《勾股定理》PPT课件

1、C CB BA A学习目标：学习目标： 1.探究揭示直角三角形三边关系的勾股定理。探究揭示直角三角形三边关系的勾股定理。 2.证明勾股定理的正确性。证明勾股定理的正确性。 3.会运用勾股定理解决一些简单的实际问题。会运用勾股定理解决一些简单的实际问题。PQRP的面积的面积 Q的面积的面积 R的面积的面积等腰直角三角形等腰直角三角形ABC中，中，两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方探究活动一、等腰直角三角形三边的关系呢？探究活动一、等腰直角三角形三边的关系呢？(单位面积单位面积)(单位面积单位面积)(单位面积单位面积)ACB112P的面积的面积的面积的面积R的面积的面积

2、AC2 + BC2 = AB2P PQQR Ra ac cb bS SP P+S+SQQ=S=SR R猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2探究活动二探究活动二: 对于一般直角三角形三边关系的探索：对于一般直角三角形三边关系的探索：P PQQC C R R如图，小方格的边长为如图，小方格的边长为1. 1.(1)(1)你能求出正方形你能求出正方形R的面积吗？的面积吗？用了用了“补补”的方法的方法P PQQC C R R用了用了“割割”的方法的方法QQ如图：已知四个全等的直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c。利用这

3、些直角三角形拼成一个大的正方形，来说明：222cba=+babababacccccabcabcabcab c2=b2-2ab+a2+ 2ab =a2+b2a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为c2 该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作勾股圆方图。abab214)(2证明证明1：abab214)(2cabcabcabcab (a+b)2 = a2+2ab+b2 = 2ab +c2a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为(a+b)224abC2证明证

4、明2：24abC2勾股定理(毕达哥拉斯定理)（gougu theorem） 如果直角三角形两直角如果直角三角形两直角边分别为边分别为a， b，斜边为，斜边为c，那么那么 即直角三角形两直角边的平方和等于即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方.222cbaac勾勾弦弦b股股 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕达哥拉斯学

5、派，1955国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国

6、外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中。中。练习练习1、求出下列直角三角形中未知

7、边的长度、求出下列直角三角形中未知边的长度22243 x2243 x34x5x勾股定理勾股定理1y22212 y3比比一一比比看看看看谁谁算算得得快！快！2.2.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020 x x1234x =13c、如图、如图, ,一个高一个高3 3 米米, ,宽宽4 4 米的大门米的大门, ,需在相需在相对角的顶点间加一个加固木条对角的顶点间加一个加固木条, ,则木条的长则木条的长为为( )( )A.3A.3米米 B.4B.4米米 C.5C.5米米 D.6D.

8、6米米C2.直角三角形的两边长分别为3、4，例例1 如图所示，为了求出湖两岸的如图所示，为了求出湖两岸的A、B两点间两点间的距离，一个观测者在点的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形设桩，使三角形ABC恰恰好为直角三角形通过测量，得到好为直角三角形通过测量，得到AC的长为的长为160米，米，BC长为长为128米问从点米问从点A穿过湖到点穿过湖到点B有多远？有多远？ 答答： 从点A穿过湖到点B有96米。解： 在直角三角形ABC中， AC=160米，BC=128米，根据勾股定理可得 22BC-ACAB 22128160 米米96 9 9米米 在台风在台风“麦莎麦莎”的袭击中，一棵大的袭击中，一棵大

9、树在离地面树在离地面9 9米处米处断裂，树的顶部落断裂，树的顶部落在离树根底部在离树根底部1212米米处。这棵树折断之处。这棵树折断之前有多高？前有多高？1212米米15米米美国第二十任美国第二十任总统伽菲尔德总统伽菲尔德总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理 12S梯形梯形= (a+b)(a+b) = (a2+b2)+ ab12S梯形梯形 = c2 +2 ab = c2+ab 121212即：在即：在RtABC中，中，C=90 c2 = a2 + b211美丽的勾股树美丽的勾股树练习练习2、求出下列直角三角形中未知边的长度、求出下列直角三角形中未知边的长度222135 x22513 x2212 y

10、51312xy12222513 x251693144勾股定理勾股定理课堂练习1、求下列直角三角形中未知边x的长158x =17x2524=768x =10412x =1353如图，要登上如图，要登上8米米高的建筑物高的建筑物BC，为了安，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物距离全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB为为6米米，问至少需要多长的梯子？，问至少需要多长的梯子？8mBCA6m解：解：在在RtABC中中ABC=90, BC=8，AB=6AC2= 62 + 82 =36+64 =100AC=10答：梯子至少长答：梯子至少长10米米。P PQQC C图乙图乙2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小

11、方格的边长为的边长为1.1.9 916162525S SP P+S+SQQ=S=SR R1 11 12 2图甲图甲 图乙图乙P P的面积的面积QQ的面积的面积R R的面积的面积R RQQP PR RS SP P+S+SQ Q=S=SR R图甲图甲“割割”“补补”QQP PR R图甲图甲 图乙图乙P P的面积的面积QQ的面积的面积R R的面积的面积1 11 12 2S SP P+S+SQ Q=S=SR RC C图甲图甲1.1.观察图甲，小方格观察图甲，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？正方形正方形P P、Q Q、R R的的 面积有什么

12、关系？面积有什么关系？P PQQ图乙图乙2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小方格的边长为的边长为1.1.9 916162525S SP P+S+SQQ=S=SR R4 44 48 8P PQQR RS SP P+S+SQ Q=S=SR R图甲图甲图甲图甲 图乙图乙P P的面积的面积QQ的面积的面积R R的面积的面积a ac ca ab bc cR Rb b3.3.猜想猜想a a、b b、c c 之间的关系？之间的关系？a2 +b2 =c2. .在在RtRtABCABC中，中，=90=90(1)(1)已知：已知：a=40a=40，c=41c=41，求，求b b(2)(2)已知已知: a:b=3:

13、4, c=15,: a:b=3:4, c=15,求求a a、b.b.(1)在直角三角形中在直角三角形中,已知两边已知两边,可求第三边可求第三边;(2)可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法方法小结小结abcCAB例题例题2 : 如图，将长为如图，将长为5米的梯子米的梯子AC斜靠斜靠在墙上，在墙上，BC长为长为2米，求梯子上端米，求梯子上端A到到墙的底端墙的底端B的距离的距离AB. 解解:在在RtABC中中ABC=90,BC=2,CA=5,根据勾股定理得根据勾股定理得 = = （米）（米） 222225 BCACAB21如图，一根电线杆在离地面如图，一根电线杆在离地面5 5米处断裂，米处

14、断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部电线杆顶部落在离电线杆底部1212米处，电米处，电线杆折断之前有多高？线杆折断之前有多高？ 电线杆折断之前的高度电线杆折断之前的高度 =BC+AB=5=BC+AB=5米米+ +米米米米5米米BAC12米米解：解：C C， 在在t t中，中， ，, , 根据勾股定理，根据勾股定理，22222212516913ABACBCABAB即、湖的两端有、湖的两端有A A、两点，从与、两点，从与A A方向成直方向成直角的角的BCBC方向上的点方向上的点C C测得测得CA=130CA=130米米,CB=120,CB=120米米, ,则则ABAB为为( )( )ABCA.50A.

15、50米米 B.120B.120米米 C.100C.100米米 D.130D.130米米130120?A（1）本节课你学到了什么新知识）本节课你学到了什么新知识?（2）勾股定理只能用在什么形中？）勾股定理只能用在什么形中？它可以用来解决什么问题？它可以用来解决什么问题？（3）请说出勾股定理得表达式？）请说出勾股定理得表达式？课堂小结课堂小结勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理 1. 已知中，已知中，B90， AC13cm， 5 cm,求的长求的长2. 已知等腰直角三角形斜边的长为已知等腰直角三角形斜边的长为2cm，求这个三角形的直角边求这个三角形的直角边 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊

16、有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。

17、早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角

18、，如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中。中。这是这是19551955年希腊曾经发行的年希腊曾经发行的纪念一位数学家的邮票。纪念一位数学家的邮票。20022002年世界数学家大会会标年世界数学家大会会标1. 1.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值. .8181144144625625576576144144169169xyz勾股定理的证明方法证法一证法一证法一证法二证法

19、二证法二证法三证法三证法三（邹元治证明）（邹元治证明）（赵爽证明）（赵爽证明） 赵爽赵爽:我国古代数学家我国古代数学家走进数学史走进数学史走进数学史延伸阅读勾股定理的证明方法证法四证法四证法四证法五证法五证法五证法六证法六证法六（加菲尔德证明）（加菲尔德证明） 加菲尔德加菲尔德:第二十任总统第二十任总统（梅文鼎证明）（梅文鼎证明） 梅文鼎梅文鼎:清代天文、数学家清代天文、数学家（项明达证明）（项明达证明） 项明达项明达:清代数学家清代数学家走进数学史走进数学史走进数学史勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证

20、明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500500余种，仅我国余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。

21、 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 现在在网络上看到较多的是现在在网络上看到较多的是1616种种, ,包括前面的包括前面的6 6种种, ,还有还有: : 欧几里得证明欧几里得证明、 利用相似三角形性质证明利用相似三角形性质证明、 杨作玫证明杨作玫证明、 李锐证明李锐证明、 利用切割线定理证明利用切割线定理证明、 利用多列米定理证明利用多列米定理证明、 作直角三角形的内切圆证明作直角三角形的内切圆证明、利用反证法证明利用反证法证明、 辛卜松证明辛卜松证明、

22、陈杰证明陈杰证明。走进数学史走进数学史走进数学史美国第二十任美国第二十任总统伽菲尔德总统伽菲尔德总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理aabbccADCBE返回如图，一根电线杆在离地面如图，一根电线杆在离地面5 5米处断裂，米处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部电线杆顶部落在离电线杆底部1212米处，电米处，电线杆折断之前有多高？线杆折断之前有多高？5米米BAC12米米一、情景引入一、情景引入电线杆折断之前的高度电线杆折断之前的高度=BC+AB=5=BC+AB=5米米+AB+AB的长的长1、求出下列直角三角形中未知边的长度。6x25248X试一试试一试:2、在在ABC中中,C=90， A 、 B 、

23、C 的对的对边分别为边分别为a 、 b 、 c,若若a=3，b=4，则，则c=；若若a=5,c=13,则则b=；若若b=8，c=17，则，则a=；若若a=7,b=24,则则c=.5121525abcCBA 分别以分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作为直角三角形的直角边作出一个直角三角形出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立。验证上述关系对这个直角三角形是否成立。.如图，小方格都是边长为如图，小方格都是边长为1的正方形，的正方形，求四边形求四边形ABCD的面积与周长的面积与周长. 53 2132 5EFGH现学现用：现学现用

24、：假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆千米就找到宝藏，问登陆点点A 到宝藏埋藏点到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？的距离是多少千米？AB82361图甲图甲 图乙图乙A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积4 44 48 8A AB BC CS SA A+S+SB B=S=SC CC C图甲图甲1.1.观察图甲，小方格观察图甲，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？A AB BC C C C图乙图乙2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？9 916162525S SA A+S+SB B=S=SC C正方形正方形A