因式分解的八个注意事项及课本未拓展的五个的方法

1、因式分解的“八个注意”事项及“课本未拓展的五个的方法”一、“八个注意”事项(一)首项有负常提负例1把一a' b+2ab+4分解因式。解：一a2-b?+2ab + 4=- (a2-2ab+b2-4) =- (a-b+2) (a-b-2)这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号第一项系数 是正的。防止出现诸如一a° -b?=(a+b) ( ab)的错误。(二)各项有公先提公例2因式分解8a' 2a°解：8a'2a=2a (4a2-l)=2a(2a+l) (2a-l)这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那

2、么先提取这个公因式，再进一步 分解因式。防止出现诸如4a'-a' (2a2+a) (2a2-a)而又不进一步分解的错误.(三)某项提出莫漏1例3因式分解a -2a2+a解：a!-2a2+a=a (a-2a+l) =a (a-1)'这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号切勿漏掉1。防止 学生出现诸如a:,-2a2+a=a (a2-2a)的错误。(四)括号里面分到“底”。例4因式分解(一3六一4解：x'+3x'4= (x' + 4) (xJ 1) = (x'+4) (x+1) (x 1)这里的“底”，指分解因式

3、，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解 到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括 号的多项式都不能再分解。如上例中许多同学易犯分解到x'+3x2-4= (x2+4) (x2-1)而不进一步分 解的错误。因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤是一脉相 承的。(五)各式之间必须是连乘积的形式例5 分解因式X?-9+8x=解：x 9+8x=x2+8x 9=(x 1) (x+9)这里的“连乘积”，是指因式分解的结果必须是几个整式的连乘积的形式，否则不是因式分解。有些同学只注意到前两项运用平方差公式

4、，得(x+3) (x-3)+8x。结果从形式上看右式不是乘积 形式，显然是错误的。正解应是：原式=A8x-9=(x-1)(x+9)(六)数字因数在前，字母因数在后；例6因式分解3-18/+27X解：3118/+27x=3x(x2-6x+9)=3x(x-3)2这里的“数字因数在前，字母因数在后”，指分解因式中不能写成 3/ -18/ + 27x=x3 (x2-6x+9) = x3 (x-3)2(七)单项式在前，多项式在后；例7因式分解/)，孙3解：dy3=xy(xLy2)=xy(x+y)(x-y)这里的“单项式在前，多项式在后”，指分解因式中不能 把单项式写在后面，即不能写成1)，一个3= 62

5、_y2)= (x+y) (X_y) Xy(A)相同因式写成赛的形式；例8因式分解x*y-x2y3解：x4y-x2y3=x2y(x2-y2) =x2y(x+y) (x-y)这里的“相同因式写成暴的形式”，指分解因式中不能相 同的因式写成乘的形式，而应该写成嘉的形式，即不能写成(y-xy=x2y(x2-y2)= xxy(x+y)(x-y)；二、课本未拓展的五个的方法以下五个方法是因式分解中比较难的一些，需要大家熟练掌握因式分解基本方法：(1) 提公因式；(2)公式法：平方差公式，完全平方公式及常用公式；(3)十字相乘。只有熟练 掌握了以上三种方法，你才能更好的理解这五种拓展方法。(一)巧拆项：在某

6、些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项(或几项)适当拆 成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。例 1、因式分解 a2-b2 + 4a+ 217 + 3解析：根据多项式的特点，把3拆成4+(-1),则一 +44 + 27? + 3 =。2 + 4。+ 2 + 4 1 =(，/ +4。+ 4) 32 -2/? +1)= (4 + 2)2 一S一1)2 =(白 +0+ 1)(4一/, + 3)例2、因式分解x3+6x2+11x + 6解析：根据多项式的特点,把6/拆成2/+4/；把"X拆成8工+ 3工则 / + 6/ +1 Lr + 6 = (x3 + 2 a

7、-2 ) + (4x2 + 8.r) + (3x + 6)=x2 (x + 2) + 4x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(/ +4x + 3) = (a + 1)(x + 2)( x + 3)(二)巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再 用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。例3、因式分解工4+4)/解析：根据多项式的特点，在一 +4)/中添上4俨,-4/丁2两项，则 x4 +4y4 = (x4 +4x2y2 +4y4)-4x2 y2 = (x2 +2y2)2 -(Ixy)2= (x2 +2xy + 2y2)(x2 -2盯+ 2)

8、，)例4、因式分解31+4解析：根据多项式的特点，将一3/拆成41+一,再添上4x,-4x两项，则A3 -31+4 = X3 -4x2 +4x + x2 -4x + 4=x(x2 - 4x + 4) + (x2 - 4x + 4) = (x2 - 4x + 4)(x +1)= (x+l)(x-2)2(三)巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形 为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。例 5、因式分解(小+3% 4)(一一工一6) + 24解析：(/ + 3x 4)(x2 - x 6) + 24 二(x l)(x + 4)(x + 2)(x 3)

9、 + 24=(x - l)(x + 2)(x - 3X + 4) + 24 = (x2 +x -2)(/ +12) + 24设 y = x? +x-2 ,则 x? +x-12 = y-10于是，原式=y(y- 10) + 24 = y2 -lOy+ 24 = (y-4)(y-6) = (x2 +x-2-4)(x2 +X-2-6)=(x2 + x - 6乂/ + x - 8) = (x - 2)(x + 3X/ + x - 8)例 6、因式分解(x+y -2xy)(x+y-2) +(Ay-l)2解析：设x + y = m.xy = n ,则(x + y - 2xyx + y - 2) + xy

10、- I)2 = (m - 2)Q -2) + (- I)2=in2 - 2mn +n2 - 2m + 2h + 1 = (in - n)2 一 2(m - )+ 1=(i _ 1)2 = (x + y f _ 1)2 = (X _ 1)( 1 _ )，)=d)2 ()，_ 1)2(四)展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展 开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。例 7、因式分解 mn(x2 +y2) + xy(mz +n2)解析：将多项式展开再重新组合，分组分解mn(x2 + y2) + xy(nr +772) = mnx2 + mny

11、2 + xynr + xyn2= (mnx2 + xynr) + (mny2 + xyn1) = /nv(/LV + 77/y) + ny(nx + my) = (nx + my)(nix + ny)例 8、因式分解(mx + ny)2 +(nx-my)2解析：(nix + ny)2 + (nx-niy)2-m2x2 +2mnxy + n2y2 +n2x2 -2mnxy + m2y2二(+中)+ (/)，2 +心,2)= /("/ +,J) + y2(?2 +2)二(/ +n2)(x2 +y2)(五)巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一 个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。例9、因式分解/一3/+/)，+ 2-20，解析：将多项式以y为主元，进行整理x4 -3x，+ x2y + 2x2 -2xy = (r -2x)y+ (- -3/+2x2)=x(x- 2)y + x2 (x - 2)(x-1) = x(x-2)(x2 -x + y)例 10、因式分解4% +。/+a2c + ac2 +b2c + bc2 + 2abc解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以。为主元进行整理crb + ab2 + a2 c + ac2 +b2c + bc2 + 2cibc=