垂直平分线和角平分线典型题

1、知识要点详解h线段垂直平分线的性质（I）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等.定理的数学表示：如图1,已知直线m与线段AB垂賣相交于点I）, 且AD=BD,若点C在直线m上,则AC = BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.课堂笔记I：2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2,已知直线m与线段AB垂直相交于点I）,且AD=BD, 若AC=BCt则点C在直线In上定理的作用：证明二个虑庭基线段的垂直壬会线HA3、关于三角形三边垂直平

2、分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3,若直线ijk分别是ZABC三边AB. BC. CA 的垂直平分线，则直线ijk相交于一点（），且OA=OB=OC-定理的作用：¾1内的线段相等（2）三角形三边垂克平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形， 则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点 A.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三 角形

3、三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的 交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形经典例题:例1如图1,在AABC中，BC=8cm, AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E, BCE的周长等于18Cnb则AC的长等于（）A. 6cmB. 8cmC. IOClnD. 12Cm课堂笔记:针对性练习: 已知：1）如图，AB二AC=I 4cm,AB的垂直平分线交AB于点D ,交AC于点BE,如果AEBC的周长是24cm,那么BC=2）如图,AB=AC=UcmtAB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果BC=8cm,那么ZXEBC的周长是3）如图，A

4、B=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果ZA=28度，那么ZEBC是例 2.已知：B=AC, DB=DC, E 是 AD 上一点，求证：BE=CEO课堂笔记:针对性练习：已知：在AABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC 求证：点0在BC的垂直平分线例3在AABC中，AB二AC, AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50。，BC底角ZB 的大小为。I课堂笔记I：针对性练习：1. 在AABC中，AB二AC, AB的垂直平分线与C所在直线相交所得的锐角为40。，则底角B的大小为例4.如图8,已知AD是ZXABC的BC边上的高，且ZC = 2ZB, 求证:BD=AC

5、+ CD.证明：在BD上取一点E,使DE=DC,连接AE,则AE=AC,课堂笔记:课堂练习：1如图，AOAD. BOBDy 则（）垂直平分49垂直平分仞平分/应方D.以上结论均不对2. 如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D.等边三角形3. 下列命题中正确的命题有（）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距 离相等；经过线段中点的直线只有一条；点"在线段肋外且PA=PB,过P作直线加； 则MV是线段月的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.4. 丽C中,A的垂直平分线交Zl

6、C于A如果J65 cm, Q4cb那么的周长是（）A. 6 Cm B. 7 Cm C. 8 CnI Cm5 已知如图，在C中，AB-AC9 O是ABC内一点、,肚OB-OG 求证：AOLBZ6.如图，在C中，AB-AC9 ZJ=120o , M的垂直平分线 分别交G AB于邑M、N.求证：C护2BM.课后作业：CE的周长为50,求BC边的长1. 如图7,在ZkABC中,AC=23, AB的垂道平分线交AB于点D,2. 已知：如图所示，ZACB, ZADB都是直角，且C=AD, P是AB上任意一点，求证：CP=DPO线段的垂直平分线与角平分线（2）知识要点详解R4、角平分线的性质定理：角平分线的

7、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4,已知OE是ZAOB的平分线，F是OE上一点 若CF丄OA于点C, DF丄OB于点I）,则CF=DF定理的作用J证明两条线段根菱;用于几何作图问题;角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.课堂笔记5、角平分线性质定理的逆定理:角平分线性质定理的逆定理在角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.图5定理的数学表示：如图5,已知点P在ZAoB的内部，且PC丄OA于C, PD 丄OB于I）,若PC=PD,则点P在ZAOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分

8、线的性质定理与逆定理的区别和联系A课堂笔记:6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6,如果AP、BQ、CR分别是AABC的内角ZBAC、ZABC. ZACB的平分线，那么：AP. BQ. CR相交于一点I;若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA. AB于点D、E、F,则DI=EI=FL定理的作用：用于证明三角形内的线段担等用于实际史的几何作图问题（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:三危羽±.O.线的來点Ljfeft羽敢内亂7、关于线段的垂直平分线和角平分

9、线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线;（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形课堂笔记:经典例题:例1、已知：如图，点B. C在ZA的两边上，且AB二AC, PE丄AB, PF丄AC,垂足分别是E、FO求证：PE=PF课堂笔记:针对性练习：已知：PA、PC分别是2ABC外角ZMAC和ZNCA平分线，它们交于P, PD丄BM于D, PF丄BN于F,求证: BP为ZMBN的平分线。例2、如图10,已知在直角梯形ABCD中t AB/7CD. AB丄BC, E为BC中点，连接AE、DEt DE平分ZADC,求证:AE平分ZBAD.课堂笔记:针对性练习：如图所示，AB二AC, BD二CD, DE丄AB 于 E, DF丄AC 于 F,求证：DE=DFO例3、如图11-1,已知在四边形ABCD中，对角线BD平分ZABC,且ZBAD与ZBCD