矩阵论考试试题(含答案)

1、矩阵论试题、（10 分） 设函数矩阵sin tcostAtcost sin t求： A t dt 和(0t0 A t dt )'。解： A t dt = 0ttsin t dt00 t costdt0cost dttsin tdt0= 1 cost sintsint1 costt2( At dt)'02= A t 2 2tsint22t cost 2 costcost2sint2、（15分）在R3中线性变换 将基1011 1 ， 2 2 ，30111100变为基1 1 ， 2 1 ，33012(1)求 在基1,2,3下的矩阵表示A；(2)求向量1,2,3 T 及在基 1,2,3

2、下的坐标；(3)求向量1,2,3 T 及在基 1,2,3下的坐标。解：（1） 不难求得：1 1 1 2因此 在 1, 2, 3 下矩阵表示为1 1 1A 1 1 2011k1(2) 设1, 2 , 3 k2 ，即k30 1 k1所以 在 1,解之得： k1 10, k2 4, k3 9在 1, 2 ,3下坐标可得y11 1 11023y21 1 2432y30 1 1913(3) 在基 1,2,3下坐标为10101 101A14111415911096在基 1,2 , 3下坐标为23101 2310A132111 32413110 139002三、（20 分）设 A01 0 ，求e At 。1

3、032, 3下坐标为 10, 4, 9 T 。解：容易算得IA1 2 2由于m是2次多项式，且! 1, 2 2，故g是1次多项式,由于fe t，且 f 1 g 1 ，tea°a2tea02a1于是解得:t2ta02ee2tta1eegao ai2 g 2，故从而：Atf A eg Aa0 E a1 At 2t2t t2e e E ee At 2tt2t2e e 0 2e 2e0et02t t2t te e 0 2e e四、（15分）求矩阵A1 0 10 1 1的奇异值分解0 0 01 01解：B ATA0 11的特征值是13, 2 1, 30对应的特征向量依1 12次为1111 1，

4、21，31201于是可得rankA 2，3001V计算:构造11162.311162.3201.6、31 1.2 .21 1.2 20 00U 20，贝S V U1 U211 1 n2 201 12 .2 00 0 1则A的奇异值分解为：A U五、（15分）求矩阵A的满秩分解：解：A E行3 0 0010VT0 0 01 0 1 212 112 2 2 11012100121101022210011012100020311000001111可求得：P1于是有100P 1 1 01 1 1，C101CH CC H2 BC3BHB或 ACH BH AC H 1BH110六、（10 分） 求矩阵 A

5、4 3 0的Jordan标准形。因此，所求的初等因子组为1 0 2解：求EA的初等因子组，由于110100EA430313401020121001002220100 2 221012010100010002122, 1 2，于是有200A J= 0 1 1001七、（10分）设V是数域F上的线性空间，乂乂是V的子空间，则Vi V2也是 V 的子空间证明：由o y,o v2 , 知o vV2 ， 即 说 V1V2 非空 ， 对 于任 意ViV2 ,贝y , Vi且,V。因为Vi V是子空间，所以对任意kF，有kVi,V2，故ViV2。Vi，且kV2 ,因此知kViV2 ,故知Vi,V2为V的子空间。ioo八、（5 分）设 A i o i ，oio求证 An An 2 A2