单利与复利的计算不同之处教学内容

1、精品文档单利与复利的计算一、利息与利率 利息利息是指占用资金所付出的代价或放弃资金使用权所得到的补 偿。如果将一笔资金存入银行，这笔资金就称为本金。经过一段时间 之后，储户可在本金之外再得到一笔利息，这一过程可表示为：FnPIn式中 Fn 本利和；P 本金；In 利息。下标 n 表示计算利息的周期数。 计息周期是指计算利息的时间单位， 如“年”、“季度”、“月”或“周”等，但通常采用的时间单位是 年。 利率 利率是在单位时间 （一个计息周期 ）内所得的利息额与借贷金额 （ 即本 金 ）之比，一般以百分数表示。用 i 表示利率，其表达式为：i=I 1/P*100%式中 I1 一个计息周期的利息。

2、 上式表明，利率是单位本金经过一个计息周期后的增值额。 利率又分为基础利率、同业拆放利率、存款利率、贷款利率等类型。 基础利率是投资者所要求的最低利率， 一般使用无风险的国债收益率 作为基础利率的代表。 同业拆放利率指银行同业之间的短期资金借贷 利率。同业拆放有两个利率，拆进利率表示银行愿意借款的利率；拆 出利率表示银行愿意贷款的利率。 同业拆放中大量使用的利率是伦敦 同业拆放利率 (LIBOR) ，指在伦敦的第一流银行借款给伦敦的另一家 第一流银行资金的利率。我国对外筹资成本即是 在 LIBOR 利率的 基础上加一定百分点，从 LIBOR 变化出来的，还有新加坡同业拆放 利率 (SIBOR)

3、 、纽约同业拆放利率 (NIBOR) 、香港同业拆放利率 (HIBOR) 等等。二、单利计息与复利计息 利息的计算有单利计息和复利计息两种。 单利计息 单利计息是仅按本金计算利息， 利息不再生息， 其利息总额与借贷时 间成正比。单利计息时的利息计算公式为：InP·n·in 个计息周期后的本利和为：FnP(1i·n) 我国个人储蓄存款和国库券的利息就是以单利计算的，计息周期为 “年”。 复利计息复利计息， 是指对于某一计息周期来说， 如果按本金加上先前计息周 期所累计的利息进行计息， 即“利息再生利息”。 按复利方式计算利 息时，利息的计算公式为：nInP(1 i)

4、 1n 个计息周期后的本利和为：nFnP(1i)三、名义利率与实际利率 名义利率与实际利率的概念在以上讨论中，我们都是以年为计息周期的，但在实际经济活动 中，计息周期有年、季度、月、周、日等，也就是说，计息周期可以 短于一年。这样就出现了不同计息周期的利率换算问题。也就是说， 当利率标明的时间单位与计息周期不一致时， 就出现了名义利率和实 际利率的区别。名义利率，指一年内多次复利时给出的年利率，它等于每期利率 与年内复利次数的乘积。实际利率，指一年内多次复利时，每年末终 值比年初的增长率。例如某笔住房抵押贷款按月还本付息， 其月利率为 0.5% ，通常称 为“年利率 6% ，每月计息一次”。这

5、里的年利率 6% 称为“名义利 率”。当按单利计算利息时，名义利率和实际利率是一致的； 但当 按复利计息时，上述“年利率 6% ，每月计息一次”的实际利率则不 等于名义利率 （6%） 。例如，年利率为 12% ，存款额为 1000 元，期限为一年，分别以一年1 次复利计息、一年 4 次按季利率计息、一年 12 次按月利率计息， 则一年后的本利和分别为：一年1 次计息F1000 ×（112%）1120（ 元）4一年4 次计息F1000 ×（1 3%） 1125.51（ 元）12一年12 次计息F1000 ×（11%） 1126.83（ 元）这里的 12% ，对于一年

6、一次计息情况既是实际利率又是名义利率； 3% 和1% 称为周期利率。由上述计算可知：名义利率周期利率 ×每年 的计息周期数。对于一年计息 4 次和12 次来说， 12% 就是名义利率，而一年计息 4 4次时的实际利率 （13%） 112.55% ；一年计息 12 次时的实际12利率 （11%） 112.68% 。 名义利率与实际利率的关系式设名义利率为 r ，若年初借款为 P，在一年中计算利息 m次，则每 一计息周期的利率为 r/m ，一年后的本利和为： FP（1 r/m） 其 中 m利息为IFPP（1r/m） P。故实际利率 i与名义利率 r的关系 式为： i=（1+r/m） n1

7、通过上述分析和计算，可以得出名义利率与实际利率存在着下述 关系： 实际利率比名义利率更能反映资金的时间价值； 名义利率越大，计息周期越短，实际利率与名义利率的差异就越大； 当每年计息周期数 m 1 时，名义利率与实际利率相等； 当每年计息周期数 m> 1 时，实际利率大于名义利率； 当每年计息周期数 m 时，名义利率 r 与实际利率 i 的关系为： ri e 1、复利计算 常用符号 在复利计算和考虑资金时间因素的计算中，常用的符号包括P、F 、A、G、s、n 和 i 等，各符号的具体含义是：P现值；F终值（未来值 ）；A连续出现在各计息周期期末的等额支付金额，简称年值；G每一时间间隔收入

8、或支出的等差变化值；s每一时间间隔收入或支出的等比变化值；n计息周期数；i每个计息周期的利率。在复利计算和考虑资金时间因素的计算中，通常都要使用 i 和n ，以 及 P、 F 和 A 中的两项。比较不同投资方案的经济效果时， 常常换 算成 P 值或A 值，也可换算成 F 值来进行比较。 公式与系数 一次支付的现值系数和终值系数一次支付的现金流量图如图 5-3 所示。如果在时间点 t 0 时的资金 现值为P，并且利率i 已定，则复利计息的n 个计息周期后的终值 F 的 计算公式为：nFP（1i） 上式中的红色部分称为“一次支付终值系数”。 当已知终值 F 和利率 i 时，很容易得到复利计息条件下

9、现值 P 的计算 公式： P=F1/（1+i） n 上式中的红色部分称为“一次支付现值系数” 。 等额序列支付的现值系数和资金回收系数精品文档精品文档等额序列支付是指在现金流量图上的每一个计息周期期末都有一个 等额支付金额 A，现金流量图如图 5-4 所示。此时，其现值可以这 样确定：把每一个 A 看作是一次支付中的 F ，用一次支付复利计算 公式求其现值，然后相加，即可得到所求的现值。计算公式是： P=A(1+i) n1/i(1+i) n =A/i1 1/(1+i) n 式中的红色部分称为“等额序列支付现值系数”。 由上式可以得到当现值 P 和利率 i 为已知时，求复利计息的等额序 列支付年

10、值 A 的计算公式：A=Pi(1+i) n/(1+i) n1 =Pi/1 (1+i) -n式中的红色部分称为“等额序列支付资金回收系数”。 等额序列支付的终值系数和储存基金系数 所谓等额序列支付的终值系数和储存基金系数就是在已知 F 的情况 下求 A，或在已知 A 的情况下求 F ，现金流量图如图 5-5 所示。因 为前面已经有了 P 和 A 之间的关系，我们也已经知道了 P 和 F 之 间的关系，所以很容易就可以推导出 F 和 A 之间的关系。计算公式 为： A=Fi/(1+i) n1 上式中的红色部分称为“等额序列支付储存基金系数”。 通过上式，我们可以很容易地推导出：F=A(1+i) n

11、 1/i 上式中的红色部分称为“等额序列支付终值系数”。 等差序列的现值系数和年费用系数 等差序列是一种等额增加或减少的现金流量序列。换句话说， 这种 精品文档精品文档现金流量序列的收入或支出每年以相同的数量发生变化。 例如物业的 维修费用往往随着房屋及其附属设备的陈旧程度而逐年增加， 物业的 租金收入通常随着房地产市场的发展逐年增加等。 逐年增加的收入或 费用，虽然不能严格地按线性规律变化，但可根据多年资料，整理成 等差序列以简化计算。 At A1(n1)G 如果以 G 表示收入或支出的年等差变化值，第一年的现金收入或支 出的流量 A1 已知，则第 n 年年末现金收入或支出的流量为 A1 (

12、n 1)G ，现金流量图如图 5-6 所示。计算等差序列现值系数的公式 为：P=A1(1+i) n1/i(1+i) n+G/i(1+i) n 1/i(1+i) nn/(1+i) n 上式中的红色部分称为“等差序列现值系数”。 若要将等差现金流量序列换算成等额年值 A ，则公式为：A=A1+G1/i n/(1+i) n1 上式中的红色部分称为“等差序列年费用系数”。 等比序列的现值系数和年费用系数 等比序列是一种等比例增加或减少的现金流量序列。换句话说， 这 种现金流量序列的收入或支出每年以一个固定的比例发生变化。 例如 建筑物的建造成本每年以 10% 的比例逐年增加、房地产的价格或租 金水平每

13、年以 5%的速度逐年增加等。AtA1 (1 s)t-1 如果以等比系数 s 表示收入或支出每年变化的百分率， 第一年的现金 收入或支出的流量 A1 已知，则第 n 年年末现金收入或支出的流量为n-1A1(1 s)n-1 ，现金流量图如图 5-7 所示。计算等比序列现值系数的 公式为 :P=A 1/(i s)1 (1+s)/1+i n i 不等于 s P=nA/(1+i) i 等于 s 上式中的红色部分称为“等比序列现值系数”。 若要将等比现金流量序列换算成等额年值 A ，则公式为： A=A1i/(i s)1 (1+s) n 1/(1+i) n1 上式中的红色部分称为“等比序列年费用系数”。 复利系数的标准表示法 为了减少书写上述复利系数时的麻烦， 可采