例谈已知两点求另两点构成平行四边形的万能解法教学教材

1、例谈已知两点求另两点构成平行四边形的万能解法近些年全国各地的中考压轴题大多数是数形结合题。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外,由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。其实说穿了，初中的数形结合就是将初中所涉 及的平面几何知识和一次函数、反比例函数、二次函数相结合的一种题型。那么函数中的平行四边形呢也是各地中考中的热门考点，今天我就已知两点求另两点构成平行四边形的解题思想谈谈我的想法。一：知识解读已知两点求另两点构成平行四边形，共有两种题型。一种是有序的平行四边形，即

2、根据题意可以知道,已知边是平行四边形的边还是对角线；另一种是不固定的平行四边形，即根据题意不知道,已知边是平行四边形的边还是对角线。对于后一种就要分类讨论了，这一种也是我们中考的常客。1 o 3一：氾例，已知如图1,抛物线y -x -X 2的图像与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,顶点为D, 22对称轴与X轴交于点E(1)求A、B、C D的坐标对称轴方程及直线 BC的函数关系式。(2)在抛物线上找一点 M,在对称轴上找一点 N,使彳导以 O B、M N四点构成的四边形为平行四边形，求 M N 的坐标。(3)在抛物线上找一点 M,在直线BC上找一点N,使彳#以Q C、M N四点构成的四边形为平行

3、四边形，求 M N的坐标。(4)在抛物线上找一点 M,在X轴上找一点N,使彳导以B C、M N四点构成的四边形为平行四边形，求 M N的 坐标。,(图 1)三：范例的万能方法解答思路及过程：思路分析：我们可以分析得出已知两点求另两点构成平行四边形的分类思想，即对已知边分两种情况讨论，考虑已知边为平行四边形的边或对角线。而另外两点其实也一直有个共性的规律，就是不管怎么变，它们都在两个已知函数图象上，当然这些图象包括坐标轴和一些与坐标轴平行的特殊直线，也包括上面没有提及的反比例函数图象。好，那我们抛开原始坐标系，结合下图讲解我的万能法。如图2。假设A、B为已知点，C、D为未知点。当AB为边时，CD

4、和AB平行且相等，我们可以将 AB, CD分别横竖构造全等的直角三角形，如图，AE型 CFD从而CF=AE DF=BE这两个等式就是我们构造的方程组模型，只要利用已知函数解析式设出未知点C和D的坐标，代入等量关系解之即可。当AB为对角线时，我们可先求 AB的中点M的坐标，然后将 C、D和M横竖构造全等，如图， CE阵ADFhM从而CE=DF ME=MF同样利用已知函数解析式设出未知点C和D的坐标，代入得方程组解之即可。考虑解得全面性，只要将下图的C、D两点对调位置皆可。1D(图2)那么已知两点共有三种可能，即水平两点，竖直两点，斜向两点，如下图。为了方便表示我们设A(Xa, Ya), B(Xb

5、, yB),C(Xc. yc), D(Xd，Yd),M (Xm , Ym )ABAB 为边（竖直点）为边ab（斜向点）为边cd=abcd=abaeg acfddf=be,cf=aexc XdXbXaYc YdYaYbXD XcXBXaYcYdxc XdYcYdYaYbc、d换位，只要将上述方程中涉及C D点的横坐标或纵坐标的差交换位置皆可，如XcXd 变成 Xd Xc。ab为对角线AB为对角线ab为对角线 cem2 dfm ce晔 mfd cem2 mfdem=fm , ce=dfce=fm,me=dfce=mf,me=dfXmXd XmXmxc Xd XmXmxcXdXm其实通过移项变形，我

6、YcyMyM yDYcyMyMyDyc yM yMyD们可得到xcXd2xm , ycYd2yM ,同样我们也可得至XaXb 2Xm, Ya Yb 2Ym。所以上述方程组可以变形成XaXBXcYaYbYcxD O从这个方程组我们可以知道当讨论Ydab为对角线时，cd就不用换位思考了。范例解答:_ 3 253（1） 第一小题的解为,(-1,0), B (4,0), c (0,2), D( 3,5),对称轴为直线 x 直线Bc的函数关 2 822。一一 1系式为y x2(2)首先设31 2N (-, n), M (m, m222)1.OB为边,M在N的左边，MN=OBXbXoXnXM52 , 39

7、 .5所以M (2yMVn4 3122-m 23m 2 n239一)82. OB为对角线, MF四 NEF39一)839一)8M在N的右边时,同理可得11239XMyM5221XnVnXoXb从而得方程组VoVb21一)811首先设 N (n, n 2), M (m, m222)1.OC为边，N在M上方，MN=OC yNyM2)XnXMmi2 2%或m22 2 25将解代入上述所设点坐标或相应解释式求纵坐标，得Mi(22 2, 2 1), Ni(22 2, -2 1); M2(2 2 2, . 2 1),电(2 2、.2, 、，21)当OC为边，M在上方，得yMVn 2XnXm123 c /1

8、-m m 2 ( n222m2) 22) 2解得m3032,代入两函数解析式求对应的纵坐标，所以M3(2,3),N3(2,1)。2.当OC为对角线时,如图,MF哄 NEP得XMXNyMYnycXO,1、 一，从而得方程组Yo3m 22m4n42 22.2m5 2 2. 2 ，一 一 5代入原函数解析式得n52 2 2M 4(21),M5(22 2,22 1), N4(2v22,3v12),5(2 2d2,3 V2) o(4)M1.首先设M (m,1 2-m22), N(n,0)BC为边， BEe4MFN得XMXN XBXcm1n13 、412 或5 . 412mbn2N2 (YnYmYcYb解之得23 .4125.4122), Ni (W,0)；M( 52),M N位置调换，同理可得M3(3,2),N3 (7,0 )。2. BC为对角线， MF四APEN得 xM xNYm YnXbXcYbY