2013年辽宁卷数学试题及答案(文)

1、2013辽宁卷(文科数学)1 .已知集合 A=0, 1, 2, 3, 4, B = x|x|<2,则 AAB=()A. 0 B. 0 , 1C. 0 , 2 D. 0, 1, 21. B 解析由题意可知，|x|<2,得2<x<2,从而 B=x2<x<2 , AAB=0, 1, 故选B.1 2 .复数z= 口的模为()1 .2A.2 BqC.V2 D. 2. .111 + i1 i _2- B 解析 z=二7=一二7一(1 i) (1 + i)= 22，故选 B.3.已知点A(13),B(4, 1),则与向量AB同方向的单位向量为(A35C.D.45'

2、3. A 解析由A, B坐标可知，AB = (3, 4),对应的单位向量为=(3, 4)432+ ( 4) 2345, 一4，故选 A.4.下面是关于公差d>0的等差数列an的四个命题: an IP1：数列an是递增数列；P2：数列nan是递增数列；P3：数列1是递增数列；P4： 数列an+3nd是递增数列.)P4P4其中的真命题为(A . P1 , P2B . P3C. P2, P3D . P14 . D 解析因为数列an为d>0的数列，所以an是递增数列，则 p1为真命题.而 数列an+3nd也是递增数列，所以 p4为真命题，故选 D.1-1,数据的分组依5 .某班的全体学生参

3、加英语测试，成绩的频率分布直方图如图 次为：20, 40), 40, 60), 60, 80), 80, 100.若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是()图1 1A. 45 B. 50C. 55 D. 605. B解析由成绩的频率分布直方图可以得到低于60分的频率为0.3,而低于60分的人数为15人，所以该班的总人数为慢=50人.0.3 _16. 在 4ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.若 asin Bcos C+ csin Bcos A= b,且 a>b,则/ B=()兀兀A二 B二63C今D.年 36 _,1 ，一，6 . A 解析由正弦te理可

4、以得到sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B,所以可以得到 sin Acos C+sin Ccos A = ",即 sin(A+C) = sin B=-,则/ B = °,故选 A. 2267 .已知函数 f(x)=ln(W + 9x2 3x)+1,则 f(lg 2) + flg ；=()A. - 1 B. 0C. 1 D. 27. D 解析由已知条件可知，f(x)+f(-x)=ln(31 + 9x2-3x) + 1 + ln(1+ 9 (-x) 2 +11 一3x) + 1= 2,而 lg 2 + lg2=lg 2-lg 2 = 0,故

5、而 f(lg 2) +f lg- =2.8.执行如图1 2所示的程序框图，若输入 n=8,则输出S=()4A.9c.98. A10D 11解析由程序框图可以得到S= 22 1 + 42 1 + 62_ 1 + 82_ 11X3 3X5 5X7 7X99.A.B.11_1+1_1 + 1_1 + 1_1 = 4 故选 a.21 3355779 9已知点0(0, 0), A(0, b), B(a, a3).若 OAB为直角三角形，则必有 (),b= a33 , 1b= a 十 一 aC.。1-(b a3)b a3 £= 0D.9.|b- a3|+ b- a3 ；= 0C 解析由题意知当三

6、角形 ABC为直角三角形时,分为两类，/ OAB, /OBA分别为直角，当/ OAB为直角时b=a3,当/ OBA为直角时,b) = 0,所以 b-a3-1=0,所以(ba3)ba31=0,故选 aaOB AB=0,则(a, a3) (a, a3 C.10.已知直三棱柱 ABC A1B1C1的6个顶点都在球。的球面上，若 AB=3, AC = 4,ABXAC, AA1=12,则球。的半径为（）A.3217 B. 2航13c.2D. 3回10. C 解析由题意可将直三棱柱 ABC AiBiCi还原为长方体 ABDC AiBiDiCi,则 球的直径即为长方体 ABDC AiBiDiCi的体对角线A

7、Di ,所以球的直径 ADi =i3、AB2+AC2+AA2 =M32 + 42+i22 =i3,则球的半径为-23,故选 C.ii.已知椭圆C: W+y2i=i(a>b>0)的左焦点为F, C与过原点的直线相交于Aa b点，联结 AF, BF.若 |AB|= i0, |BF|=8, cos/ ABF = 7,则 C 的离心率为()53A.5C4C.5D。ii. B 解析设椭圆的右焦点为Q,由已知|BF|=8,利用椭圆的对称性可以得到|AQ|., ，一 5=8, FAQ为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a=i4, 2c=i0,所以e= 5.i2. 已知函数 f(x) = x

8、22(a+2)x+a2, g(x) = x2 + 2(a 2)xa2 + 8.设 Hi(x) = maxf(x), g(x) , H2(x)= minf(x), g(x)(max p, q表示 p, q 中的较大值,min p, q表示 p, q中的较小值)，记Hi(x)的最小值为A, H2(x)的最大值为B,则A- B=()A. a22a i6 B. a2+2a i6C. i6 D. i6i2. C 解析由题意知当f(x)=g(x)时，即x2-2(a+2)x+a2= x2+2(a2)xa2+8,整理得 x2-2ax+ a2-4= 0,所以 x=a+2 或 x = a-2,x2-2 (a+2)

9、 x+a2 (x< a2),Hi(x)= max f(x), g(x) = -x2+2 (a2) x a2 + 8, (a 2<x<a+2), x22 (a+2) x+a2 (x>a+2),-x2+ 2 (a2) x- a2+ 8 (x< a-2)H2(x)= min f(x), g(x) = x2 2 (a + 2) x+ a2, (a2<x<a+ 2)-x2+ 2 (a-2) x- a2+ 8 (x>a + 2).由图形可知(图略)，A= Hi(x)min = 4a 4, B = H2(x)max= i2 4a,则 A B=i6,故 选C.i

10、3.某几何体的三视图如图 i 3所示，则该几何体的体积是 .图1 313. 16l 16 解析由三视图可知该几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以 该几何体白体积为 V=4ttX 4 16=16兀- 16.14.已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和.若a1, a3是方程x2-5x+ 4 =0的两个根，则 S6=.14. 63 解析由题意可知 a+a3=5, a1 a3= 4.又因为an为递增的等比数列，所以11-26a1=1, a3=4,则公比 q=2,所以 Ss=63.x2 y215. 已知F为双曲线C: jf6=1的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚 轴长的2倍，点

11、A(5, 0)在线段PQ上，则 PQF的周长为 .16. 44 解析由题意可知，a= 3, b = 4, |PQ|=4b=16,三角形 PQF的周长为|PQ| 十 |PF|+ |QF|= |PF| |FA|+ |QF| |QA|+2|PQ|= 4a+8b= 44.16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 .17. 10 解析由已知可设5个班级参加的人数分别为X1, X2, X3, X4, X5,又S2 = 4,x= 7,(X1-7) 2+(X27)

12、2+(X3-7) 2+(X47) 2+(X57) 2所以=4,5所以(X17)2 +(X27)2+(X37)2+(X47)2+(X5 7)2=20,即五个完全平方数之和为20,要使其中一个达到最大，之五个数必须是关于0对称分布的，而 9+1 + 0+1 + 9=20,也就是(3)2+( 1)2+ 02+ 12+ 32= 20,所以五个班级参加 的人数分别为4, 6, 7, 8, 10,最大数字为10.18. 设向量=(73sin x, sin x) , = (cos x, sin x), xC0,(1)若=,求x的值；(2)设函数f(x)=,求f(x)的最大值.19. 解：(1)由|2 = (

13、sin x)2+ (sin x)2=4sin2x,|2= (cos x)2+ (sin x)2= 1.及|= |,得 4sin2x= 1.又 xC0,从而 sin x=1,所以 x=J.226当 x=3te o,c、匚.2 小.c 11, 16 1(2)f(x)= 43sin x cos x+ sin2x= 亍sin 2x cos 2x+ = sin2x 6十万, sin2x 也最大值1.6所以f(x)的最大值为2.图1 41 8.,如图14, AB是圆。的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.(1)求证：BCL平面PAC;(2)设Q为PA的中点，G为AAOC的重心，求证： QG/平面

14、PBC.18 .证明：(1)由AB是圆。的直径，得 ACXBC.由 PAL平面 ABC, BC?平面 ABC,得 PAXBC.又 PAAAC = A, PA?平面 PAC, AC?平面 PAC,所以BCL平面PAC.(2)联结OG并延长交AC于M ,联结QM , QO ,由G为 AOC的重心，得 M为AC中点，由Q为PA中点，得QM / PC.又。为AB中点，得OM / BC.因为 QM n MO=M, QM?平面 QMO.MO?平面 QMO,BCnPC=C, BC?平面 PBC, PC?平面 PBC, 所以平面 QMO/平面PBC.因为QG?平面QMO,所以QG /平面PBC.19 .现有6

15、道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率.20 .解：(1)将4道甲类题依次编号为 1, 2, 3, 4; 2道乙类题依次编号为 5, 6,任取 2 道题，基本事件为：1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 4, 1 , 5 , 1 , 6, 2 , 3 , 2 , 4, 2 , 5, 2, 6, 3,4, 3, 5, 3, 6 , 4 , 5, 4, 6, 5, 6,共 15 个，而且这些基 本事件的出现是等可能的.用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有1 , 2 , 1 , 3

16、, 1 , 4,2, 3, 2, 4, 3 , 4,共 6 个，所以6 2P卡5.(2)基本事件同(1),用B表示“不是同一类题”这一事件，则 B包含的基本事件有1 , 、85, 1, 6, 2, 5, 2, 6, 3, 5, 3, 6 , 4 , 5, 4, 6,共 8 个.所以 P(B) = 15.图1 521 .如图 1 5,抛物线 Ci: x2=4y, C2： x2=2py(p>0).点 M(x°, y°)在抛物线 C2 上，过M作Ci的切线，切点为 A, B(M为原点。时，A, B重合于O).当xo= 1 42时， 切线MA的斜率为一12(1)求p的值；(2

17、)当M在C2上运动时，求线段 AB中点N的轨迹方程(A, B重合于。时，中点为O).20.解：(1)因为抛物线C1: x2= 4y上任意一点(x, y)的切线斜率为y'= 2,且切线MA一.1 1的斜率为一2,所以A点坐标为一1,：故切线MA的方程为y =112(x+ 1) + 4.因为点M(1-V2, yo)在切线 MA与抛物线C2上，于是(1) 2V。一由得p=2.3-2 22Px2x2x1 + x2 -(2)设 N(x,y),Ax1，了 Bx2,；4,x1 wx2,由 N 为线段 AB 中点知 x = 1,区x2 + x2片丁切线MA, MB的方程为y= (x-x1) + ,x2

18、x2y=2(xx2)+4.由得 MA, MB的交点M(x。，y。)的坐标为x1 + x2x1x2 一xo= -2 ，yo= 4 .因为点 M(xo, y。)在 C2 上，即 x0=-4y。，所以 x1x2 =22x2+x26由得x2 = 3y, xW 0.当X1=X2时，A, B重合于原点 O, AB中点N为O,坐标满足x2=4y.因此AB中点N 的轨迹方程为X2= 4y.21. (1)证明：当 xC 0, 1时,2 x< sin x< x;c x21.解:(2)若不等式ax+ x2+ -+2(x+2)cos x<4对xC0, 1恒成立，求实数 a的取值范围.(1)记 F(x

19、)= sin x- -2-x,则 F'(x)=cos x 当xC0, 4日甘，F'(x)>0, F(x)在0, 4上是增函数；当xCj 1时，F'(x)<0, F(x)在1上是减函数.2又 F(0)=0, F(1)>0,所以当 xC0, 1时，F(x)>0,即 sin x>手x.记 H(x) = sin x x,则当 x (0, 1)时,H'(x)=cos x 1<0,所以，H(x)在0 , 1上是减函 数，则 H(x)WH(0)=0,即 sin xwx.综上，22x<sin x< x, xC0, 1.(2)方法一

20、：因为当xC 0, 1时,c x3ax+x2 + +2(x+ 2)cos x-4=(a + 2)x+ x2+ 4(x+ 2)sin2x<(a+ 2)x+ x2+4(x+ 2)#x2=(a+ 2)x.x3所以，当 aw 2 时，不等式 ax+x2+ 2(x + 2)cos x< 4对 xC 0, 1恒成立.x3下面证明，当 a> 2时，不等式 ax+ x2+2(x+2)cos x< 4对xC 0, 1不恒成立.因为当xC 0, 1时.x3ax+x2 + +2(x+ 2)cos x-4一 x3_x=(a + 2)x+ x2+ - 4(x+ 2)sin22> (a+ 2

21、)x+ x2 +4(x+ 2)x22 x3= (a+2)x- x2-3 9>(a+2)x-2x2=2xx- 3(a+ 2).a _|_ 2 1x3所以存在xoC (0,1)例如x0取一写一和2中的较小值满足 ax0+x2 +，+2(x0+2)cos x0- 4>0.x3即当 a> 2 时，不等式 ax+ x2+ + 2(x+ 2)cos x 4< 0 对 xC 0 , 1不恒成立.综上，实数a的取值范围是( 8, 2.方法二：x3记 f(x) = ax+x2+2+2(x+2)cos x 4,则“3x2 ,f (x)= a+ 2x+ + 2cos x- 2(x+ 2)si

22、n x.记 G(x) = f'(x),则G (x)= 2 + 3x 4sin x 2(x+ 2)cos x.当 xC(0, 1)时，cos x>2,因此 G'(x)<2 + 3x4 乎x(x+ 2) = (2 2 V2)x<0.于是f'(x)在0, 1上是减函数,因此，当 xC (0, 1)时f'(x)<f'(0) = a+ 2.故当a< 2时， f'(x)<0,从而f(x)在0, 1上是减函数，所以 f(x)wf(0)=0,即当aw 2时，不等式ax+x2 x3+ -2+2(x+ 2)cos x< 4

23、对 xC 0, 1恒成立.x3卜面证明，当 a> 2时，不等式 ax+ x2+2+2(x+2)cos x< 4对xC0, 1不恒成立.由于f'(x)在0, 1上是减函数，且f<0)= a+2>0, f(1)=a + 7 + 2cos 1-6sin 1.当 a>6sin 1 -2cos 1 ；时，f'(1)>0,所以当 xC (0, 1)时，f'(x)>0 ,因此 f(x)在0, 1 上是增函数，故 f(1)>f(0) = 0;当一2<a<6sin 1 2cos 1 夕寸，f (1)<0.又 f'(

24、0)>0,故存在 x°e (0, 1)使 f(x0)=0,则当 0<x<x0 时,f'(x)>f'(x0)=0,所以 f(x)在0, x。上是增函数,所以当 xC(0, x0)时,f(x)>f(0)= 0.x3一 _所以，当a> 2时，不等式 ax+x2+ + 2(x+ 2)cos x<4对xC0, 1不恒成立.综上，实数a的取值范围是( 8, 2.22 .选彳41:几何证明选讲如图1 6, AB为。O直径，直线 CD与。相切于E, AD垂直CD于D, BC垂直CD 于C, EF垂直AB于F,联结AE, BE,证明：(1)Z

25、FEB = / CEB;(2)EF2=AD BC.图1 623 .解：证明：(1)由直线 CD与。相切，得/ CEB=/ EAB.由AB为。的直径，得 .兀AEXEB,从而/ EAB+/EBF = .一,TT又 EF± AB,得/ FEB + Z EBF = q,从而 / FEB = / EAB .故/ FEB = / CEB.(2)由 BCXCE, EFXAB, Z FEB = Z CEB, BE 是公共边，得 RtA BCERtABFE,所 以 BC= BF.类似可证：RtAADERtAAFE,得 AD=AF.又在 RtAAEB 中，EFXAB,故 FE2=AF BF.所以 EF2=AD BC.24 .选彳4 4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆Ci,直线C2的极坐标方程分别为p= 4