8平移构造齐次式

1、学习数学领悟数学秒杀数学平移坐标系构造齐次式M圆锥曲线斜率和与积的问题一移构造齐次式进阶篇在秒杀压轴题系列1中，我们讲解了有关过圆锥曲线上的一个定点戶作两条直线与圆锥曲线交于弓、，在直线和肋斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线.奶过定点或者.衍定斜率的问题，秒1中给岀 平移构造齐次式的秒杀方法。那么有些同学提出疑问，如果定点尸不在圆锥曲线上时，我们该如何秒杀？2 2秒杀秘籍：已知点P（x0 >）o）是平面内一个定点，椭圆6 二n + = l（a>b>0）上有两动点趴3（1）若直线km+kpB=九,则直线-3过定点（2）若直线kp.kpB=入、则直线ABxL定点证明：将椭恻

2、C按向fiPO（-x0,-y0）方向平移，得 m C:3 +=1，展开得：crbx2 y2 2x02y0 卅 >o , A平面内的定点P（Xoo）和椭|M|C上的动点.、3分别对应椭Ml C，上的定点O和动点f、B设直线的方程为nix + ny = 1,代入展开式得罕+ * + （冷>x +书*（" +妙）+ p-1 （nix + ny）2 = 0 （构造齐次式），当 “0 时，两边同时除以"整理得F 卅(wjo+1)2(2fmiQ + 2xo” 亠 2nmyQ + 2yQm °工十仏o+l)2 亠® 一2、 Z + 7加1八户JX“b2JX

3、Qb2 /为点/、歹的坐标满足这个方程，所以korko3.；关于上的方程的两根。'x（1）若 5+kpB =入 , 由 平 移 性 质 知k0- + k0B- = A, 所 以2nmxQ + 2xQn 2加叭 +kox + k0B =匚丁一:冬=A >整理可得到加和“的关系.从而可知直线过定点，曲¥移性质町得直纟戈AB过定点2-=2 整理可(7/n0-H)2 f m'yl(2) 1? kpq kpB = A » 由半移性丿页知 k°B=久，所以 厂 0Bf = ;rs心6 t (啊+1)”2 n第233贞共312页学习数学领悟数学秒杀数学1-

4、2第235贞共312页学习数学领悟数学秒杀数学得到加和“的关系，从而可知直线过定点，由平移性质可得直线过定点.2【例1】（2018 新课标I）设椭恻C：y + r = 1的右焦点为F,过F的苴线/与C交于2, 两点，点M的坐标为（2,0）.（1）当/与X轴垂直时，求直线的方程；（2）设O为坐标原点，证明：AOMA = LOMB .【答案】（1）略.（2）将椭圖按照花方向平移得椭圆C,则M->O,->，BfB', FtF,椭圆C:（x+2）+尸=,2设直线 I pg : nix + ny = 1,直线过（1,0）,即 m = -1,榊圆（？： x2 + 4x+ 2y2 +2

5、= 0,即：x2 +4x（mx + ny）+ 2y2 + 2（mx + wy）2 = 0 （齐次化），两边同除以x，,整理得,（2 + 2»2）+（4 + 4mn） + 2nr + 4m + 1 = 0+kg= kor + kOB.= - 力 + 细丫 =0,所以 AOAL1 = OAfB2 + 2rr又因为= kar 9斤册=k（）B2 2【例2 （2019-全国模拟）已知O为坐标原点，椭M + r = l（«>>0）的离心率为 rr Zr椭圆上两点M、和非馳顶点）满足，H审+审V（1）求椭恻的标准方程.（2）不半行于歹轴的直线与椭恻交f P. 0两点，F为椭

6、恻的右焦点，当1叫=0时，直线P0是否过定点？若过，求出此定点，若不过，请说明理由.【答案】（1）才+八I.（2）将椭圆按局平移得椭圆（？，则FtO, PtF, 0T0,椭圆C；l） +尸=,设/po：Mv + y = l, x2 + y2 + x（mx + ny）- y（?/x + ny）1 = 0 ,两边同除以 x，,整理得，A*> 厂+2/X y*y1（n mn） +x=0,即卜1H _2n - JIU1一*> tr0,1 m2椭圆，壬+宀T=0又因为 kpjr = k°p 9 kqF = ky所以w = l,即直线0过定点（1,0）,所以直线P0过定点（2,0）.

7、1-2第#贞共312页学习数学领悟数学秒杀数学【例31（2018-新课标I）设抛物线C： y1 一 J1 - + ( 一 7W)= 0 x2x4 = 2x 点J（2,O）, 5（-2,0）,过点A的直线I与C交于M, N 两点.（1）当I与x轴垂直时，求直线BM的方程.（2）证明：ZABM = AABN 【答案】（1）略.（2）将抛物线按丽方向平移得抛物线C,則dT.f, BtO , Af -> M9 9 NtM,抛物线的方程为y2 = 2（x - 2）,设直线Qw的方程为nix + ny = 1,因为4皆过定点（4,0）,即m = .抛物线: y2 =2x-4 , *4即 y2 = 2

8、x（加x + ny）- 4（mx + ny）2 ,两边同时除以 x?,整理得（1 + 4'）厶"+（3nni - 2n）+ 2nr = 0 .所以 FlkSy + Arjv = k。* + k。" = 一 = 0 ,即厶 1BN 1 + 4W2 2【例4】（2018-宁德期末）已知抛物线E:y2 =2p.v（p>0）与椭圆E：d + = l（d>b>0）有相同的焦点F , er Zr且两曲线相交于点弓，半），过F作斜率为*伙工0）的动直线/,交椭圜Cf-M, N两点.（I ）求抛物线E和椭圆C的方程；（II）若/为椭恻C的左顶点，直线4"

9、, .3的斜率分别为為，乩，求证：D 为定值，并求出该定 'kl k2值.【答案】（I）寺召"宀牡（II ）将椭圓按AOJ方向平移.« A - O.M -> MF -> FN -> N ,平移后楠圆方程为设方程为加x + ”y = l,将直线代入椭圆方程,得二 + + x(mx + ny) = 0 ,两边43笫236贞共312页学习数学领悟数学秒杀数学笫236贞共312页学习数学领悟数学秒杀数学同除以 x-整理得kl+k2= kOM+kON = Y=3/3笫236贞共312页学习数学领悟数学秒杀数学笫236贞共312页学习数学领悟数学秒杀数学2*2

10、= k0M - k0N =. 1 mx + wy = l 过点 F (3,0) ,/. m = 即： k 如+二)VI b 叭 l_3m4【例5 （2019济南二模）已知0为Mx2+/=1± 一动点.0任x轴，y轴上的射影分别为点小B、动点P满足亦=五，记动点P的轨迹为曲线C<1）求曲线C的方程；（2）过点po,-|的直线与曲线C交于M, N两点，判断以泗为直径的圆是否过定点？若是，求岀定点的坐标，若不是，说明理由3y =5+ y* = 1 464得x = ±|,则此时圆的方程为x? +N + |j 詈，两圆的公共点为B（O,1）,下证以MN为直径的圆过B（O,1）.

11、25将椭圆按方O方向平移，此时M tAT, NtM,彳0,-0,-j , kBM = k0M>,灯斗二斤。、”新椭（2）当直线I斜率不存在时，以MN为直径的圆方程为x2+.v2=l;当直线I斜率为0时，由22圓方程为+ (y+ 1)2 =1 即+ y2 +2y = Q ,设直线ATM的方程为nix + ny = l f所以4 4宁+宀2畑+讣0,即伽+吟+2叱+卜0,由过点片0胡，则"舟;所以丄kpMkBN = 7 ,即丄BN ,所以以删为直径的圆过点3（1,0）2n + 1笫236贞共312页学习数学领悟数学秒杀数学达标训练1.（2017-全国文）设V, B为曲线C:y =

12、上两点，d与万的横坐标之和为44（1）求直线仍的斜率（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线平行.且丄BM ,求直线肿的方程.2. （2013上海）已知椭圆C的两个焦点分别为斥（-1,0）、耳（1,0）,短轴的两个端点分别为3】，B.（1）若H F/ 为等边三角形，求椭圆C的方程;（2）若橢圆C的短轴K为2,过点血的直线/与橢圆C相交于P, 0两点.且丽丄至.求直线/的方程3-曲曲如图，椭眦手碓“心。）经过点P（中离心率嗨,直线，的方程为“4（1）求椭侧C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P）,设直线与直线/相交于点M,记RI, PB,的斜率分别为，k“%.问：足否存在帘数久，使得k+k2=Ak3?若存在，求几的值；若不存在,说明理由.4. （2015新课标I）在直角坐标系x6中，曲线C:y = 与直线1 :y = kx + a（a >0）交于M, N两点. 4（I）当k = 0时，分別求C任点M和N处的切线方程.（II）y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有OPM = AOPN ?（说明理由）5. （2018眉山期末）己知抛物线的顶点为原点，关于丁轴对称，仕过点N（-1,片）（1）求抛物线的方程；（2）己知C（0, - 2）,若直线y = kx+2与抛物线交于d,方