上海交大电路基础PPT

1、“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础n 7.1 电路的状态和状态变量电路的状态和状态变量n 7.2 状态方程及其列写状态方程及其列写 n 7.3 状态方程的解法状态方程的解法 n 7.4 应用实例：解微分方程电路应用实例：解微分方程电路“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础7.1 电路的状态和状态变量电路的状态和状态变量 本章将给出电路的状态和状态变量的定义，讨论本章将给出电路的状态和状态变量的定义，讨论状态方程的列写方法和求解方法。状态方程的列写方法和求解方法。一、状态变量一、状态变量 状态变量法不仅适用于分析线性非时变电路，而状态变量法不仅适用

2、于分析线性非时变电路，而且适合用来分析线性时变电路和非线性电路。且适合用来分析线性时变电路和非线性电路。状态变量状态变量: :对于某个动态电路对于某个动态电路, ,如果已知如果已知n n个独立变量在个独立变量在t t0 0时刻的初始值以及时刻的初始值以及t tt t0 0时电路的激励时电路的激励, ,就可完全确定就可完全确定ttt t0 0时电路的响应时电路的响应, ,那么那么n n个独立变量就称为电路的一个独立变量就称为电路的一组状态变量。组状态变量。“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础 一般来说，电路变量的集合一般来说，电路变量的集合x(t)满足以下两个条满足以下两

3、个条件，可作为电路的状态。件，可作为电路的状态。(1) (1) 如果已知如果已知x(t)（其各个元素都是独立的）在其各个元素都是独立的）在t t0 0时刻时刻的值的值x(t0)以及从以及从t0开始的输入开始的输入w(t)，则对任意则对任意t t0，x(t)就能完全确定。就能完全确定。(2) (2) 由由x(t)和和w(t)可确定任何其它电路变量集可确定任何其它电路变量集y(t)。 在电路分析中，一般选全部独立的电容电压在电路分析中，一般选全部独立的电容电压uC（或或电荷电荷qC）和独立的电感电流和独立的电感电流iL（或磁通或磁通 L L）的集合作为电的集合作为电路的状态路的状态x(t)。 “十

4、一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础状态轨迹状态轨迹: : 状态向量状态向量x(t)在任一时刻在任一时刻t的值称为电路在的值称为电路在该时刻的状态。每一时刻的状态在状态空间中都对应一该时刻的状态。每一时刻的状态在状态空间中都对应一个个“点点”，所有这些，所有这些“点点”形成的形成的“轨迹轨迹”，称为，称为状态状态轨迹轨迹。通过状态轨迹人们就可以判断电路的基本性质通过状态轨迹人们就可以判断电路的基本性质状态空间状态空间: :把每个状态变量作为一个坐标形成的空间。把每个状态变量作为一个坐标形成的空间。“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础例：例：RLC并联

5、并联电路的响应分析电路的响应分析 （1）以以iL为求解对象的微为求解对象的微分方程分方程220LLLd idiLLCidtR dt初始值：初始值：iL(0+)= I0、uC(0+)=U0 （2 2）以）以iL和和uC作为变量分别列写作为变量分别列写RLC并联并联电路的方程，则有电路的方程，则有：LCdiLudtCCLSduuCiidtR 在二阶电路中学过在二阶电路中学过“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础表示成矩阵形式表示成矩阵形式 100111LLSCCdiidtLiuduCCRCdt是以是以iL和和uC为变量的一阶微分方程组。为变量的一阶微分方程组。00(0 )(0

6、 )LCiIuU初始值初始值iL(0+)= I0、uC(0+)=U0也可表示成也可表示成称这一阶微分方程组为称这一阶微分方程组为RLC并联并联电路动态过程的电路动态过程的状态方程状态方程, ,并可简写成并可简写成 xAxBw“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础 xAxBw其中其中x= iL uCT称为电路的状态称为电路的状态x中的元素中的元素iL和和uC称为状态变量称为状态变量A A、B B 为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数W 为输入向量为输入向量x(0+)= I0 U0T 为电路的初始状态为电路的初始状态x(0-) 电路

7、的原始状态电路的原始状态x(0+)=x(0-)=x(0)=x0根据换路定律有根据换路定律有“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础（1 1）当）当w = 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；时，状态方程描述零输入响应；（2 2）当）当w 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应；时，状态方程描述零状态响应；（3 3）当）当w 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。时，状态方程描述完全响应。( (a) a) 过阻尼情况的时域波形过阻尼情况的时域波形( (b) b) 过阻尼情况的状态空间轨迹过阻尼情况的状态空间轨迹RLC并联电路的零输入响应并联电路的零输入响应“十一五十一五

8、”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础(a) 欠阻尼情况欠阻尼情况(b) 无阻尼情况无阻尼情况(c) 发散情况发散情况电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性 1.1.过阻尼情况过阻尼情况: : 状态轨迹从状态轨迹从t t=0=0+ + 的初始状态的初始状态x x0 0=I I0 0 U U0 0 T T开始，在开始，在t t= = 时终止于坐标原点时终止于坐标原点 “十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础（2 2）欠阻尼情况：状态轨迹是从）欠阻尼情况：状态轨迹是从t t=0=0+ + 到到t t= = 时的螺旋线时的螺旋线 （3 3

9、）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆 （4 4）响应为增幅振荡情况：在）响应为增幅振荡情况：在t t趋于趋于 时，零输入响时，零输入响应成为无界，状态轨迹是向外发散的。应成为无界，状态轨迹是向外发散的。 (a) 欠阻尼情况欠阻尼情况(b) 无阻尼情况无阻尼情况(c) 发散情况发散情况“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础注意：注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必需在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必需的初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电流完的初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电流完全确定，所以通常

10、选取独立的电容电压全确定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立的电感和独立的电感电流电流iL作为状态变量作为状态变量 即电路独立状态变量的个数即电路独立状态变量的个数电路的电路的复杂度复杂度( (complexity)complexity)，亦称亦称自由度自由度( (freedom)freedom)。 （1 1）无源（）无源（RLCRLC）电路的复杂度为电路的复杂度为n = nC + nL lC qL （2 2）有源电路复杂度的上下限为）有源电路复杂度的上下限为0 n nC + nL lC qL “十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础7.2 状态方程及其列写状态方程及其列

11、写.1状态方程和输出方程状态方程和输出方程 一、状态方程一、状态方程一阶微分方程组一阶微分方程组1212( , ) 1,2,iinmxf x xx w wwtin其一般形式为其一般形式为( , ) t xf x w矩阵形式为矩阵形式为11 1,2,nmiikkijjkjxa xb win线性非时变动态电路，状态方程是一阶线性微分方程组线性非时变动态电路，状态方程是一阶线性微分方程组其形式为其形式为“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础 xAxBw矩阵形式为矩阵形式为0(0 )xx初始条件初始条件状态向量状态向量T12nx xxxT12nx xx xT12m

12、w wwwT010200nx xxx初始状态初始状态n状态变量状态变量xi的个数的个数m输入激励输入激励wj的个数的个数“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础二、输出方程的一般形式为二、输出方程的一般形式为1212( , ) 1,2,iinmyg x xx w wwtir( , ) tyg x w矩阵形式矩阵形式11 1,2,nmiikkijjkjyc xd wir线性非时变动态电路，输出方程是线性代数方程组线性非时变动态电路，输出方程是线性代数方程组其形式为其形式为yCxDw矩阵形式矩阵形式r为输出变量为输出变量yi的个数的个数 T12ry yyy为输出向量为输出向量“

13、十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础C=cikr n和和D=dijr m系数矩阵系数矩阵yCxDwEw此时输出方程的形式为此时输出方程的形式为如果电路中存在如果电路中存在（1）C与电压源与电压源uS组成的回路组成的回路（2）L与电流源与电流源iS组成的割集组成的割集SLLSdidiuLLLidtdtCSCSduduiCCCudtdt则输出方程中将出现输出向量导数则输出方程中将出现输出向量导数“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础7.2.2 7.2.2 线性非时变动态电路状态方程的列写线性非时变动态电路状态方程的列写列写方法列写方法直接观察直接观察置换

14、方法置换方法系统法系统法 这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。不太复杂的电路不太复杂的电路复杂的电路复杂的电路一、直接观察法一、直接观察法步骤步骤(1) (1) 选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路）而不含电感（和无伴电流源支路）。路）而不含电感（和无伴电流源支路）。(2) (2) 对每个电容树支确定的基本割集列写对每个电容树支确定的基本割集列写KCLKCL方程；对方程；对每个电感连支确定的基本回路列写每个电感连支确定的基本回路列写KVLKVL方程。方程。“十一五十一五”国家级规划教材国家

15、级规划教材电路基础电路基础(3) (3) 消去以上两组方程中的非状态变量（就是将非状消去以上两组方程中的非状态变量（就是将非状态变量用状态变量和激励来表示），并整理成标准形式态变量用状态变量和激励来表示），并整理成标准形式的状态方程。的状态方程。 二、输出方程的列写二、输出方程的列写（1 1）用置换定理将每个电容）用置换定理将每个电容C用电压源用电压源uC置换置换将每个电感将每个电感L用电流源用电流源iL置换置换（2 2）将非状态变量用状态变量和输入激励表示）将非状态变量用状态变量和输入激励表示（3 3）整理成标准形式的输出方程）整理成标准形式的输出方程 “十一五十一五”国家级规划教材国家级规

16、划教材电路基础电路基础(1) (1) 选选1 1、3 3、4 4作为树支，则作为树支，则2 2、5 5为连支。为连支。例例.1 试列出图试列出图( (a)a)所示电路的状态方程。所示电路的状态方程。解：解：1.1.直接观察法写状态方程直接观察法写状态方程(2) (2) 对电容对电容C3确定的确定的基本割集基本割集1 1列写列写KCLKCL方程方程3352CLRduCiidt(a)“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础1割集2割集回路12534对电感对电感L5确定的基本回路列写确定的基本回路列写KVLKVL方程方程442CRduCidt55311LCRsdiLuRiudt 对电容对电容C4确定的基本割集确定的基本割集2 2列写列写KCLKCL方程方程(3) (3) 用用uC3、uC4、iL5和和uS表示非状态变量表示非状态变量iR1和和iR2，得到得到341522CCRLRuuiiiR，“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材电路基础电路基础代入基本割集和基本回路方程，有代入基本割集和基本回路方程，有3343522CCCLduuuCidtRR 434422CCCduuuCdtRR55315