人教新版九年级数学下册单元复习第28章锐角三角函数含答案

1、角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90 = sin （30 +60 ）=第28章锐角三角函数.选择题（共11小题）1.如图，在 ABC中，/ C= 90, AC= 5,若 cos / A=，贝U BC的长为（c13A.8B. 12C. 13D. 182.在 Rt ABC中,/ C= 90，若sin A= ,AB= 2,贝U AC长是A.-B.-C.5553.已知a为锐角，下列结论：)D. 2(1 ) sin a +cos a= 1 ；(2 )若 a 45 ，贝y sin a COS a；(3)如果 cos a 丄，贝y aV 60；2(41 - sin a.其中正确结论的序号

2、是（）A. (1) (3) (4)B. (2) (4)C. ( 2) ( 3) (4)D. (3) (4)4.若 0 v/ A 45，那么 sin A- cosA 的值(C.等于0D.不能确定5.a为锐角，若sin a +cos a =叮，则 sin a - cos a 的值为（A.1B. 1C返222A.大于0B.小于06.在 ABC中, / A, / B均为锐角，且有阳n B- 二|+ (2cosA- 1) 2= 0，则 ABC是 ()D. 0A.直角（不等腰）三角形C.等腰（不等边）三角形7.关于三角函数有如下公式:B.等边三角形D.等腰直角三角形sin (a + 3)= sin a c

3、os 3 +cos a sin 3, sin(a-B)= sin a cos 3cos a sin 3cos (a + 3)= cos a cos 3 - sin a sin 3, cos (a-3)= cos a cos 3 +si n a sin 3tan (a + 3)= tan。( 1 - tan a tan 3工0),合理利用这些公式可以将一些1-tanCL tan Psin30 cos60 +cos30 sin60 = 一、丄.、-=12 2 2 2利用上述公式计算下列三角函数sin 105 =：，tan 105 =- 2 -, sin 15 = -4， cos90 = 04其中正

4、确的个数有（)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个&定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA,即sadA=底边：腰如图，在 ABC中，AB= AC / A= 2/ B.贝U sin B?sadA=()A.丄B. 1C.二D. 229 .九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，其中方田章给出计算弧田面积所用2公式为：弧田面积=丄（弦X矢+矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公2O到弦的距离之差.在如图所式中“弦”指圆弧所对弦长AB “矢”等于半径长与圆心示的弧田中，“弦”为8, “矢”为3,贝U cos / OAB=（ABC I10 .如图，小巷左右

5、两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面AB=2米，梯子与地面夹角 a的正弦值sin a = 0.8 .梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面 2.4米，则小巷的宽度为（）D C BA. 0.7 米B. 1.5 米C. 2.2 米D. 2.4 米11.如图已知斜坡 AB长6&应米，坡角（即/ BAC为45，BCLAC现计划在斜坡中点 D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡 BE若修建的斜坡BE的坡度为3： 1,休闲平台DE的长是（）米.A. 20B. 15填空题（共8小题）12.在 ABC中，/ C= 90, sin A= , B

6、C= 4,则 AB直是 513如图，P（ 12, a）在反比例函数丁匕-图象上，PHLx轴于H,则tan / POH的值为tan A=，贝V sin A+cosA=3A15.已知，在 Rt ABC中,/ C= 90, tan B=；，则 COsA=16.如图，在 Rt ABC中, / ACB= 90 , CD! AB 垂足为 D. AF平分/ CAB 交 CB于点 F.交CD于点E.若AC= 6, sin B=i,则DE的长为.517.如图，若 ABCA DEF的面积分别为 S1、S2,贝U S: S2=18如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2米

7、，斜坡AB的坡度-，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点1 3BD=19如图，从甲楼底部 A处测得乙楼顶部 C处的仰角是30。，从甲楼顶部 B处测得乙楼底部D处的俯角是45，已知乙楼的高 CD是 45m则甲楼的高 AB是m （结果保留根号）；三.解答题(共5小题)20. 已知 a 为一锐角，sin a= ，求 cos a, tan a.521. 计算：2cos30 + :sin45 - tan 260- tan45 .2222. (1)已知/ A 是锐角，求证：sin A+cos A= 1.(2) 已知/ A为锐角，且sin A?cosA=，求/ A的度数.2Q23. 如图，在 Rt

8、ABC中，/ C= 90，点 D在 BC边上，/ ADC= 45, BD= 2, tanB=(1 )求AC和 AB的长；(2 )求 sin / BAD的值.24.如图，已知 ABC中，/ ACB= 90, D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD 相交于点E.(1) 如果BC= 6, AC= 8,且P为AC的中点，求线段 BE的长；(2) 联结 PD 如果 PDLAB,且 CE= 2, ED= 3,求 cosA的值；(3) 联结PD如果BP = 2CD，且CE= 2 , ED= 3,求线段 PD的长.参考答案与试题解析1.2.选择题（共11小题）如图，在 ABC中, Z C= 90 ,

9、 AC= 5,若 cos / A= ，贝V BC的长为(13【分析】先根据/即可得到BC的长. =* ,AB 13二 AB= 13,故选：B.C. 13D. 18C= 90, AC= 5, cos / A=，即可得到 AB的长，再根据勾股定理,13ABC中，/ C= 90, AC= 5, cos/ A= |,在 Rt ABC中，/ C= 90，若sin A=，AB= 2,贝U AC长是(5D. 2【分析】根据/ A的正弦值得到【解答】解：/ C= 90, sinBC的长，进而利用勾股定理得到八 AE=2，AC长即可. BC= AB 45 ，贝y sin a COS a；（3）如果 COS a

10、丄，贝y aV 60；2（4）巒二-_j t= 1 - sin a其中正确结论的序号是（）A. （1）（ 3）（ 4）B.（ 2）（4）C.（ 2）（ 3）（ 4）D.（ 3）（ 4）【分析】根据锐角三角函数的定义、互余角的三角函数的关系、锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值及绝对值的定义求解.【解答】解：(1)如果 a=30，那么 sin a=:cosa，sin a +cosa=_+丰1，错误;(2 ) 90a 45 ,.0 V 90aV 45Va,. sin a sin (90a),sin a cos a,正确；COs a 二，贝V aV 60 ,正2（3） cos60 =丄，余弦函数

11、随角增大而减小，.如果2确；(4) sin a 1 , sin a10S-泊：-u:t=|sina 1| = 1 sin a,正确.故正确结论的序号是（2） （ 3） （4）.故选：C.4. 若 0 v/ A 45，那么 sin A- cosA 的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定【分析】cosA= sin （90- A）,再根据余弦函数随角增大而减小进行分析.【解答】解： cosA= sin （90- A）,余弦函数随角增大而减小，当 0/ A45 时，sin A cosA 即 sin A cosAv 0.故选：B.5. a为锐角，若sin a +cos a =, 则Sin a

12、 - cos a的值为（）A.1B. 1C D.02 2 2【分析】将两式分别两边平方，利用si n 2a +cos2 a= 1 ,求出Sin a cos a的值，解答即可.【解答】解：T sin a +cos a =, ( sin a +cos a) = 2 ,2 2即 sin a +cos a +2sin a cos a = 2 .又.sin a +cos a= 1 , 2sin a cos a= 1 .2 2 2 ( sin a - cos a) = sin a +cos a - 2sin a cos a= 1 - 2sin a cos a= 1 - 1 = 0. sin a - cos

13、 a = 0.故选：D.6. 在厶 ABC中, / A, / B均为锐角，且有 阳n B- _；|+ (2cosA- 1) = 0，则 ABC是(A.直角（不等腰）三角形B.等边三角形C.等腰（不等边）三角形D.等腰直角三角形【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出/B, / A的度数，进而得出答案.【解答】解：.|tan B-匚 1+ (2cosA- 1) 2= 0, tan B=舒,2cosA= 1,则/ B= 60,/ A= 60, ABC是等边三角形.故选：B.7. 关于三角函数有如下公式:sin (a + 3)= sin a cos 3 +cos a sin 3, sin (a-3)=

14、 sin a cos 3 - cos a sincos (a + 3)= cos a cos 3 - sin a sin 3, cos (a-3)= cos a cos 3 +si n a sintan (a + 3)=B ( 1 - tan a tan 3工0),合理利用这些公式可以将一些1-tanO tan?角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90 = sin (30 +60 )=sin30 cos60 +cos30 sin60O利用上述公式计算下列三角函数sin 105、三=12一一_, tan 10542 -匚, sin15 一， cos904其中正确的个数有（A. 1

15、个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案.【解答】解： sin 105 = sin （ 45 +60 ）=sin60 cos45 +cos60 sin45=+】X兰2 2 2 2=丄丄，故此选项正确；4 tan105 = tan ( 60 +45 )l-tan45 tan60=1 _=-=dW3)2=-2 -匚，故此选项正确； sin15 = sin (60- 45 )=sin60 cos45 - cos60 sin45 =x 二-亠x =2 2 2 2=-，故此选项正确；4 cos90 = cos (45 +45)=cos45 cos45 - sin45

16、 sin45 2 2 2 20，故此选项正确；故正确的有4个.sadA,即)故选：D.&定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA=底边：腰.如图，在 ABC中，AB= AC / A= 2/ B.贝U sin B?sadA=BCD. 2A.丄B. 1C. :2【分析】证明 ABC是等腰直角三角形即可解决问题.【解答】解： AB= AC:丄 B=Z C,/ B=Z C= 45,/ A= 90,BC= * AC sin / B?sadA=21_?= 1,BC AC故选：B.9 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，其中方田章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积=（弦

17、x矢+矢2）,弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公2O到弦的距离之差在如图所式中“弦”指圆弧所对弦长 AB “矢”等于半径长与圆心”为 3,则 cos / OAB=(6B 24B25【分析】如图，作OHL AB于H.利用已知条件以及勾股定理构建方程组求出OA 0H即可解决问题.【解答】解：如图，作OHL AB于 H由题意：AB= 8, OA- OH= 3,TOHL AB AH= BH= 4, aH+oH = oA,2 4 =( OA+OH (OA- OH, OA+OH=,3257 OA=, OH= 1IF66人口 4 cos / OAB=OA竺故选：B.10如图，小巷左右两侧是竖直的墙，

18、一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面AB=2米，梯子与地面夹角 a的正弦值sin a = 0.8 .梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面 2.4米，则小巷的宽度为（【分析】分别在B.1.5米C.2.2米D. 2.4 米Rt ABC Rt DEC中求出 AC,BC CD即可.【解答】解：在Rt ABC中, vZ ABC= 90, AB= 2 米,sin a =AC 0.8 =一，AC AC= 2.5 米,BC= J=5 米,在 Rt ECD中, vZ ED= 90, ED= 2.4 米，EC= AC= 2.5 米，（=_= .; = 0.7， BD= CDBC= 0.7+1

19、.5 = 2.2 米，故选：C.11.如图已知斜坡 AB长60/2米，坡角（即Z BAC为45, BCLAC现计划在斜坡中点 D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡 BE若修建的斜坡BE的坡度为3: 1，休闲平台DE的长是（）米.A. 20B. 15C.】.1D. . .!【分析】延长 DE交BC于 H.解直角三角形求出 BC= AC= 30,再证明BH= CH= DH= 30,EHh 10,即可解决问题；【解答】解：延长 DE交BC于H.由题意BH EH= 3: 1,在 Rt ABC中, AB= 60 匚，/ BAC= 45,BC= AC= 60,/ AD=

20、 DB DIH/ AC BH= CH= 30,DH= 一AC= 30,2 EH= 10, DE= 30 - 10= 20 ,故选：A.二.填空题(共8小题)12在 ABC中，/ C= 90, sin A= , BC= 4,则 AB值是 10 . 5【分析】根据正弦函数的定义得出sin A=n，即，即可得出AB的值.AB 5 AE【解答】解： sin A=A，即卩 =一，AB 5 AB AB= 10,故答案为：10.13. 如图，P( 12, a)在反比例函数丫匕图象上，PHLx轴于H,则tan / POH的值为_【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan / POH为/ POH勺对边比邻边，求

21、出即可.【解答】解： P (12, a)在反比例函数丁 二图象上，a= 5,12/ PHL x 轴于 H, PH= 5, OH= 12, tan / POH= ，12故答案为：.1214. A ABC中，/ C= 90, tanA=一，贝V sin A+cosA = _i .3_【分析】根据ta nA=和三角函数的定义画出图形，进而求出si nA和cos A的值，再求3出 sin A+cosA 的值.【解答】解：如图AC 3设 AB= 5x，贝U BC= 4x,AC= 3x,m【若 a丄a BC , AC , 4x 7贝U有：sin A+cosA=+=+= ,AB AB 5x 5x 5故答案为

22、：.515. 已知，在 Rt ABC中, Z C= 90, tan B=，贝U cosA=_.3【分析】根据正切的定义，可得直角边，根据勾股定理，可得斜边，根据余弦函数，可得答案.【解答】解：如图由 tanB=,得AC= 4k, BC= 3k,由勾股定理，得AB= 5k,cosA=_ = J_AB 5k 5故答案为：；516.如图，在 Rt ABC中, / ACB= 90 , CDL AB 垂足为 D. AF平分/ CAB 交 C盯点 F.交 CD于点 E 若 AC= 6, sin B=，贝U DE的长为 _ _.【分析】先由 AF平分/ CAB CDL AB过点E作EG垂直于AC利用角平分线

23、的性质定理得EG等于DE易得Rt AED全等于Rt AEG以及/ DCA等于/ B,从而求得 AD AGCG然后在Rt CEG ,由勾股定理求出 EG即为DE的长度.【解答】解：过点 E作EGL AC于点G,又 AF平分/ CAB CDLAB EG= ED在 Rt AED和 Rt AEG中 ,/AE=AELeg=ed Rt AED Rt AEG( HL),AG= AD/ AC= 90 , CDL AB/ B+Z BAC=Z DCA/BAC= 90 ,/ DC=Z B,T AC= 6 , sin B=,5 sin / DCA= sin B=.扯抗I_3：= ，5 AD=_,5DC=丨-：=1，

24、AG= A丄，CG= AC- AG=_1,55在 Rt CEG中 CE= EG+CG, ( DC- ED 2=( DC- EG 2= EG+CGbd EG= =5DE=_5故答案为：DA17.如图，若 ABCA DEF勺面积分别为 S、S2,贝U S： S= 1： 1【分析】过 A点作AGL BC于 G,过D点作DHL EF于H.在Rt ABG，根据三角函数可 求AG在Rt ABG，根据三角函数可求 DH根据三角形面积公式可得 S, S2,依此即 可作出解答.【解答】解：过 A点作AGL BC于 G过D点作DHLEF于H.在 Rt ABG中 AG= AB?sin40 = 5sin40 ,/ D

25、EH= 180 - 140 = 40,在 Rt DHE中 DH= DEsin40 = 8sin40 ,S2= 5X 8sin40 + 2 = 20sin40则 Si= S2.故答案为：1:118如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2米，斜坡AB的坡度-，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点3与C重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则【分析】利用斜坡 AB的坡度i得到坐=丄，进而证得 CBBA BAE得到 型=翌1 3 AE 3BD AE=丄，然后设CD= x米，贝U BD= 3x米，在Rt CBD中，禾U用勾股定理求得答案即可.3【解答】解：

26、如图，斜坡 AB的坡度一二3.BE 1AE 3/ CBD/ ABE= 90。，/ ABE/ A= 90,:丄 CBD=/ A,/ CDB=/ AEB= 90, CBDb BAE CD = BE = 1 =设 CD= x 米，贝U BD= 3x 米,货物顶点D与C重合，/ CDB= 90,在 Rt CBD中, bD+cD= bC,2 2 2即：x+ (3x)= 2 ,x=_L_ (负值舍去)，5 BD=米.5故答案为山米.19如图，从甲楼底部 A处测得乙楼顶部 C处的仰角是30。，从甲楼顶部 B处测得乙楼底 部D处的俯角是45，已知乙楼的高 CD是45m则甲楼的高 AB是 45寸勺 m（结果保

27、留根号）；DA【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB= AD再利用锐角三角函数关系得出答案.【解答】解：由题意可得：/BD/V 45,贝U AB= AD又/ CAD= 30,在 Rt ADC中, CD= 45mtan / CDAf tan30 =丄上，即上=丄上，AD 3 AD 3解得：AD= 45（, AB= 45打 m故答案为：45匚.三.解答题（共5小题）、4、20. 已知 a 为一锐角，sin a =，求 cos a, tan a.【分析】根据 sin a=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长5的表达式即可推出 COS a的值，同理可得tan a的值.【解答】解：由

28、sin a = 2_=_，设a= 4x, c = 5x,c 5则 b=3x，故 COS a= 一=, tan a=二=.c 5b 32即可得出结论.21. 计算：2cos30 + 匚sin45 - tan 260- tan45【分析】将特殊角的三角函数值代入求解.【解答】解：原式=:-3.2 222. (1)已知/ A 是锐角，求证：sin A+cos A= 1.(2)已知/ A为锐角，且sin A?cosA=，求/ A的度数.2【分析】(1 )利用三角函数的定义即可得出结论；a= b,(2)利用三角函数的定义得出c2 = ab,再用勾股定理得出a2+b2= c2,进而得出A=, cosA=，

29、根据勾股定理得，a?+b = c ,(1)证明：sin 2A+cos2A=C ) 2+ () 2= 1,CCc2(2 )T sin A?cosA=丄2 一 - ，c c 2 c2 2ab,2 2 2 a +b 2ab,即：(a - b) 0,- a b,在 Rt ABC中, ta nA丄1,/ A 45.b23. 如图，在 Rt ABC中,/ C 90，点 D在 BC边上，/ AD( 45, BD= 2, tanB二(1 )求AC和AB的长；(2 )求 sin / BAD的值.【分析】(1)由 tan B=二 设 AC= 3x、BC= 4x,据此得 DC 4x - 2,根据/ ADC= 45 BC 4得AC DC即3x 4x - 2,解之得出x的值，继而可得答案；(2)作DEL AB,设DE 3a、BE 4a,根据dE+bE bD可求得a的值，继而根据正弦函数的定义可得答案. tan【解答】解：(1)如图，在Rt ABC中,R_ AC _ 3B BC 4设 AC 3x、BC= 4x,/ BD 2,- DC BC BD= 4x - 2,/ AD( 45, AC DC 即 4x - 2 3x,解得：x= 2,则 AC= 6、BC= 8, AB=10；(2 )作 DEL AB于点 E,由 tan B=二可设 DE= 3a,则 B