线性系统理论(能控性判据)

1、内容简介格拉姆矩阵判据秩判据PBH判据（PBH秩判据、特征向量判据）约当规范形判据第一部分第一部分第二部分第二部分第三部分第三部分第四部分第四部分4.2 连续时间线性时不连续时间线性时不变系统的能控性判据变系统的能控性判据4.2 连续时间线性时不连续时间线性时不变系统的能控性判据变系统的能控性判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据考虑连续时间线性时不变系统，状态方程为 0)0(0txxBuAxx （4.7） 其中，x为n维状态，y为q维输出，A(t)和B(t)为nn和np常值矩阵结论结论 4.1连续时间线性时不变系统（4.7）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵 101, 0tt

2、ATAtcdteBBetWT为非奇异。 4.2 连续时间线性时不连续时间线性时不变系统的能控性判据变系统的能控性判据证证 充分性 已知 为非奇异，欲证系统完全能控。设x0为状态空间中任意 非零状态。,10ttWc说明系统是能控的 构造控制输入, 0, 0)(1011ttxtWeBtuctATT0, 0, 0, 0)()(00011100110)(1111110111011xexextWtWexextWdteBBeexedttBuexetxAtAtccAtAtctttATAtAtAtttttAAtT4.2 连续时间线性时不连续时间线性时不变系统的能控性判据变系统的能控性判据 必要性 已知系统完全

3、能控，欲证 为非奇异。,10ttWc其中， 表示所示向量的范数，而范数必为非负，于是，只能有 采用反证法。反设 为奇异，即反设状态空间中至少存在一个非零状态 ，使成立：0 x0, 0010 xtWxcT基此，可进而导出：dtxeBBexxtWxtATAtTtcTT0000101, 00dtxeBxeBtATTtATtTT0001dtxeBtATtT2001, 0, 010ttxeBtATT,10ttWc4.2 连续时间线性时不连续时间线性时不变系统的能控性判据变系统的能控性判据 另一方面，由系统完全能控知，状态空间中所有非零状态均可找到相应的输入u(t)使成立：从而可进一步得 即 基此，可进而

4、导出：111001)()(0tAtAtAtdttBueexetx100)(tAtdttBuex1100000020)()(ttATTTtAtTdtxeBtuxdttBuexxxT020 x00 x与题设相矛盾，从而证得 非奇异，必要性得证。证明完成。,10ttWc4.2 连续时间线性时不连续时间线性时不变系统的能控性判据变系统的能控性判据 运用格拉姆矩阵判据的类同推证过程可以证明，对连续时间线性时不变系统系统，“Wc0，t1非奇异”同样也是“系统完全能达”的充要条件。据此可以导出，对连续时间线性时不变系统系统，有系统完全能控系统完全能控 Wc0，t1非奇异非奇异 系统完全能达系统完全能达 这就

5、表明，对连续时间线性时不变系统，能控性等价于能达性。因此，本节给出的相对于能控性的判据均可适用于能达性。4.2 连续时间线性时不连续时间线性时不变系统的能控性判据变系统的能控性判据秩判据秩判据结论结论 4.2 对n 维连续时间线性时不变系统（4.7），系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵 满秩，即rankQ c=n ,12BABAABBQnc 证证 充分性 已知rankQc ，欲证系统完全能控。采用反证法，设系统不完全能控，则据格拉姆矩阵判据知，格拉姆矩阵为非奇异。这意味着状态空间中至少存在一个非零状态，类似结论4.1中必要性证明过程可得, 0, 01ttBeAtT将上式对t求导直至(n

6、-1)次，再在导出结果中令t=0，得0,0,0,012BABAABBnTTTT4.2 连续时间线性时不连续时间线性时不变系统的能控性判据变系统的能控性判据 进而，表上述关系式组为 必要性 已知系统完全能控，欲证rank Qc =n 反证法。设rank Qc 0，可得012cTnTQBABAABB 基此，并由0，可知Qc行线性相关，即rank Qc n，与题设矛盾，所以系统完全能控。充分性得证。012BABAABBQnTcT1, 1 , 0, 0niBAiT, 2 , 1 , 0, 0iBAiT13322, 0,! 31! 210ttBeBtAtAAtIAtTT4.2 连续时间线性时不连续时间线

7、性时不变系统的能控性判据变系统的能控性判据于是，基于上式可导出这意味着，格拉姆矩阵 奇异，即系统不完全能控。与已知矛盾，反设不成立，必有rank Qc =n。必要性得证。证明完成。10, 001tWdteBBecTttATAtTT,10ttWc4.2 连续时间线性时不连续时间线性时不变系统的能控性判据变系统的能控性判据其中，R和C可取任意有限值。通过计算得到据所示电路，定出状态方程为例例 4.52,1110012121nuRCRCxxRCRCxx22)(11)(11RCRCRCRCABBQc容易判定， rank Qc =12=n。据秩判据知，系统不完全能控。RCxuxdtCdxRxudtCdu

8、icc11114.2 连续时间线性时不连续时间线性时不变系统的能控性判据变系统的能控性判据PBH判据判据结论结论 4.3n 维连续时间线性时不变系统（4.7）完全能控的充分必要条件为：Cs或其中，C为复数域，i为系统特征值。(例例 4.7)ninBAIranki,.,2 , 1,nBAsIrank,结论结论 4.4n 维连续时间线性时不变系统（4.7）完全能控的充分必要条件为：矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵A所有特征值i，使同时满足TA= i T ， TB=0 的左特征向量 T=0。 4.2 连续时间线性时不连续时间线性时不变系统的能控性判据变系统的能控性判据结论结论 4

9、.5结论结论 4.6对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是对状态矩阵线性非奇异变换导出的约当规范形中矩阵B中不包含零行向量。（4.50）对n维线性时不变系统，若A为约当阵，特征值有重根系统完全能控的充分必要条件是：对应特征值相同的各约当小块最后一行对应的B阵各行向量线性无关。（4.57）例题例题4.9约当规范形判据约当规范形判据4.2 连续时间线性时不连续时间线性时不变系统的能控性判据变系统的能控性判据能控性指数能控性指数结论结论 4.7定义定义 4.10,1BAABBQkk对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：使“rankQk=n”

10、成立的最小正整数k。 当k=n时，Qk为能控性判别矩阵对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则系统能控性指数n。结论结论 4.8对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足 1rnpn4.2 连续时间线性时不连续时间线性时不变系统的能控性判据变系统的能控性判据结论结论 4.10结论结论4.8证明证明对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r， 为矩阵A的最小多项式次数，则能控性指数满足 结论结论 4.9n 1,minrnnpn多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，且rankB=r,则系统完全能控的充分必要条件为： nBAABBrankrankQrnrn,14.2 连续时间线性时不连续时间线性时不变系统的能控性判据变系统的能控性判据结论结论 4.11多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，且rankB=r,将Q表为ppppbAbAbAbAbAbAAbAbAbbbbQ12111222122121,并从左至右依次搜索Q的n个线性无关列，即若某个列不能表成其左方各线性独立列的线性组合就为线性无关，否则为线性相关。考虑到