大学一年级高等数学试题及答案

1、期末总复习题一、填空题八一0rrrr rrrr 1、已知向量 a i j 2k , b 2i j k ,贝a b = -1 。2、曲线z x2绕z轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2。3、级数 工二的敛散性为发散 。n 1 n 3n4、设L是上半圆周x2 y2 a2 ( y 0),则曲线积分力二-2ds=一l x2 y2a02205 .交换二重积分的积分次序：idyi y f (x,y)dx= 1 dx 1-x f (x, y)dy6 .级数一1的和为。n 1 n(n 1)二、选择题1、 平面(x 1) 3y (z 1) 0和平面(x 2) (y 1) 2z 0的关系(B )A、重合

2、B 、平行但不重合 C 、一般斜交D 、垂直2、 下列曲面中为母线平行于 z 轴的柱面的是2c 22222222dA、x 2z 1 B、y 2z 1 C 、x 2y 1 D 、x 2y z 13 2 23.设 D ： x y 4(y 0),贝4 22dxdy ( A )d x y 1A 2B 、0 C 、1 D 、44、设 D:x2 y2 4(y 0),则 dxdy ( A ) DA、16 B 、4C 、8D 、25、函数z 50 x2 4y2在点(1,-2)处取得最大方向导数的方向是(A )A2i 16j B 、 2i6 、微分方(B )A 1 B 、27 .下列表达式中(D )A y ex

3、 e3x CC y Cex e3xD8 . lim un0 为n6j C 、2i 16j D程(y)2 (y)2 y2 0C 、4 D,微分方程y 4yB、y ex Ce3xCx3 x/1 e C?e无 穷级数、2i 16j的 阶数为、63y 0的通解为un收敛 的A充要条件B必要条件C 、充分条件D、什么也不是三、已知a|1, b 忌，a b,求ab与a b的夹角.P7解：a bab 0|a b| J(a b) 2 *(1 0 3) 2 a-b| (a b)2. (1 0 3) 2(a b)(a b) 1 32cos (a b)(a b) 21a b |a -b 42120O四、一平面垂直于

4、平面x 4y 5z 10且过原点和点 2,7,3，求该平面方程解：设平面方程为AxByCzD 0依题可得D0,-2AB3C 0又n 1,-4,5|A-4B5C 0故后:47 x13yz 0（参考课本P7例题）五、设zuev,u x2 y2,v xy,求 dz,-z, z . P19x y六、求由xyz sinz所确定白函数zzx,y的偏导数上一 x y解：由 xyz sinz彳#xyz sin z 0两边对x求偏导数得：cosz yz xy 0 xx解得一x cos z xy两边对y求偏导数得：cosz xz xy 0 yy解得：- J y cos z xy1在点M0 1,1,2处的切平面和2

5、法线方程.七、求旋转抛物面z 2x2 2y2解：由全微分方程的不 变性，得dz du dv u v evdu uevdvexyd (x2 y2) (x2 y2)exyd(xy)exy(2xdx 2ydy) (x2 y2)exy(ydx xdy)xy23xy, 32、，e (2x x y y )dx e (x 2y xy )dy进而可得z exy(2x x2y y3),卫 exy(x3 2y xy2)解：令 f(x,y) 2x2 2y2,则: fx(x，y) 4x, fy(x, y) 4y所以：n 4x,4y, 1 Em。4,2, 1故曲面在点M0处的切面方程式为：14(x 1) 2( y -)

6、 (z 2) 0即：4x 2y z 3 01法线方程式为：土L 421即:*J 2y_J z 244八、求函数fx,yxy sin(x 2y)在点P 0,0处沿从点P 0,0到点Q 1,2的方向解：这里的方向即向量PQ 1,2的方向,易知PQ上单位向量0 之.55的方向导数。又fx(x,y) y cos(x 2y), fy (x, y) x2 cos(x 2y)九、计算二重积分fx (0,0)故(0,0)1, fy (0,0) 2，-1，fx (0,0)?fx.5121?2? .5、5-2 (0,0)?、.5xydxdy,其中D是由x轴,y轴与单位圆x2 y2 1在第一象限所围的区域把D看成Y

7、型区域，则先对x积分，后对y积分,此时D可用不等式组装示：-x y,1 y 2y皿 x2 y x1 219故dsdydy1一dx(y )dy =D y1 y y2 1y16解：画出微积分区域 D的草图，如图所示，从 D的草图可判断D既是X型区域也是Y型区域,十、计算?yds,其中L是顶点为A1,0 , B0,1和0 0,0的三角形边界.(参考P79例2)解：AB,OB,OA的方程分别为： y 1 x, 0x1, x 0,0 y 1,y 0,0x1,贝"：AB(x y)ds 0 x 1 x q'1 ( 1)2dx 12dx 2 0(x y)ds (x 0) 1 02dx xdx -, OA0021 211OB(x y)ds 0(0 y) .0 1dy 0 ydy -,故得：(x y)ds oa(x y)ds AB (x y)ds OB (x y)ds2 1求微 分方程 sinxcosydx cosxsin ydy0满足初始条件y x 0 的特4解：将方程分离变量得：sin x , sin y ,dx dy,cosx cosysin x ,sin y 两边积