上海市虹口区2020年中考数学一模试卷解析版

1、2020年上海市虹口区中考数学一模试卷一.选择题(共6小题)1若COS a =丄，则锐角a的度数是()21A.30°B. 45°C.60°D.90°2.在 Rt ABC中，/ C= 90°，如果 BC= 2, tan B= 2,那么 AC=()A.1B. 4C.!,D.2 !.3抛物线y= 3 (x+1) 2+1的顶点所在象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知抛物线2y= x 经过 A(- 2, yi)、B（1,y2）两点，在下列关系式中,正确的是（A. y1> 0> y2B. y2> 0>y

2、1C. y1 > y2> 0D. y2> y1> 05. 已知.、I，和，都是非零向量，在下列选项中，不能判定- /，的是（A. | = | | JC. .-：+1 = 06. 如图，点D是厶ABC勺边BC上一点,那么 ABD勺面积为（）B.D. a|+b = 2日，a. - b = 3cBAD=Z C, AC= 2AD 如果 ACD勺面积为 15 ,A. 15B. 10C. 7.5D. 5.填空题（共12小题）7. 如果 a： b=2: 3,且 a+b= 10,那么 a=如果向量，:满足关系式2 ：! - 3 （ -： +）=0,那么用向量9. 如果抛物线y =（ 1

3、 - a） x2+1的开口向下，那么 a的取值范围是 .210. 沿着x轴正方向看，抛物线y=- （x - 1）在对称轴侧的部分是下降的（填“左”、“右”）.11. 如果函数 y=（ m+1） x +2是二次函数，那么 m=.12. 如图，抛物线的对称轴为直线x= 1,点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点 P在点Q13. 如图，点A (2, m在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为 a,如果tan %=寻.那么m*OY14. 已知 ABSA ABC，顶点 A B、C分别与 A、B、Ci对应，AC= 12、AiC= 8, ABC的高AD为6，那么 A1BC的高A1D1长为.15. 如图，在梯形 AE

4、FB中 AB/ EF, AB= 6, EF= 10,点C D分别在边 AE BF上且CD/16公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49,直角三角形中较小锐角0的正切为 一，那么大正方形的面积是 .17.如图，在 Rt ABC中, / 0= 90°, AC= 1, BC= 2，点 D为边 AB上一动点，正方形 DEFG的顶点E F都在边BC上，联结 BG tan / DG=,AB= 9, AD= 6，点E F分别在边 AB18.如图，在等腰梯形 ABCD中, AD/ BC sin

5、 C=BC上,联结EF,将厶BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B' F经过顶点A, B'F交对角线BD于点P,当B' F丄AB时，AP的长为三解答题(共7小题)19. 计算：-tan 260 °cotSO -tan45'20. 在平面直角坐标系中，将抛物线C： y = x2 - 2x向左平移2个单位，向下平移 3个单位得到新抛物线C2.(1) 求新抛物线C2的表达式；(2) 如图，将 OAB& x轴向左平移得到厶 O A' B',点A (0, 5)的对应点A'落在平移后的新抛物线 C2上，求点B与其对应点B&#

6、39;的距离.21. 如图，在 Rt ABC中，/ ABC= 90°，点G是Rt ABQ的重心，联结 BG并延长交 AC于点D,过点 G作GEL BC交边BC于点E.(1)如果"=5L,b，用7、E表示向量BG；（2）当AB= 12时，求GE的长.22.某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB （假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜 7（即/ BAB = 7° ）后折断倒在地上,树的顶部恰好接触到地面 D处，测得/ CDA= 37°,AD= 5米，求这棵大树 AB的高度.（结果保留根号）（参考数据：sin37疋0.6 , cos37 =于点E,联结BE/ A

7、CB= 90，点D是边BC的中点，联结 AD过点C作CEL AD(1)求证：BD = DEAD(2)如果/ ABC=Z DCE 求证：BDCE= BE?DE224. 在平面直角坐标系中，抛物线y=- x+bx+c与x轴交于A (- 1, 0)、B两点，与y轴交于点C( 0，3),点P在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为蚯.(1) 求抛物线的表达式以及点P的坐标；(2) 当三角形中一个内角a是另一个内角 3的两倍时，我们称 a为此三角形的"特 征角”. 当D在射线AP上，如果/ DAE ABD的特征角，求点 D的坐标； 点E为第一象限内抛物线上一点，点F在x轴上，CEL EF,如果/ CE

8、F%A ECF勺特征角，求点E的坐标.25. 如图，在 Rt ABC中，/ ACB= 90°, BC= 4, sin / ABC=厶，点 D为射线 BC上一点，5联结AD,过点B作BE! AD分别交射线 AD AC于点E、F,联结DF,过点A作AG/ BD, 交直线BE于点G(1) 当点D在BC的延长线上时，如果 CD= 2，求tan / FBC(2) 当点D在BC的延长线上时，设 AG= x, Sadaf= y,求y关于x的函数关系式(不需要写函数的定义域)；(3)如果AG= 8,求DE的长.47aB参考答案与试题解析选择题（共6小题）1若COS a =-二，则锐角a的度数是（）A

9、. 30°B. 45°C. 60°【分析】根据COS a=-L,求出锐角a的度数即可.【解答】解：T COS a=-_,.a= 60°.故选：C.D. 90°2. 在 Rt ABC中, Z C= 90°，如果 BC= 2, tan B= 2,那么 AC=（A. 1B. 4C.n【分析】根据正切函数的定义求解即可.在 RtZ ACB中/ C= 90°,tan B=丄=2,BC二=2,2 AC= 4.故选：B.23. 抛物线y= 3 （x+1） +1的顶点所在象限是（）D.第四象限从而可以得到顶A.第一象限B.第二象限C.第三象

10、限2【分析】根据抛物线 y = 3 （x+1） +1,可以写出该抛物线的顶点坐标, 点在第几象限.【解答】解：抛物线 y= 3 （x+1） 2+1,该抛物线的顶点是（-1, 1）,在第二象限，故选：B.24. 已知抛物线y= x经过A (- 2, yi)、B (1, y2)两点，在下列关系式中， 正确的是()A. y1> 0>y2B. y2> 0>y1C. y1 >y2> 0D. y2>y1> 0【分析】依据抛物线的对称性可知：(2, yi)在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可.2【解答】解：抛物线 y= x ,抛物线开口向上，对称轴为y轴

11、， A (- 2, yi)关于y轴对称点的坐标为(2, yi).又 0v 1 v 2, yi> y2> 0,故选：C.* *j5. 已知.、I，和，都是非零向量，在下列选项中，不能判定 .一：/ .，的是C.汁 1 = 01 u *IHII4D.门 + = 2= 3'A. | ：| = | 11B. a. / u, b / c【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解.【解答】解：a、该等式只能表示两ii t'.的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意;由乱亡，1>/贮可以判定b,故本选项不符合题意.C由併E = 0可以

12、判定；、E的方向相反，可以判定 ：/习，故本选项不符合题意.D由I- + = 2 ,- - = 3得到, F =-，则匸一、I的方向相反，可以判定 口2 2|/ I',故本选项不符合题意.故选：A.6.如图，点 D是厶ABC的边BC上一点，/ BAD=Z C, AC= 2AD如果 ACM面积为15 ,那么 ABD勺面积为(BCA. 15B. 10C. 7.5D. 5【分析】首先证明厶 BABA BCA由相似三角形的性质可得： BAD的面积： BCA的面 积为1: 4，得出 BAD的面积： ACM面积=1: 3，即可求出 ABD的面积.【解答】解：/ BA* / C,Z B=Z B, B

13、ADA BCA/ AC= 2AD ABD的面积=X 15= 5,2故选：D.二.填空题（共12小题）7.如果 a： b=2: 3,且 a+b= 10,那么 a= 4 .【分析】根据已知条件设 a= 2k, b= 3k,再根据a+b= 10求出k的值，从而得出a的值.【解答】解：设 a= 2k, b= 3k,/ a+b= 10, 2k+3k= 10,解得：k= 2,.a= 2k= 2 X 2= 4；故答案为：4.&如果向量小，满足关系式）=0，那么用向量勺、I，表示向量=【分析】禾U用一元一次方程的求解方法，去括号、移项、系数化1，即可求得答案.【解答】解：T 2b-3 (；+丈)=0,

14、二 2b- 3a.- 3工=0, 3王=2b- 3殳故答案是：''：39.如果抛物线y =( 1 - a) x2+1的开口向下，那么 a的取值范围是也>I .2【分析】根据抛物线 y = ax +bx+c的开口向下，贝U av0，利用不等式求解即可.【解答】解：抛物线y=( 1 - a) x2+1的开口向下， 1 - av0,解得,a> 1,故答案为：a> 1.10.沿着x轴正方向看，抛物线y=- (x- 1) 2在对称轴 右 侧的部分是下降的(填"左”、“右”【分析】根据抛物线 y=-( x - 1 ) 2可以得到该抛物线的对称轴和在对称轴两侧，y

15、随x的增大如何变化，从而可以解答本题.【解答】解：抛物线 y=-( x- 1) 2,该抛物线的对称轴为 x= 1,当xv 1时，y随x的增大而增大，当 x > 1时，y随x的增大而减小,在对称轴右侧的部分是下降的, 故答案为：右.11.如果函数 y=( m+1)' +2是二次函数，那么 m= I"-_【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值.【解答】解：t函数 y =( m+1) x 1 +2是二次函数，2小 m - m= 2,(m- 2) (m+1)= 0,解得：m= 2, m=- 1,- m*- 1, m+1* 0,故答案为：2.12.如图，抛物线的对称轴为直线x=

16、 1,点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点 P在点Q的右侧，如果点 P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为（-2, 0）.【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解.【解答】解：抛物线的对称轴为直线x= 1，点P的坐标为（4, 0）,点Q的横坐标为1 X 2 - 4=- 2,点Q的坐标为（-2, 0）.故答案为：（-2, 0）.13.如图，点A （2, m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为 a,如果tan a=寻.那么m【解答】解：如图，作 AELx轴于E.A0E OE= 2, AE= m A (2,m),-_ 372"/ tan a m= 3,故答

17、案为3.14.已知 ABSA ABC，顶点 A B、C分别与 A、B、Ci对应，AC= 12、AiC= 8, ABC的高AD为6，那么 AiBC的高AiDi长为4【分析】直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对应高的比进而得出答案.【解答】解： AB3AAiBiC, AC= 12、AG = 8,_ 382相似比为:/ ABC的高 AD为 6, AiBiG的高 AD长为:6X=4.故答案为：4.15.如图，在梯形 AEFB中,AB/ EF, AB= 6, EF= 10,点 C、D分别在边 AE BF上且 CD/AB如果AC= 3CE那么CD=9CEAE,再证 AB/ EF, CD/ AB ECM

18、b EAB BMD BEF由相似三角形的性质可分别求出CM DM的长，可进一步求出CD的长.【解答】解：如图，连接 BE交CD于点M AC= 3CECELAC3 AB/ CD/ EF,DF-BDCEAECEAEL,4- -CM一ABCM6CM=二,2 MD/ EF, BMX BEF,MDBDBFMD|J3104即 CD= CMMD=_+ 9,故答案为：9.，它由四49,16公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图” 个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是 直角三角形中较小锐角 B的正切为县，那么大正方形的面积是询【分析】由题意知小正方形的

19、边长为7 .设直角三角形中较小边长为a,较长的边为b,运用正切函数定义求解.【解答】解：由题意知，小正方形的边长为7，设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b,则tan B=短边：长边=a： b= 5: 12.所以b=a,5又以为b= a+7,联立，得a= 5, b= 12.2 2所以大正方形的面积是：a+b = 25+144= 169.故答案是：169.17.如图，在 Rt ABC中, / C= 90°, AC= 1, BC= 2，点 D为边 AB上一动点，正方形 DEFG 的顶点E F都在边BC上，联结 BG tan / DG=.BE BC 2【分析】设 DE与 BG交于点Q根据

20、题意可得 BDEA ABC可得匹A,由正方形的性质可得GF= DE= EF,进而得出一-丄，再证明 DW E。” FGB可得DO E0 GF 1DG _EB BF _3【解答】解：如图， DE与 BG交于点。正方形DEFG/ DEB=Z EDG=Z GFB= 90°, GF= DE= EF,BDEA ABC丄二二':':,GF3/ DOG / EOB DOGA EOBA FGBDO EQ GF _1DG "EB tan / DGB=18.如图，在等腰梯形ABCD中, AD/ BC sin C=Z, AB= 9, AD= 6，点 E、F 分别在边 ABBC上，

21、联结EF,将厶BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B' F经过顶点A, B'F交对角线BD于点P,当B' F丄AB时，AP的长为；BC【分析】解直角三角形求出BF, AF,再利用相似三角形的性质求解即可.【解答】解：如图,/ FB'丄 AB, / BAF= 90 °,四边形ABC虚等腰梯形,/ ABC=Z C,AFl 4 sin / ABC= sin / C= =,BF 5设 AF= 4k, BF= 5k,则 AB= 9 = 3k, k = 3,PA=_ PA=7故答案为24 AF= 12, BF= 15, AD/ BF, APD FPBPA=

22、 AD= 6=2PF BF厉5,2-4 ；三解答题(共7小题)19.计算:. ' -甌0 °【分析】把特殊的锐角三角函数值代入计算即可.【解答】解：原式=- -( ：) 2= :- 2 220. 在平面直角坐标系中，将抛物线G: y = x - 2x向左平移2个单位，向下平移 3个单位得到新抛物线C2.(1) 求新抛物线C2的表达式；(2) 如图，将 OAE沿 x轴向左平移得到厶 O' A B',点A (0, 5)的对应点A'落在的距离.解答;【解答】解：2 2(1 )由抛物线 G： y x 2x =( x 1)1知，将其向左平移 2个单位,质，线段A

23、A的长度即为所求.向下平移3个单位得到新抛物线(2)把y = 5代入抛物线C2求得相应的x的值，即可求得点 A'的坐标，根据平移的性2C2的表达式是：y =( x - 1+2) - 1 - 3, 即卩 y =( x+1)(2 )由平移的性质知，点 A与点A的纵坐标相等，2所以将y= 5代入抛物线 0得(x+1) - 4= 5,贝U x=- 4或x = 2 (舍去)所以AA = 4,根据平移的性质知：BB = AA = 4,即点B与其对应点B'的距离为4个单位.21. 如图，在 Rt ABC中，/ ABC= 90°，点G是Rt ABC的重心，联结 BG并延长交 AC于点

24、D,过点G作GEL BC交边BC于点E.(1) 如果"=1=口,用口、|表示向量；(2) 当AB= 12时，求 GE的长.【分析】(1)由已知可得 石5=占，有伍=気+奇，可得面=-W R，剩余転=三五 =_(-1,+丄.;)=-_;3233(2)过点D作DFL BC由GE/ DF,则些=，再由DF/ AB D是AC的中点，可得 DFDF 3=AB即可求GE2【解答】解：(1 ) I' i=:+，点G是Rt ABC的重心, AD=AC2.= .-i ,，= 、(2)过点D作DFL BC/ GE/ DFGE 2dF3"DF/ AB D是 AC的中点,DF=B2/ AB

25、= 12,- DF= 6, GE= 4.AB （假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜 7（即/ BAB = 7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面 D处，测得/ CDA= 37°,AD= 5米，求这棵大树 AB的高度.（结果保留根号）（参考数据：sin37疋0.6 , cos37 =【分析】过点 A作AE丄CD于点E,解Rt AED求出DE及 AE的长度，再解Rt AEC得出CE及 AC的长，进而可得出结论.【解答】解：过点 A作AE1 CD于点E,则/ AEC=Z AE* 90°.在 Rt AED中，/ AD（= 37°, cos37°

26、=竺=匹=0.8 ,AD 5 DE= 4,/ sin37 °=些=坐=0.6 ,AD 5 AE= 3.在 Rt AEC中,/ CAE= 90°-/ ACE= 90° - 60°= 30CE=AE=-：,3 AC= 2CE= 2 ":, AB= AGCEnED= 2:+ ：'：+4 = 3 ：+4 (米).于点E,联结BE联结AD过点C作CEL AD(1)求证：BD = DEAD(2)如果/ ABC=/ DCE 求证：BDCE= BE?DE【分析】(1)证明 CDNA ADC推出焉墙，可得CD= DRDA即可解决问题.(2)利用相似三角形

27、的性质首先证明 可得十即可解决问题.AC= BE再证明 ACEA CDE可得ACCDEC丽'【解答】(1)证明：如图1中,CEL AD:丄 CED=/ ACD= 90°, / CDE=Z ADC CDE ADCCDDEADCD CD= DE?DA/ DB= CDbD= de?da(2)解：如图2中,圏2 bD= de?daBEBADEBD/ CDE=Z ADB BDEo ADB:丄 DEB=Z ABC/ ABD=Z ECD/ BED=Z BCE/ EBD=Z CBEEBg CBEBEBDCBBE bE= bdbc,/ CD= BD bE=2CD,/ DCEZ ACE= 90。

28、，/ CAD/ ACE= 90°,:丄 CAD=/ ECD=/ ABC/ ACD=/ BCA ACD BCAACCDBCAC aC= CDCB= 2CD, AC=BE/ ACEo CDEACECCDBEDEECBDDE BCPCE= BE?DE224. 在平面直角坐标系中，抛物线y=- x+bx+c与x轴交于A (- 1, 0)、B两点，与y轴交于点C (0, 3),点P在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为2 :.(1) 求抛物线的表达式以及点 P的坐标；(2) 当三角形中一个内角 a是另一个内角 3的两倍时，我们称 a为此三角形的"特 征角”. 当D在射线AP上，如果/ DA

29、B ABD的特征角，求点 D的坐标； 点E为第一象限内抛物线上一点，点F在x轴上，CEL EF,如果/ CEF ECF勺特征角，求点E的坐标.【分析】(1)抛物线y=- x2+bx+c与y轴交于点C (0, 3),则c = 3，将点A的坐标代 入抛物线表达式并解得：b= 2，即可求解；(2) 当a = 60。，/ DBA= R 4口= 30°时， ABD为直角三角形，即可求解；当/F 2ADB=3时，则/ ABD= 90°，即可求解；(3) / CEFECF的特征角，则 CEF为等腰直角三角形，则 CNEA EMF( AAS , 即可求解.【解答】解：(1)抛物线y=- x

30、2+bx+c与y轴交于点C (0, 3)，则c= 3,将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b= 2,2故抛物线的表达式为：y =- x +2x+3；点 P (1 , 2：-：)；(2)由点A、P的坐标知，/ PAB= 60°,直线AP的表达式为：y= : (x+1),时,当 a= 60°,/ DBA= B 亠 d = 30°H 2 AB为直角三角形，由面积公式得:y°x AB= AD?BD 即 加 4= 2X 2血，解得：yD=.':,点D在AP上，故点D (0,持;；)；当/ ADB=3 时，则/ ABD= 90°,故点 D (3, 4 :'：)；综上，点D的坐标为：(0,.二)或( 3, 4乜);(3) / CEF ECF的特征角，则 CEF为等腰直角三角形,过点E分别作x轴、y轴的垂线交于点 M N,则厶 CNEA EMF( AAS,则