高等数学-微积分下-课件-华南理工大学 (21)

1、1/34第三节三重积分的概念与计算第三节三重积分的概念与计算二、在直角坐标系下计算三重积分二、在直角坐标系下计算三重积分三、利用柱面坐标三、利用柱面坐标计算三重积分计算三重积分四、四、利用球面坐标利用球面坐标计算三重积分计算三重积分一、三重积分的定义一、三重积分的定义2/34一、三重积分的定义一、三重积分的定义即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv3/34.lkjizyxv 则则zyxvdddd 二、二、 在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系下计算三重积分故故直角坐标系下直角坐标系下的体积元素为的体积元素为在直角坐标系下在直角坐标系

2、下三重积分可表为三重积分可表为 vzyxfd),().(是是小小长长方方体体iv 在直角坐标系中在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的如果用平行于坐标面的平面的来划分平面的来划分, zyxzyxfddd),(4/34直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分),(:11yxzzS Dyx ),(,1穿入穿入从从 z 1、投影法投影法思想是思想是),(:22yxzzS ( (先一后二法先一后二法) )如图如图,空间有界闭区域空间有界闭区域 xOy在在面上的投影为平面闭区域面上的投影为平面闭区域D, ,过点过点作直线作直线,穿出穿出从从2zxyzO Dab)(1xyy )

3、(2xyy 1S),(1yxzz 2S),(2yxzz ),(yx1z2z5/34,看作定值看作定值先将先将yx ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyxfyxF,),()(:21bxaxyyxyD X型型),(yxF再计算再计算zzyxf只看作只看作将将),(的函数的函数,上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区域域 Dd),(),(),(21 yxzyxzzzyxf DyxF d),( D d vzyxfd),(得得 ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf )()(21dxyxyy baxd则则6/34 vzyxfd),( 轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于 z

4、如何写出当如何写出当D为为Y型闭域型闭域时时, ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf baxd注注化为三次积分的公式化为三次积分的公式三重积分三重积分S的边界曲面的边界曲面内部的直线与闭区域内部的直线与闭区域 相交不多于两点情形相交不多于两点情形. )()(21dxyxyy7/34所以所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积三重积分可以化为六种不同次序的三次积分分(累次积分累次积分).和积分域和积分域选取适当的三次积分进行计算选取适当的三次积分进行计算.解题时解题时, 要依据具体的被积函数要依据具体的被积函数),(zyxf同样同样,也可以把积分域也可以把积分域向向yOz、zOx面投

5、影面投影.8/34xyzO222224yxzyxaz 及及求曲面求曲面.V的体积的体积所围立体所围立体 解解 两曲面的交线为两曲面的交线为 22222ayxaz所以所以,:xyDxOy面面的的投投影影域域在在 2222ayx vVd 222224ddyxayxDzxy xyDyxyxa d)4(22222 rrrraad)4(d202220 例例.)22(383a 9/34 2、截面法截面法(红色部分红色部分)( (先二后一法先二后一法) )截面法的一般步骤截面法的一般步骤(1)向某轴向某轴把积分区域把积分区域 )(轴轴如如z投影投影, ,得投影区间得投影区间;,21cc(2),21ccz 对

6、对, 的平面去截的平面去截轴且平行轴且平行用过用过xOyz;zD得截面得截面(3)计算二重积分计算二重积分 zDyxzyxfdd),();(zFz的函数的函数其结果为其结果为(4).d)(21 cczzF最后计算单积分最后计算单积分xzoy 1c2czzD10/34 即即 zDyxzyxfcczvzyxfdd),(dd),(21 cczzF21d)(当被积函数仅与变量当被积函数仅与变量z有关有关,截面法的公式还有两个截面法的公式还有两个.用上公式简便用上公式简便.自己推自己推注注且截面且截面Dz易知时易知时,11/34: ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zD

7、ccdxdydzzxyzozD解解12/34)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式13/34,0 r,20 z规定规定xyzo r),(zyxM),( rPzr, , r直角坐标直角坐标与与柱面坐标柱面坐标的关系为的关系为就叫点就叫点M的的柱面坐标柱面坐标.三、利用柱面坐标三、利用柱面坐标计算三重积分计算三重积分设设M(x, y, z)为空间内一点为空间内一点,并设点并设点M在在xOy面上的投影面上的投影P的极坐标为的极坐标为则这样的三个数则这样的三个数 .

8、,sin,coszzryrx 14/34为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 柱面坐标柱面坐标系中系中, 以以z轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面；过过z轴的轴的半平面半平面.与与xOy平面平行的平面平行的平面平面;三坐标面分别为三坐标面分别为),(zyxM),( rPxyzOr 15/34 dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzrdrddv 16/34 如如,极坐标极坐标不等式表示不等式表示, ).()(21 rrr 先先将将在在xOy面上的投影域用面上的投影域

9、用 zrrzrrfddd),sin,cos( 故故 ),(),(21d),sin,cos( rzrzzrzrrf )()(21d rrr d再再确定确定的下的下, 上边界面上边界面),(1 rzz ),(2 rzz 注注通常是通常是先积先积再积再积后积后积、r、z. 17/34例例222yxz 已知立体内任一点的质量的体密度已知立体内任一点的质量的体密度解解vyxkMd)(22 因为因为222yxz 平面平面2222 yx求曲面求曲面2 z与与所围立体的质量所围立体的质量M,与该点与该点 到到z轴的距离的平方成正比轴的距离的平方成正比.)0( k常数常数的的交线交线是是2 z与与2 z上的圆上

10、的圆体密度函数为体密度函数为xyzO2 z222yxz )(22yxk 18/34的的下边界面下边界面是是),(2122yxz 上边界面上边界面是是故故zrrrkddd2 222drz k316 所以所以在在xOy面上的投影域面上的投影域xyD即即vyxkMd)(22 是半径为是半径为2的圆域的圆域rr d203 20dk . 2 zxyzO422 yxxy 20,20 r ;212rz 19/34 当被积函数是当被积函数是),(),(),(22xyzfxyzfyxzf 积分域积分域由圆柱面由圆柱面 (或一部分或一部分)、锥面、抛物面、锥面、抛物面用用所围成的所围成的.柱面坐标柱面坐标计算三重

11、积分较方便计算三重积分较方便.20/34 P zyxA,0 记投影记投影向量与向量与x轴正方向的轴正方向的.20 ( , , ) 规定规定, 0, ),(zyxM OM再再将将正方向间的夹角为正方向间的夹角为轴轴与与zOM夹角为夹角为球面坐标球面坐标.称称为点为点M的的之之长长为为记记向向量量OM四、四、利用球面坐标利用球面坐标计算三重积分计算三重积分xyzO设设M(x, y, z)为空间内一点为空间内一点,向向xOy平面投影平面投影, 21/34为常数为常数 球面坐标系球面坐标系中的三坐标面分别为中的三坐标面分别为原点为心的原点为心的球面球面；过过z轴的轴的半平面半平面球面坐标与直角坐标的关

12、系球面坐标与直角坐标的关系为为为常数为常数 原点为顶点、原点为顶点、z轴为轴为轴的轴的圆锥面圆锥面； zyxA),(zyxM xyzOyzxxyzOxyzOxyzOxyzOsincos ,sinsin ,cos .xyz为常数为常数22/34 dxdydzzyxf),(2( sincos ,sinsin ,cos )sin.fd d d 球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为 dxyzodsin d d d dsin如图，如图，2dsin d d dv 通常是先积通常是先积注注、再再积积 . 后积后积23/34如积分域如积分域为球域为球域(如图如图).: Rfvf0020(ddd 则

13、则,0 0,R 20 sincos ,sinsin ,cos2sindxyzO)24/34解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标，由由22222azyx 2 , a22yxz ,4 : 02 , 0, 02 ,4a25/34由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV,4222000sinaVddd 4033)2(sin2da.)12(343a 26/34az cosa222zyx 4 0.cosa解解 法一法一 采用采用,40 : ,20 ,ddd)(22zyxyxI 计算计算例例是锥面是锥面其中其中 所围的立体所围的立体. .)0(222 aazzyx与平

14、面与平面球面坐标球面坐标xyzOaz 222zyx 27/34 zyxyxIddd)(2224cos000ddda d)0cos(51sin255403 a.105a 0cosa,40 : ,20 43sin28/34 azzyx222法二法二 采用采用:xyD柱面坐标柱面坐标222ayx rz 222ayx xyzOaz 222zyx dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a ,20,0,: arazr29/34当积分区域是球形域当积分区域是球形域或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面,

15、 ,被积函数具有被积函数具有的形式时的形式时, ,用用球面坐标球面坐标计算三重积分较简便计算三重积分较简便. .或是球的一部分或是球的一部分;)(222zyxf 30/34利用对称性化简三重积分计算利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个变量的、被积函数在积分区域上的关于三个变量的奇偶性奇偶性31/34解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz32/34柱面坐标系下柱面坐标系下计算三重积分计算三重积分柱面坐标体积元素柱面坐标体积元素 )小结小结直角坐标系下直角坐标系下计算三重积分计算三重积分zyxvdddd (思想思想:计算时将三重积分化为三次积分计算时将三重积分化为三次积分)三重积分的计算三重积分的计算(直角坐标体积元素直角坐标体积元素 ),cos rx ,sin ry zz (柱面坐标与直角坐标的关系柱面坐标与直角坐标的关系zrrzyxdddddd 33/342d d dsin d d dx y