空间直线典型例题

1、空间直线典型例题一例1若a/b , b c二A，则a , c的位置关系是（）.A 异面直线B 相交直线C.平行直线D 相交直线或异面直线分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论.解：如图所示，在正方体 ABCD - AjBjGD中，设ABj =a , AB = b，贝U a/b .若设B1B二c,则a与c相交若设BC =c，则a与c异面.故选D .说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解.一般以正方体、四面体等为具体模型.例如，a , b相交，b , c相交，则a , c的位置关系是相交、 平行或异面.类似地；a , b异面，b , c异面

2、，则a , 交或异面这些都可以用正方体模型来c的位置关系是平行、 判断.典型例题二例2已知直线a和点A , A f ：，求证：过点 A有且只有一条直线和 a平行. 分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性 和惟一性.存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有.一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的 对象.因此，这是否定性.命题，常用反证法.证明：（1）存在性. Aa，二 a和A可确定一个平面:-,由平面几何知识知，在 :-内存在着过点 A和a平行的直线.（2）惟一性假设在空间过点 A

3、有两条直线b和c满足b/a和c/a 根据公理 4，必有b/c与 b c=A矛盾，过点A有一条且只有一条直线和 a平行.说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性.典型例题三DA例3如图所示，设E , F,G ,H分别是空间四边形上的点,AEAHCFCG日 -求证：1 1. fijABADCBCD(1) 当1 ="时，四边形EFGH是平行四边形；(2) 当"时，四边形EFGH是梯形.分析：只需利用空间等角定理证明EH /FG 即可.证明：连结BD ,ABCD 的边 AB , BC , CD , AF在.ABD中,AEABAH,ADEH / BD，且在

4、CBD中,CFCBCDFG/BD，且 FG 二BD .(1)(2)EH /FG , 顶点E , F ,H在由EH和FG确定的平面内.EH故四边形EFGH为平行四边形;EH故四边形EFGH是梯形.显然，课本第111特别地，当=二一时，E , F , G ,2说明:页的例题就是本题(2)的特殊情况.H是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形.如果再加上条件 AC =BD，这时，平行四边形 EFGH是菱形.典型例题四例4已知a、b是两条异面直线，直线 a上的两点A、B的距离为6，直线b上的两点C、D的距离为8, AC、BD的中点分别为 M、N且MN =5，求异面直线a、b所成的角.分析

5、：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造 成和异面直线a、b平行的两条相交直线，然后把它们归纳 到某一三角形中求解.解：如图，连结BC ,并取BC的中点0 ,连结0M、ON ,/ 0M、ON分别是 ABC和 BCD的中位线，二 0M /AB , ON/CD，即OM /a , ON/b .二OM、ON所成的锐角或直角是异面直线 a、b所成的角.又 AB =6, CD =8 , OM -3, ON =4 .在 OMN 中，又T MN =5 ,- M 2 ON2 =MN故异面直线a、b所成的角是90说明：在求两条异面直线所成的角时，一般要依据已知条件，找出与两条异面直线分别平行并且相交于一点的两

6、条直线但是，异面直线所成角的定义中的点0般是在图形中存在着的，需要认真观察分析图形的性质，从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直线，以得到两条异面直线所成的角，在求这个角的大小时，一般是根据平面图形中解三角 形的知识求解的.典型例题五例5已知四面体S - ABC的所有棱长均为a 求:(1)异面直线SC、AB的公垂线段EF及EF的长;(2)异面直线EF和SA所成的角.AB的公垂线段，进而求出其距分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线SC、离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解.解：(1)如图，分别取SC、AB的中点E、F ,连结 SF、CF .由已知，得 SAB也丄CAB .- SF =CF , E是SC的中点， EF _SC.同理可证EF _ AB- EF是SC、AB的公垂线段.V31在 Rt SEF 中，SF 3 a , SE =丄 a .22- EF 二、SF2 -SE23 212、2-a - aa .4 42(2)取AC的中点G，连结EG，则EG/SA. EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线EF和SA所成的角.11连结 FG，在 EF