大学物理学电子教案第1章质点运动学

1、第 1 章 质点运动学 本章学习目标1理解参考系和坐标系的概念；2掌握位矢和位移、瞬时速度和瞬时加速度概念；3掌握通过已知加速度和初始条件求解速度、运动方程的方法；4理解角速度、角加速度及其与线量的关系； 5理解相对运动及其计算方法。 本章教学内容1参照系和坐标系；2质点 位矢和位移；3速度 加速度；4直线运动；5曲线运动；6相对运动。 本章教学重点1位矢和位移；2由已知加速度和初始条件求解速度、运动方程； 3相对运动及其计算方法。 本章教学难点1位矢与位移的区别；2速度和加速度的矢量性与相对性； 3物理量的微积分计算。 本章学习方法建议及参考资料1补充微积分的知识；2注意讲练结合； 3要注意

2、依据学生具体情况安排本章进度。参考教材东南大学等七所工科院校编， 物理学，高等教育出版， 1999年 11月第 4§1. 1 参 照 系 和 坐 标 系一、机械运动1机械运动：所谓机械运动，是一个物体相对于另一个物体的位置，或一 个物体内部的一部分的位置随时间的变化过程。2运动学：力学中描述物体怎样变化怎样运动的内容叫做运动学，它是描 述物体的位移、速度、加速度等随时间的变化规律。二、参照系和坐标系1参照系为了描述物体的机械运动， 即它的位置随时间的变化规律， 就必须选择一个 物体或几个相互间保持静止或相对静止的物体作为参考， 被选为参考的物体称为 参照系。同一物体的运动， 由于选择

3、的参照系不同， 会表现为各种不同的形式。 如在 地面匀速前进的车厢中一个自由下落的石块， 以车厢为参照系， 石块做直线运动， 如果以地面为参照系， 则石块将做曲线运动。 物体运动的形式随参照系的不同而 不同，这个事实叫运动的相对性。 由于运动的相对性， 当我们描述一个物体的运 动时，就必须指明是相对于什么参照系来说的。2坐标系为了定量地说明一个物体相对于某一参照系的空间的位置， 就在该参照系上 建立固定的坐标系。一般选用迪卡尔直角坐标系，也可以选用极坐标系、自然坐标系等。三、时间和时刻在物理学中，它代表一个重要的物理量，是国际单位制（ SI）中的七个基本 物理量之一。“时刻”是指时间流逝中的“

4、一瞬” ，对应于时间轴上的一点，时刻的正、 负表明在计时起点以后或以前。“时间”是指自某一初始时刻至终止时刻所经历的时间间隔， 它对应于时间 轴上一个区间，物体位置的变动总是在一定时间内发生。伊犁师范学院物理与电子信息学院大学物理学精品课程§1. 2 质 点 位 矢 和 位 移一、质点 所谓“质点”，就是忽略了物体的体积和形状，将物体看成只具有一定质点 的理想模型。质点是力学中一个十分重要的概念。一个质点的运动， 即它的位置随时间的变化， 可以用数学函数的形式表示出 来。在迪卡尔直角坐标系中一般可以表示为x=x（t） ，y=y（t） ，z=z（t） 这样的一组函数叫做质点的运动函数（

5、或运动方程） 。二、位置矢量1位置矢量的定义2位置矢量的分解如上图所示，位置矢量沿三个坐标轴的投影，即坐标分量为要描述质点的运动， 即质点位置的变化， 首先要描述质点位置。 决定质点位 置有两个因素： 距离和方向。 在最一般的情况下可以这样来描述： 当确定了坐标 系后（此时参照系也是确定了的） 由坐标原点指向质点 p 的矢量来确定质点位置， 这个矢量称为位置矢量，简称为位矢，常用 来表示。显然，这个矢量准确地描 述了质点所在位置。 在一般的三维空间中的质点运动必须使用这种同时表示了距 离和方向的矢量来描述它的位置， 除非质点被限定在一个已知的曲线上运动我们 才可以使用只表示了距离的标量来表述它

6、的位置（如直线运动） 。下图表示了位 置矢量的定义。x、y、z，则可以把 r 表示为其中 i、j 、k 为沿三个坐标轴方向的单位矢量（大小为 1，仅表示方向）。x、 y、z 称为位矢 r 的三个分量，分量是标量，有大小和符号。由位矢的三个分量可 以求出位矢的大小（模）以及表示方向的方向余弦。位矢的大小：位矢的方向余弦：3运动方程质点运动时，其位矢 r 随时间而变，也即是说，位矢 r 是时间 t 的函数，这意味着位矢的分量 x、y、z 是时间的函数。这个矢量函数表示了质点位置随时间的变化关系称为质点的运动方程。 上式 也可以用分量表示为：叫做运动方程的分量形式。在任何一个具体问题中，上式中的 x

7、、y、z 都是具体 的函数。r 2，三、位移1位移的定义在一般情况下， 质点在一个时间段内位置的变化我们可以用质点初时刻位置 指向末时刻位置的矢量来描写，这个矢量叫位移矢量。常用 r来表示。则位移矢量的定义该时间段内质点的位移为：或r =r (t+ t)- r (t) 按位置矢量的分量表示，则有：可见位移矢量的三个分量为：若知道了位移矢量的三个分量 、 和 ，则位移的大小和方向余弦可以 按照求位矢大小和方向时所用的方法求出：3位移和路程的区别位移描述了质点在一段时间内位置变动的总效果，即有大小又有方向，它不 表示质点在其轨迹路径的长度。在一段时间内，质点在其轨迹上经过的路径的总长度叫路程。 路

8、程只有大小，没有符号，更没有方向，这一点容易和位移区别，而且在一 般情况下，路程与位移的大小 也不相等。见图，在 t 到 过程中，质点路 程 s 为 p1 与 p2 两点之间的弧长，而位移的大小 为 P1 与 P2 之间直线的长度 。但是在 时，路程等于位移的大小： 。运动过程中质点到原点 O 的距离 r 的变化用 表示，见上图。在一般 情况下，它与位移的大小 也不相等，即 。例如圆周运动，若以圆心为 坐标原点，则质点到原点 O 的距离 r是一个常量，即有 ，但是质点位移的 大小 则显然不为零。§1.3 速 度 加 速 度一、速度1速度的定义质点位置的变化都是与一段时间相联系的， 将

9、位移矢量与时间的比定义为速 度。用 v 来表示。它也是一个矢量。 它的物理意义是单位时间内质点所发生的位 移。2速度公式的表示（1）平均速度有限长时间内质点位移与时间的比叫平均速度。数学上表示为：式中： 表示考察的时间段， 表示该时间段内质点所发生的位移。 显然， 平均速度是一个矢量， 它的方向也就是过程中质点位移的方向。 按矢量的分量表 示方法，可以得到平均速度的三个分量为（2）瞬时速度 无限短时间内质点位移与时间的比叫瞬时速度， 简称为速度。 根据高等数学 关于极限的意义，速度可以表示为平均速度的极限，即：即速度为位矢对时间的变化率（或位矢对时间的一阶导数） 。（3）速度的分量形式由位置矢

10、量的分量形式，我们有：定义：式中， ， ， 分别叫做速度的 x，y 和 z 分量。对比可知速度的三个分 量为：在直角坐标系中，速度的大小可以表示为v方向：cosvxv y, cos v ,cos vvvzv、加速度1加速度定义在很多情况下，质点运动速度的大小或方向都是变化的。一段时间内速度的 增量与时间的比定义为加速度。 质点的加速度描述质点速度的大小和方向变化的 快慢，由于速度是矢量， 所以只要质点的速度大小或是方向发生变化， 都将意味 着质点有加速度。2加速度公式的表示（1）平均加速度 在有限时间段内速度增量与时间的比叫平均加速度。设质点在 t 时速度为 v1，在时速度为 v2，速度增量，

11、则平 均加速度为： 。 注：平均加速度仅能提供一段时间内速度变动的方向和平均快慢， 其方向沿 速度增量的方向。（2）瞬时加速度 在无限短时间内速度增量与时间的比叫瞬时加速度，简称为加速度。结合高等数学中极限的思想，加速度可以表示为 时平均加速度的极即加速度为速度对时间的变化率 （速度对时间一阶导数， 或位置矢量对时间 的二阶导数）。定义：式中， ， ， 分别叫做加速度的 x ，y 和 z 分量。根据速度的分量表达 式可以得到加速度矢量的三个分量：由加速度的三个分量可以确定加速度的大小和方向余弦。大小：axayaz方向： cos aax, cos acos aaza§1. 4 直 线

12、运 动一、直线运动的运动学方程1坐标系的选择Ox、Oy、 Oz，研究直线运动，最好选择只含一个坐标轴的坐标系。比如： 其原点位于参考系的参考点上，坐标系与质点轨迹重合。因此，质点的运动学方程可以写为xx(t)相应地，瞬时速度和加速度也可以写为2从速度到运动学方程和位移直线运动(1)由 vxdxdx，则 x是vx的一个原函数，若已知速度 vx (t) ，可通过不定 dt积分求的与之对应的愿函数：dxx vx(t)dt dxdt x(t) c ， c为任意常数dt(2)如再给出 t t0时， x x0的条件，则 x x0 x(t0) c, c x0 x(t0)t(3) 由定积分知识： x(t) x

13、(t0 )vx(t)dtt0tx x0 t vx (t )dtt0 只要给定位置坐标的初始条件， 便可根据质点的速度唯一地确定质点的运动 学方程。t(4) 位移： x x x0vx(t)dt ，与初始条件无关。t05)当加速度等于 0，速度 v 为常数时，即 vx c (c 为恒量)时x x0 vx t3从加速度到速度和运动学方程(1) 由 ax dvx ， vxax(t)dt vx(t) c，c 为任意常数dt给定： t t0时， vx v0x的条件，则c v0x vx(t0)tvx v0x vx(t) vx (t0) v0xax (t)dtt0(2) 只要给出位置坐标的初始条件，即可求出运

14、动学方程(3) 当加速度为常数时，即 ax c (c为恒量)vx v0x axtxx0+v0xt+at2/2(匀速直线运动中确定质点位置的时间函 数式，也就是质点的运动方程)v2v02+2a(x-x0)(这就是质点 x 和速度 v 之间的关系式 ) 举例：已知质点做直线运动，其加速度随时间的变化规律为：22a(t) 100 4t2(m/s2)初始条件： t 0时， v0x 0,x0 0解：建坐标 O-x 沿质点运动方向，圆点在质点初始时所在的点，则vx v0xtt ax (t)dt 0t0t0t(1004t2 )dt 100t4t33x x0tt vx (t)dt 0t0t(100t4343t

15、3)dt250t21t43§1. 5 曲 线 运 动自然界和工程技术中常见的物体的运动， 多数是曲线运动， 直线运动只是 种特殊情况，这里将着重讲座质点做平面曲线运动中的两个最常见的运动匀 速圆周运动、抛体运动。一、匀速率圆周运动1匀速圆周运动的加速度 匀速圆周运动的特点是质点在运动过程中速率保持不变， 但是速度的方向是 在不断变化的（因为是圆周运动） 。在加速度定义中我们知道，速度方向的变化 也会有加速度。设圆周的半径为 R，圆心为 O，在 t 时刻，质点处在圆周上的 P 处，速度为 v；在 t+ t 时刻，质点在 Q 处，速度为 v'，其中 |v|v'|，如下图

16、所示。根据加速度的定义可得瞬时加速度为：显然，当时 Q 点将无限靠近P点， v的极限方向为 P点指向 O 点，即圆周在 P点的法向。由于在质点的运动过程中此加速度的方向一直指向 O 点， 中学将它叫做向心加速度。 在大学物理中我们将它称为法向加速度。 以利于在一 般情况下与切向加速度以及总加速度相区分。 利用明显的相似三角形关系， 我们 有：于是加速度的大小为：使用矢量可以同时将匀速圆周运动中的法向加速度大小和方向同时表示为：式中 表示轨迹法向的单位矢量。如图（ a）所示，一质点沿一圆周运动，圆心在 O，圆半径为 R。为了阐述 的方便，我们在圆中设立了一个笛卡尔平面坐标来帮助分析。 设质点 t

17、 时刻在 p1 点，位矢为 r ，速度为 v；时刻质点在 p2点，位矢为 。其中 为过程中质点的位移， 为速度的增量。速度增量的矢量图见上图（ b），在图中，我们已经把分解为两个分矢量。其中 与初速度 v构成一个等腰三角形， 而 则沿着末速度 的方 向，这两个分矢量的含义不同： 代表速度方向的改变， 代表速度大小 的改变。把上式两边同时除以过程的时间间隔 ，并令 有记作：1）式子左面 为质点在 t 时刻的（总）加速度，右边第一项2）称为法向加速度，第二项3）称为切向加速度，它们的大小和方向将在下面分析。式（ 1）的含意是：质点的加速度为法向加速度和切向加速度的矢量和下面我们先分析法向加速度 ，

18、这个分析与匀速率圆周运动中讨论向心加 速度的过程完全相同。图中位矢 r 和位移 构成的等腰三角形与速度 v和速度增 量 构成的等腰三角形相似，所以有式中 为质点在 p1 处的速率 v， 为位矢大小即圆半径 R，故可记作：将此式两边同除以 并令 得到：按式（2），为法向加速度的大小，记作 ，而 为速度的大小即速率 v，因而上式简化为： 于是我们得到质点法向加速度的大小为：法向加速度的方向按（ 2）式应为的方向即 时 的极限方向， 它显然是与速度 v 垂直即是指向圆心的，而 v 是在轨迹的切向故 也称为法向 加速度。下面分析切向加速度 。在上图中可以看到， 的分量 的大小等于 速率的增量，记作：把

19、此式两边同除以 并令 有：按式（ 3），即为切向加速度的大小，记作 ，而 为速率的变化率，于是我们有结论：切向加速度的大小等于速率的变化率即 ，切向加速度的方向按（ 3）式应为即 时 的极限方向，即沿速度 v 的方向，故称为切向加速度。这样，在匀变速圆周运动中，加速度 a 可以看成是两个分加速度的合成。 An 反映质点速度方向的改变，称为法向加速度，指向圆心； at 反映质点速度大 小的改变，其极限方向在 A 点的切线方向上，称为切向加速度。它们的大小分 别为，因此，质点做变速圆周运动时，加速度的大小和方向可由下式确定质点加速度与速度的夹角 j 满足5）6）其矢量式为三、抛体运动在抛体运动中，

20、物体具有恒定的重力加速度，它 做平面曲线运动，可以将其分解为互相垂直的两个直 线运动来处理：沿 v0 方向的匀速直线运动和沿竖直方 向的自由落体运动的叠加运动。以抛出点为原点，建 0-xy 坐标系选择抛出时为计时起点，则位矢方程r xi yj v0 cos ti (v0sint 12gt 2)分量式为：初速度为 v0，与 x 轴之间的夹角为 。x v0 cos t12y v0 sin t gt2消去 t，其轨迹方程为：y xtg对于一定的 v0 和，g22 2 x 22v0 cos，此方程代表抛物线。举 例 ： 汽 车在半径为 200 米圆弧形公路上刹车 , 刹车开始阶段的运动学方 程为 s

21、20t 0.2t3 （长度:m,时间:s），求 t=1s 时的加速度。解：由aan n a2vndvRdtvds20 0.6t2(m/ s)t=1s 时dt22则anv(20 0.6) 22 m/s1.88m/ s2r200dv2a1.2t1.2 m / s 2dta a 2 an 22.23m / s2tgan1.5667a§1. 6 相 对 运 动对于不同的参考系， 同一质点的位移、 速度和加速度都可能不同， 而在力学 问题中常常需要从不同的参考系来描述同一物体的运动。 而在不同的参考系中所 描述的物体的运动状态也不同，这就是相对运动问题。、相对运动的速度关系1参考系的选择般说来，可以选择某物体作为基本参考系，在其上建立坐标系Oxyz，选择另一个相对于基本参考系运动的运动参考 系 (简称为 k 系和 系)。在我们研究 的问