人教版九年级数学上册《22-1-4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》同步练习题及答案

1、22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质1.若抛物线 y=-x2+bx+c 经过点(-2,3),则 2c-4b-9 的值是() A.5B.-1C.4D.182.(2018·山东德州中考)如图,函数 y=ax2-2x+1 和 y=ax-a(a 是常数,且 a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()3. 若抛物线 y=x2-2x+3 不动,将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平移 1 个单位长度,再沿竖直方向向上平移 3 个单位长度,则原抛物线对应的函数解析式应变为()A.y=(x-2)2+3B.y=(x-2)2+58C.y=x2-1D.y=x2+424. 二次函

2、数 y=1x2+3x+5y=1x2 的图象先向(左、右)平移个单位长度,再2的图象是由函数 2向 (上、下)平移 个单位长度得到的.5.经过 A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线解析式是 .6. 如图,若抛物线 y=ax2+bx+c 上的 P(4,0),Q 两点关于它的对称轴 x=1 对称,则点 Q 的坐标为 .7. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则点 P(a,bc)在第 象限.8. 已知二次函数 y=ax2-5x+c 的图象如图所示.(1) 试求该二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标.(2) 观察图象回答,何时 y 随 x 的增大而增大,何时 y 随

3、x 的增大而减小?(3) 将图中抛物线先向左平移 3 个单位长度,再向下平移 4 个单位长度,试确定所得到的抛物线的解析式.9. 已知抛物线 y=x2-2mx-4(m>0)的顶点 M 关于坐标原点 O 的对称点为 M',若点 M'在这条抛物线上,则点 M 的坐标为()A.(1,-5)B.(3,-13)C.(2,-8)D.(4,-20)10. 由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:“已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象过点(1,0)求证:这个二次函数的图象关于直线 x=2 对称.”根据现有信息,题中的二次函数图象不具有的性质是()A.过点(3,0)B.顶点是(2,

4、-2)C.b<0D.c=311. 若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A(2,1),且经过点 B(1,0),则抛物线的函数解析式为 .12. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,且 P=|2a+b|+|3b-2c|,Q=|2a-b|-|3b+2c|,则 P,Q 的大小关系是 .13. 如图,四边形 ABCD 是菱形,点 D 的坐标是(0, 3),以点 C 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 恰好经过x 轴上 A,B 两点.(1) 求 A,B,C 三点的坐标.(2) 求经过 A,B,C 三点的抛物线的解析式.(3) 若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点 D,求平移

5、后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位长度?14.我们知道,经过原点的抛物线的解析式可以是 y=ax2+bx(a0).(1) 对于这样的抛物线:当顶点坐标为(1,1)时,a= ;当顶点坐标为(m,m)(m0)时,a 与 m 之间的关系式是 ;(2) 继续探究,若 b0,且过原点的抛物线顶点在直线 y=kx(k0)上,请用含 k 的式子表示 b;(3) 现有一组过原点的抛物线,顶点 A1,A2,An 在直线 y=x 上,横坐标依次为 1,2,n(n 为正整数,且n12),分别过每个顶点作 x 轴的垂线,垂足记为 B1,B2,Bn,以线段 AnBn 为边向右作正方形 AnBnCnDn, 若这组抛

6、物线中有一条经过 Dn,求所有满足条件的正方形边长.参考答案夯基达标1.A抛物线 y=-x2+bx+c 经过点(-2,3),-(-2)2-2b+c=3,整理得,-2b+c=7,2c-4b-9=2(c-2b)-9=2×7-9=5,故选 A.2.BA.由一次函数 y=ax-a 的图象可得 a<0,此时二次函数 y=ax2-2x+1 的图象应该开口向下,故本选项错误;B. 由一次函数 y=ax-a 的图象可得 a>0,此时二次函数 y=ax2-2x+1 的图象应该开口向上,对称轴 x=-2 >0,故本选项正确;2C. 由一次函数 y=ax-a 的图象可得 a>0,此

7、时二次函数 y=ax2-2x+1 的图象应该开口向上,对称轴 x=-2 >0,和 x 轴的正半轴相交,故本选项错误;2D. 由一次函数 y=ax-a 的图象可得 a>0,此时二次函数 y=ax2-2x+1 的图象应该开口向上,故本选项错误.故选 B.3.C将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平移 1 个单位长度,再沿竖直方向向上平移 3 个单位长度,相当于把抛物线向左平移 1 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度,因为 y=x2-2x+3=(x-1)2+2,所以抛物线的顶点坐标为(1,2),向左平移 1 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度,得到顶点(0,-1),所以原抛

8、物线对应函数的解析式应变为 y=x2-1.故选 C.4. 左3下2先将二次函数由一般式化成顶点式,再确定平移的单位长度.由于y=1x2+3x+5 = 1(x2+6x+5)=1(x2+6x+9-9+5)=1(x+3)2-2,22222故抛物线 y=1x2+3x+5y=1x2 先向左平移 3 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度得到的.是由抛物线2225. y=-3x2+3x+3根据题意设抛物线的解析式为 y=a(x+2)(x-4),84把 C(0,3)代入得-8a=3,即 a=-3,则抛物线的解析式为 y=-3(x+2)(x-4)=-3x2+3x+3.88846.(-2,0)由抛物线 y=ax

9、2+bx+c 上的 P(4,0),Q 两点关于它的对称轴 x=1 对称,可知 P,Q 两点到对称轴x=1 的距离相等,所以点 Q 的坐标为(-2,0).7.三抛物线开口向下,a<0.2- <0,a<0,b<0.抛物线与 y 轴交于正半轴,c>0,P(a,bc)在第三象限.16-20 + =08.解 (1)由题图知,抛物线过点(1,0),(4,0),代入函数解析式,得 -5 + = 0,解得 = 1, = 4.故所求二次函数的解析式为 y=x2-5x+4.又因为 y=x2-5x+4= - 5 2 9,所以函数图象的顶点坐标为 5 ,- 9 .242 4(2)由(1)

10、知,a=1>0,抛物线的对称轴为直线 x=5,从图象知,当 x>5,y 随 x 的增大而增大;当 x<5,y 随时时222x 的增大而减小.2(3)由(1)知,y=x2-5x+4= - 52 9,将抛物线先向左平移 3 个单位长度,再向下平移 4 个单位长度,则所4得抛物线的解析式为 y= - 5 + 3 2 9-4,即 y=x2+x-6.24培优促能9.Cy=x2-2mx-4=x2-2mx+m2-m2-4=(x-m)2-m2-4,点 M(m,-m2-4).点 M'(-m,m2+4).m2+2m2-4=m2+4.解得 m=±2.m>0,m=2.M(2,

11、-8).故选 C.10.B因为二次函数 y=x2+bx+c 的图象过点(1,0),且关于直线 x=2 对称,所以 1+b+c=0,且图象过点(3,0),-=2,则 b=-4<0;将 b=-4 代入 1+b+c=0,得 c=3.故 y=x2-4x+3,顶点是(2,-1).211.y=-x2+4x-3设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2+1,将 B(1,0)代入 y=a(x-2)2+1,得 a=-1.因此抛物线的函数解析式为 y=-(x-2)2+1,展开得 y=-x2+4x-3.12. P>Q抛物线的开口向下,a<0.2- >0,b>0.2a-b<0.2- =

12、1,b+2a=0.x=1 时,a+b+c>0,x=-1 时,y=a-b+c<0.2-1b-b+c<0.3b-2c>0.抛物线与 y 轴的正半轴相交,c>0.3b+2c>0,P=0+3b-2c=3b-2c>0,Q=b-2a-3b-2c=-2a-2b-2c=-2(a+b+c)<0.P>Q.13. 解 (1)由抛物线的对称性可知 AE=BE.在 RtAOD 和 RtBEC 中, 因为 OD=EC,AD=BC,所以 RtAODRtBEC(HL).故 OA=EB=EA.设菱形的边长为 2m,在 RtAOD 中,m2+( 3)2=(2m)2,解得 m=

13、1.所以 DC=2,OA=1,OB=3.故 A,B,C 三点的坐标分别为(1,0),(3,0),(2, 3).(2) 设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2+ 3,代入点 A 的坐标(1,0),得 a=- 3,所以抛物线的解析式为 y=- 3(x-2)2+ 3.(3) 设平移后抛物线的解析式为 y=- 3(x-2)2+k,代入点 D 的坐标(0, 3),得 k=5 3,所以平移后的抛物线的解析式为 y=- 3(x-2)2+5 3.所以平移了 5 3 3=4 3个单位长度.创新应用14.解 (1)-1a=- 1 (或 am+1=0)(2) 因为 a0,2所以 y=ax2+bx=a + 所以顶点坐标为 - ,- 22 2 .4.2 4因为顶点在直线 y=kx 上,所以 k· -=-2 .24又因为 b0,所以 b=2k.(3) 因为顶点 An 在直线 y=x 上,所以