=： ：! = 8, OD / AC,AB AC BC即一=K-'1

12、06 S10r = 6 (10 - r),解得r =亠，CD = BC - BD = 8 - 5 = 3,AD = ' = : =3 1 ,1RO O的半径为-,AD(2)连接OD，如图2所示：四边形BDEF是平行四边形,/ B=Z DEF ,/ DOB = 2/DEF ,DOB = 2/B, BC切OO于点D, / ODB = 90°, / DOB+ / B= 2/ B+ / B = 3/ B = 90 / B= 30°,故答案为：30°.9. 如图， ABC中，AB = BC, CE / AB,以AB为直径作 O O,当“CE是O O的切线时，切点为D

13、.(1) 求：/ ABC的度数；(2) 若CD = 3,求AC的长度.C D解：(1)连接OD,/ CE是O O的切线， OD 丄 CE ,/ CD / AB, OD 丄AB,过B作BH丄CD于H ,则四边形BHDO是正方形， BH = OD,AB= BC, AB 为 O O 的直径, BH =，一 BC,./ BCH = 30°,/ CD / AB,/ ABC= 30 ° ;(2 )设0 O于AC交于F,连接BF,/ AB为O O的直径， BF 丄 AC,/ AB= BC, CF= AC,2CD是OO的切线，AC是OO的割线，由切割线定理得， CD2= CF?AC = A

14、Cr 'AC ,:232=AC2,2 AC=(负值舍去).210. 如图，AB = AC, O OABC的外接圆，AF为O O的直径，四边形 ABCD是平行四边形.(1) 求证：AD是O O的切线；(2) 若/ BAC = 45°, AF = 2，求阴影部分的面积.解：(1)： AB= AC,/ AF为O O的直径， AF丄 BC, 四边形ABCD是平行四边形, AD / BC,/ AD 丄 AF, AD是O O的切线；(2)连接 OC, OB ,/ BAC= 45/ BOC= 90°,/ AF = 2, - 0B= 0C= 1, BC= <,四边形ABCD是

15、平行四边形, . AD = BC=、厂,连接OE,/ AD / BC,/ ACE=Z BAC = 45°,/ AOE= 2 / ACE= 90 ° ,OA= OE= 1,S梯形AOEDS 扇形 AOE= , ( 1+')X 1 3602 i阴影部分的面积=11 如图，以 ABC的边AC为直径的O恰为 ABC的外接圆，/ ABC的平分线交O于点D，过点D作DE / AC交BC的延长线于点 E(1) 求证：DE是O O的切线；(2) 若 AB = 4 匚 BC= 2 =,求 DE 的长.(1)证明：连接OD ,/ AC是O O的直径，/ ABC= 90 ° ,

16、/ BD 平分/ ABC,/ ABD = 45/ AOD = 90°,/ DE / AC,/ ODE = Z AOD = 90°, DE是OO的切线；(2)解：在 Rt ABC 中，AB = 4 7, BC = 2 7, AC= 亠10, . OD = 5,过点C作CG± DE，垂足为G ,则四边形ODGC为正方形， . DG = CG = OD = 5,/ DE / AC,/ CEG=Z ACB, tanZ CEG = tan/ ACB ,.CG AB 日口 5 WfGE BC GE 25解得：GE = 2.5,1R DE = DG+GE=.12如图，在 ABC

17、 中，AB= AC, / BAC = 120°,点 O 在 BC 上, OO 经过点 A,点 C, 且交BC于点D，直径EF丄AC于点G (1) 求证：AB是O O的切线；(2) 若AC = 8,求BD的长.G(1)证明：连接OA,如图所示:/ AB= AC,/ BAC = 120°,./ B=/ C= 30°,/ OA= OC,/ OAC=/ C= 30°,/ OAB= 120° - 30° = 90°, AB丄 OA, AB是O O的切线;(2)解：直径EF丄AC, AG= CG= AC = 4,2/ OAC= 30&#

18、176;, OG = AG33 OA= 2OG = '' ：3/ OAB= 90°，/ B = 30°, BO= 2OA = 2OD ,13. 如图，AB, AC是O O的两条弦，且，：；'=(1)求证：AO平分/ BAC ;(2)若AB = 4 7, BC= 8,求半径 OA的长.证明：(1)连接OB、OC,/ AB= AC, OC = OB, OA= OA,AOBBA AOC ( SSS),/ 1 = Z 2,.AO 平分/ BAC ；(2)连接AO并延长交BC于E,连接OB,/ AB= AC, AO 平分/ BAC , AE 丄 BC,2 2

19、2 2 2 2设 OA = x,可得：AB2-BE2= AE2, OB2= OE2+BE；可得：1n，； ：', x2= OE2+42解得：x= 5, OE= 3,半径OA的长=5.14. 如图，在 O O中，弦BC丄OA于点D，点F是CD上一点，AF交OO于点E,过点E 作O O的切线交BC于点H .(1) 求证：EH = FH ；(2) 若点C为：的中点，AD = 2, OD = 1,求EH的长度.(1)证明：连结OE./ 0A= OE,/ A=Z OEA, HE与OO相切于点E, OE 丄 EH ,/ OEA+ / AEH = 90 ° ,在 Rt ADF 中，/ A+

20、Z ADF = 90°,/ AFD = Z AEH ,又/ AFD = Z HFE , Z HFE = Z AEH , EH= FH;(2 )解：连结OC交AE于M , AC,点C为丁的中点， Z AOC=Z EOC, OC垂直平分EF于点M ,/ OA丄 BC,卜,；- V , BD = CD , .1 , Z CAE=Z BCA, AF = CF , DC = BC= AE = AM ,2 2在 Rt ODC 中，CD =厂.厂:r：-；:设 DF = x,贝U AF =i x,在 Rt ADF 中，x2+22=厂人二-二解得：X=_,2连接OH,设 EH = y,则 OH2=

21、12+专“工 32+y2,/ ACP= 30 ° ,解得：汁；EHOA为半径的圆与 AE交于点B,与AD15. 如图，点O在厶ADE的边AE上，以O为圆心,交于点F，并且与边DE相切于点C,连接AC 已知AC平分/ DAE .(1) 求证：AD丄CD ;(2) 若/ CAO= 30 ° , OO的半径为3求阴影部分的面积.(结果保留n和根号)/ DE与OO相切于点C, OC 丄 DE ,/ OA= OC,/ OCA=Z OAC,又 AC 平分/ DAE ,/ OCA=Z DAC, OC / AD ,又 OC 丄 DE , AD 丄 CD ;(2)/ CAO= 30/ COB

22、= 60°,在 RtA OCE 中，CE = OC?tan60° = 一 二-S 阴影=SaOCE S 扇形 COB16已知点C在O 0 上. AC = . AB,点P与点C位于直径AB的异侧(点P不与A. B两点重合)，连接BP 过点C作直线PB的垂线CD，交直线PB于点D 连接CP .(1)如图，求/ CPD的度数;(2)如图，当CP丄AB, AC = 2时，求 BPC的周长.厨图解：(1)v AB是O 0的直径，/ ACB= 90 ° ,/ AC= AB,2/ ABC= 30 ° ,/ A= 60°,/ CPD = Z A= 60°；(2)由(1 )知，/ A = 60°,./ P=Z A= 60°,/ CP丄 AB,/ BCP= 60 ° , PBC是等边三角形,/ AC= 2, BC=二AC=2 ； BPC 的周长=6 二.17已知OO的半径为5,点A、B、C都在OO上，/ CAB的平分线交O O于点D .(1)如图1，若BC为O O的直径，AB = 6,求AC和BD的长