华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C

1、第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题一、填空题（每小题10 份，共 80 分）1. 计算：1.2- 2.952 0.3+120.25 2+2.3-1451原式 0.25 0.60.75 0.9123312. 在右边的算式中，每个汉字代表0 至 9 这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字，则“ 数学竞赛”所代表的四位数是 _【答案】1962【考点】组合：数字谜【解析】遇到减法数字谜通常变成加法会更利于分析：竞赛数学竞赛2024赛 赛 个位为4，所以赛为2 或 7，若赛为7 则会进位，和的十位只能是奇数，所以赛 2；竞 竞 个位为2 ， 若 竞 2 ，原式为12 201

2、22014 ，有重复数字；所以竞 6 ，数学竞赛1962 3. 如下图，在直角三角形ABC中，点F 在 AB 上且 AF 2 FB ，四边形EBCD 是平行FD : EF为 _2:1 AC BE由沙漏模型可知FD : EF AF : FB 2:14. 下图是由若干块长12 厘米、宽4 厘米、高2 厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2 厘米， 向下爬行的速度为每秒3 厘米， 水平爬行的速度为每秒4 厘米，则蚂蚁至少爬行了多少秒？40 秒要想时间最少，则需要按如图中的粗线爬行；蚂蚁向上、向下爬行的最短路程

3、是 12262 36 厘米， 水 平 爬 行 的 路 程 是 12 3 2 2 40 厘 米 ， 所 以 至 少 用 时362363 40440秒5. 设 a ， b，c， d ， e 均是自然数，并且 a b c d e ， a b c 4d 5e 300 ，则 a b 的最大值为 _35a 和 b 是五个数中最小的两个，要想a b 最大，则希望这五个数尽量接近，先估算再局部 调 整 ；300 1 2 3 4 520， 则 先 让 c 20 而18 2 19 3 20 4 21 5 22 310， 大 于 300， 调 整 得 ：17 2 18 3 19 4 20 5 21 295 ，离 3

4、00 差5，则最后让5e 5 22 即可所以a b 的最大值17 18 35 也可通过计算证明a b 最大只能取到35：300 a 2b3c4d 5ea 2b 3(b 1) 4(b2)5(b 3)a 14b26a 6(a1) 7b b 26 7(ab)b 3215(a b) 32211可得 a b 35156. 现有甲、乙、丙三个容量相同的水池一台A 型水泵单独向甲水池注水，一台B 型水泵单独向乙水池注水，一台A 型和一台B 型水泵一期向丙水池注水已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4 个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5 个小时，则注满丙水池的三分之二需要个小时 _设注满丙池用x 小时

5、，则注满乙池用时x 4 小时，注满甲池用时x 9 小时；利用丙池工效应该等于甲乙两池工效之和可得：111x4 x9 xx9x4 1x4x9 x2x 131x2 13x 36 x222x2 13x x2 13x 36x2 36x6所以注满丙池的三分之二需要6 2 4小时3注 :通常工程问题都设工效为未知数，但此题如果设工效，则方程非常难解，需要用到初中知识因式分解中的十字交叉法，对于小学生来说是无法做的而本题解法比较巧妙，设丙池的时间，最终只需要解x2 36即可，所以有时候还是需要有突破性的思维，学会打破常规，寻求出路7. 用八块棱长为1cm 的小正方体堆成一个立体图形，其俯视图如下图所示，则共

6、有种不同的堆法 _（经过旋转能重合的算一种堆法）10法一： （先每列放几块讨论）4 块的方法即可可以直接分类枚举，也可以先再每个位置放一块，这样只需要分析剩下404 4 0 0 0 ， 1 种； 0 031000 ， 3 种，213000230010， 2 种，0，3种，1210，1012，12101，5 种堆法；第二层有三块，有3 种堆法；第二层共：法二：底层已用了四块小方体，考虑第二层分别有一、二、三、四块的情况见下图，第二层有一块，只有1 种堆法；第二层有两块，有有四块，只有1 种堆法总计有 10 种堆法连接 CF 交 DE 于 P8. 如图， 在三角形ABC 中， AF 2 BF ，

7、CE 3 AE ， CD 4 BD ，点，则EPDP15158连接 DF 和 EF AF2BF，所441SBCFS ABC5BCF 53 ABCS DCF为S BCF1SS ABC 3又 因 为 CD 4BD ，S EFC1S ABC ；所以 2注： 填空题所以直接使用了风筝模型的结论，如果是解答题同学们最好自己证明一次145SABCEPDPS EFCS DCF1S2S ABC4SS ABC1515810 分，共 40 分，要求写出简要过程）9. 有三个农村在一条公路边，分别在下图所示的A ， B 和 C 处 A 处农场年产小麦50吨， B 处农场年产小麦10 吨， C 处农场年产小麦60 吨

8、要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦，假设运费从A 到 C 方向是每吨每千米1.5 元，从 C 到 A 方向每吨每千米1 元问仓库应该建在何处才能使运费最低？A处讨论变化趋势，比较A、 B两点设仓库可知A B运费越来越高，而BA则运费越来越低，B C 则运费越来越高同理可知C B 运费越来越低，而具体比较三点：若建在A 处，运费为：60 (5001200 )若建在B 处，运费为：6012001 50若建在C 处，运费为：50 (5001200 )1 10 500 1107000 元500 1.5 109500 元1.510 12001.514550 元所以建在A 处运费最低122012 20

9、1310. 把 1, 2 ,., 2012 , 2013 中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014 20142014 20142014 为分母的所有分数的和是多少？468全部分数都化成最简分数分母还是2014 ，则说明原分子和2014 互质，接下来计算12013中，与 2014 互质的数有有多少个即可，这一步有两种方法：法一： （容斥原理）2014 2 19 53 ，201321006 ，2013 =105 ，19201337 ，201352 ，20132 5318201319 531 ； 所 以 12013 中 ， 与 2014 互 质 的 数 有2013 1006 105 37 5

10、2 18 1936个；法二： （利用欧拉公式直接计算）， 与 2014 互 质 的 数 有因 为 20142 19 53 ， 所 以 12013936 个；111201411121953a2014 a而这 936 个数中，只要有一个a 是最简分数，一定也有一个2014 a 也是最简分数，20142014两 个 一 组 和 为 1 （ 如 ：12013 1 ；32011 1 ） ， 所 以 他 们 的 和 为2014 20142014 2014936 2 468 11. 上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见下图的（ a） ， （b） ， 和 （ c） 现有 5 块一颗星，2 块两颗星和1 块

11、三颗星的积木，如果用若干个这些积木在地面上组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（下图 （ d） 是其中一种摆放方式）13先拆分5，再算每种情况有多少种摆法即可两块：5 3 2 , 2种5 3 1 1, 3种三块：2 2 1, 3种四块： 5 2 1 1 1, 4种五块： 5 1 1 1 1 1, 1种共： 2 3 3 4 113种 求此自然数12. 某自然数减去39 是一个完全平方数，减去 144 也是一个完全平方数，【答案】160， 208， 400， 2848【考点】数论：因数倍数、分类讨论【解析】设这个数为a ，则 a 39 m2， a 144 n222m n m n

12、m n a 39 a 144105105 1 105 3 35 5 21 7 151) m 1 105 2 53, a 53 53 39 2848；2) m335219,a191939400；3) m521213,a131339208；4) m715211,a111139160；所以 a 可能为160， 208， 400 和 2848 三、解答下列各题（每小题15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13. 如图，圆周上均匀地标出十个点，将110 这十个自然数分别放到这十个点上，用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把 110 分成两组，每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式，对于每种分组都有一个两组数和的乘积记五个积中最小的值为K ，问所有的摆放中，K 最大为多少？756差小积大可知，当这两组的和分别为2 3 L 10 55 ，共 55 要分成两组，则两组的和一定为27、28 时，乘积为2755，由最值原理：和一定，28756，需要构造出一种摆法能实现五个分组方式中，两个组的和都为 以实现，构造方法不唯一，如图所示为两种不同的情况756 最大而K 要取到27、 28经尝试，可211941025938463107675814. 将每个最简分数n （其中 m n , 为互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规m则如下： （ 1）将 1 染成红色；（