平面向量(学生版本)

1、平面向量一、知识梳理1向量的概念与线性运算特别提醒：1)模：向量的长度叫向量的模，记作| a| 或 | AB |.2)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定 .3)单位向量：长度为 1 个长度单位的向量叫做单位向量.4)共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线 .5)相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.6) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。7)向量共线定理： b a（ a0） b= a注： 只有当 a0 时， ba 才是 b=a 的充要条件；而当a=0 时， b a 是 b= a 的必要不充分条件 .8)向量与有向线段的区

2、别： 向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，就是相同的向量； 有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段2平面向量基本定理： 如果 e1， e2是同一平面内的两个 _ 向量，那么对于这一平面内的向量 a ，_一对实数 1， 2 使 a = 1 e1 + 2 e2特别提醒：(1)我们把不共线向量 e1、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（基底不惟一，关键是不共线）；(2)由定理可将任一向量a 在给出基底 e1 、 e2 的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式惟一 1， 2 是被 a ， e1， e2唯一确

3、定的数量3平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底 任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x 、 y ，使得 1 ，我们把 ( x, y)叫做向量 a的（直角）坐标，记作 2 式叫做 向量的坐标表示与 a 相等的向量的坐标也为( x, y)特别地， i (1,0) ， j(0,1) ， 0(0,0)24平面向量数量积（内积）的定义：（ 1 ）已知两个非零向量a 与 b ，它们的夹角是 ，则数量叫 a 与 b 的数量积，记作 a b ；（ 2）已知两个非零向量a( x1 , y1 ) ， b(x2 , y2 ) ，

4、则 ab特别提醒：(1)（ ） . 并规定 0 与任何向量的数量积为0(2)向量数量积的性质：设a0、 b 0(a)ea =a e =|a |cos；(b)a 与 b同向a b= |a |b | ； a 与 b 反向a b =| a | b | ； aa = |a | 2 或 | a |a a(c)cos=a b；| a |b |(d)|a b | | a | b | ；重要不等式：| a |b | a b| a |b |5. 向量垂直的判定：设 a( x1 , y1 ) ， b(x2 ,y2 ) ，则 ab向量平行的判定：设 a( x1 , y1 ) ， b(x2 ,y2 ) ，其中ba ，

5、则 a b ( b0 )-1-/56. 两向量夹角的余弦（ 0）a bx1 x2y1 y2cos =| a | | b |x12y12x2 2y2 2特别提醒：两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。 a · b =0 /a = 0 或 b = 0 a · b = a · c （ a 0） / b = c ( 但 b 、 c 在 a 方向上投影相等 ) ( a · b ) · c 与 a ·(b · c ) 都是无意义的，且( a · b ) c a ( b · c )二、热点考

6、点题型探析考点一： 向量相关的基本概念及加减运算例 1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向(2) 若 ab , 则a b(3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点 , 则终点也相同(6) 若 ab ， b c ，则 a c ；(7)若 a / b ， b / c ，则 a / c(8) 若四边形 ABCD是平行四边形 , 则 AB CD , BC DA(9)ab 的充要条件是 | a | b | 且 a / b ；例 2（1）在 ABC 所在的平面上有一点P ，满足 PA PB PC AB ，则PBC 与ABC 的面积之比是 A（ 2）如图，在ABC中， D、E

7、为边 AB的两个三等分点，aCA =3，CB=2，求 CD ，CE bDEBC例 3已知 A、B、C、P 为平面内四点， 求证： A、B、C 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使 PC =mPA +nPB ，且 m+n=1引申：已知A B CO是 l 外一点，OA(x1) OB ln(2 3x) y OC 0,、 是直线 l 上不同的三点，32记 yf ( x) . 求函数 yf ( x) 的解析式；2考点二： 平面向量基本定理1OB ，例 4在 OAB 中， OC1 OAOD与BC交于点M，设OA = a，OB = b，（ ）用,AD1A42a , b 表示 OM . （ 2）

8、在线段 AC、BD 上分别取点E、F，使 EF 过 M 点，设 OEOA，OFOB。求证： 17 3 71。CM-2-/5ODB例 5如图，已知矩形 ORTM 内有 5 个全等的小正方形，其中顶点A、 B、 C、D 在矩形 ORTM 的四条边上 .（ 1）若 BD xAE yAF ，求 x y 的值；MDT（ 2）若矩形 ORTM 的边长 OR=7， OM=8，试求小正方形的边长；ELAKJFCGHIROB考点三 : 向量平行的充要条件例 6已知点 O(0 ，0)，A(1 ，2)，B(4 ，5)及 OP OA t AB ，求 (1)t为何值时， P 在 x 轴上？ P 在 y 轴上？P 在第二

9、象限。 (2) 四边形 OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。例 7如图，设 P、 Q为 ABC内的两点，且 AP2 AB1AC，AQ 2AB 1AC ，则 ABP的面5534积与 ABQ的面积之比为CQPAB考点四：平面向量数量积的运算例 8 已知 a 2，b3，a与 b的夹角为 120o，求22（4）a b（1）a b； （2）ab ； （3）( 2a b）（a 3b）；引申：（ 2011 湖南）在边长为1 的正三角形ABC 中 , 设 BC2BD,CA3CE, 则 AD BE-3-/5例 9已知 | a |2| b |0 , 且关于 x 的方程 x2|

10、 a | xa b0 有实根 , 则 a 与 b 夹角的范围是提醒：（ 1）设非零向量a = x,2x ， b =3x, 2 ，且 a ， b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ 2）已知 a( ,2 ) ， b(3 ,2) , 如果 a 与 b 的夹角为锐角 , 则的取值范围是例 10 （广东恩城中学 2009 届高三上学期期中考试）在ABC中，已知AB AC 1,AB BC 2(1) 求 AB边的长度； (2) 证明： tan A 2tan B ；（ 3）若 | AC |2,求|BC|考点五 : 平面向量与三角函数、函数等知识的综合应用例 11 O 为平面直角坐标原点，已知向量a ( 1,2) ，又点 A(8,0), B(n,t ),C ( k sin , t)(0)2(1)若 ABa, 且 | AB |5 | OA|，求向量 OB ；(2)若向量AC 与向量 a 共线，当 k4时，且 t sin取最大值为 4 时，求 OA OC变式：（ 2009 江苏）在ABC 中， O 为中线 AM 上的一个动点，若AM =2，则 OA (OB OC) 的最小值为.AOBCM例 12 已知向量