理论力学证明题

1、理论力学动态题库证明题1- 1.极坐标系中，质点的径矢量定义为:r ri，由此推证其速度和加速度。质点作平面运动，径矢量定义为：r ri，di d而：dt dtdjd .j,idtdtdir -rir jdtdd（ri）（r j ）dtdtdrv i dtdv adt（2 分）（2 分）（2 分）d /d（ri）rir j -（r j） r j r j而：dt；dta（r r2）i （r2r ）j2. r i（2 分）（2 分）v vi，由此推证其加1-2.自然坐标系中，质点的速度矢量沿轨道的切线方向，定义为:速度为:dv . a i dt质点沿轨道运动，速度矢量定义为：v vi，i为切线方向

2、.有:did .jj,（3分）dtdtdvdv.di（2 分）aiv -dtdtdt而：v；div j jJ ,（3分）dtdv . i2 v（2 分）ajdt1-3.简述有心力的性质并证明质点在有心力作用下只能在一个平面内运动证明：只要证明角动量是一个 常矢量即可.性质：（1）力线始终通过一定点;（2）角动量守恒，或掠面速度守恒；（3）有心力是保守力,或机械能守恒.1-4.质点作平面运动，其速率保持常数，试证其速度矢量v与加速度矢量 a正交。证明:质点作平面运动，速度总沿轨道切线方向。而:v vidvv2 .（2分）aiJdt（2分）又v为常数，空 0,dt2（2分）v . aJ（2分）故v

3、 a,证毕。（2分）1-5.根据牛顿第二定律导出质点的角动量定理的数学表达式1-6.根据牛顿第二定律导出质点的动能定理微分形式的数学表达式2-1.根据牛顿第二定律导出质点组动量定理的数学表达式，并写出分量形式2-2.根据牛顿第二定律导出质点组对原点的角动量定理的数学表达式解:mi¥Fi（i）(e)F in(ri1mid2ridt2ri(Fi(i) Fi(e)nri1Fi（i）rid2ri dmiF H(ridt(ridr, mi dtnriFi(e)dt解:Vimidvid2rdFVii(1m2dri ( (i)(e)、不(Fi Fi)d(Vii )nF/e)1dridtVi i (

4、dVi idrinFi(i)i1 2Vidi ) VidVid( Vi )d ril (i) i- (e)FFi Fi（3 分）（1）（3 分）（2 分）证毕（2分）2- 4. 一光滑球A与另一静止的光滑球 B发生斜碰。如两者均为完全弹性体，且两球的质 量相等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。证明：1.动量守恒mAVA EaVamBVBmA mBVaVa Vb2.机械能守恒1 2 1 2 1 2 mAVA mAVAmBVB2 2 22 2 2即：VA V A B VB由(1)式，有2 2 2(VAVB) V A B VB即：2Va Vb 0VaVb3- 1.均质实心圆球和一外形相等的空心

5、球壳沿着一斜面同时自同一高度自由滚下，证明它 们经过相等距离所需的时间比是-21:5.（已知实心球、空心球的绕直径的转动惯量22分别为：IsmR2,IkmR2,其中R是半径，m是质量）53证明:(1)确定刚体运动类型：平面平行运动。（1 分）(2)分析并写出平面平行运动的运动规律方程及其约束方程:mXC mgs inf（3 分）0 N mgcosmk2&& faXca(3)解出得XCgsin1 k2 / a2（3 分）(4 )则实心球和空心球的质心都作匀速直线运动，其大小分别为:a实坐匚5 gsin，12/57（5）gsin 31 2/35（2 分）设两球都经过相同的距离 S，

6、则:所以得:所以得:1 2 1 2 Sa实t实=刁a空t空（2 分）（1 分）（1 分）3-2.棒的一端置于光滑水平面上，另一端则靠在光滑墙上，且棒与地面的倾角为其自此位置开始下滑，则当棒与地面的倾角变为，如任arcsin( sin )3时，棒将与墙分离，试证明之。r 3k"Z Z 3-3.均质实心圆球和一外形相等的空心球壳沿着一斜面同时自同一高度自由滚下，证明它们经过相等距离所需的时间比是.21:5 .（已知实心球、空心球的绕直径的转动惯量分别为:22I实-mR2,I空-mR2，其中R是半径，m是质量）53证明：（1）（2）确定刚体运动类型：平面平行运动。分析并写出平面平行运动的运

7、动规律方程及其约束方程:（1 分）（3）mXC mg sin 0 N mgcos mk2&& faXc解出得:她汽2： 2。（ 3 分）1 k /a则实心球和空心球的质心都作匀速直线运动，其大小分别为:gsi n5 .a 实gsin ,1 2/57gsi n3 .a空gsi n1 2/35（5）设两球都经过相同的距离 S,则：1 十 _ 12Sa实上实=a空t空2 2所以得：（4）t实_ a空_ 25 ，t空 a实 21所以得:t空21（3 分）（2 分）（2 分）（1 分）（1 分）3- 3.4- 1.推导质点在非惯性系中的动力学方程，并说明方程中各项的含义4-2 导出空间转

8、动参考系中质点运动加速度的表达式，并说明每一项的物理含义。v drdr v vrdtdtv* vv ddv vadtdt解：（1）质点的速度为：（2 ）质点的加速度:（1 分）（1 分）2* v* v* vd rdvvvvvdr八2rv v 2（2 分）dtdtdt(3 )上式子可写为：v v v v，八、a a at ac（1 分）2* V(4)其中：a d rdt2是相对加速度，与质点相对转动参考系的运动有关。（1 分）（5）V d v v v vdt是牵连加速度，与转动参考系的转动有关。（1 分）* v v v dr （6）ac 2dt是科里奥利加速度，是参考系转动与质点运动共同作用的结

9、果。（2 分）4- 3.应用非惯性系动力学方程导出质点组对质心的角动量定理.5- 1.写出保守、几何约束条件下的拉格朗日方程和哈密顿原理的数学表达式，并由哈密顿原理证明拉格朗日方程.5-2.用哈密顿原理导出理想、完整约束、保守系的正则方程。s解：(1)系统哈密顿函数：H L p G&(2分)s(2) 所以拉格朗日函数：L p1(3) 带入哈密顿原理表达式：'2t1(4) 考虑哈密顿函数是p, q,t的函数tn2（&t1 i 1Hpp&H q（5）因 q , p相互独立，所以有：H cHc&，&Pa（aG& H（2 分）sp & H

10、 dt 0（2 分）1,则：q dt 0（2 分）（2 分）5-3.用哈密顿原理导出理想、完整约束、保守系的拉格朗日方程。t2解：(1)哈密顿原理表达式：Ldt 0(2分)t1(2)考虑拉格朗日函数是 q,q,t的函数，则:t2 S1L tdt（2分）（3）而:d L dt （可 qd L）+）（2分）还有等时变分o,代入前式,得t2tlt2 stl 1专（丄）qdt qq dt q(4)因是端点固定的等时变分,第一项为零，所以有t2 Stl 1q dt 0（1分）（2分）（1分）5-4.用理想、完整约束、保守系的正则方程导出哈密顿原理。(1)理想、完整约束、保守系的正则方程为：o,（2分）t

11、2 S1（q -H） p p（pH）q dt 0 q-J（3）利用：一 （pdtq）p qpq(4 )代入前式得：st2t2 sHp qt1qpp qp1t1 1p因是端点固定的等时变分，第-项为零,所以有:(2)两方程相减、分别乘以p , q，并对 求和、再积分，有:（2分）（2分）Hq dt 0 qt2 sHH亠 cq pp qpq dt 0t1 1pq再利用：s（2分）（p q1sH） （q p15-5.5-6.t2代入，得:L L 0titi证毕。用理想、完整约束、保守系的拉格朗日方程导出哈密顿原理。（1）（2）（3）（4）理想、完整约束、保守系的拉格朗日方程为:方程两边同乘t2ti利用:，并对