2019年高考文科数学(全国I卷)

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）文科数学一、选择题（本大题共12小题，共60分）1 .设z厘，则Z （）1 2iA. 2B. ,3C. .2D.12.已知集合 U 1,2,3,4,5,6,7, A 2,3,4,5, B 2,3,6,7,则 B Cu A（）A. 1,6B.1,7C.6,7D. 1,6,73 .已知 a log 2 0.2, b20.2 , c 0.20.3,则（）.5 12A. a b c B. a c b c. c a b D. b c a4 .古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是第3页（共6页）阻 0.618称为黄金分割比

2、例），著名的 2“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为226cm ,则其身高可能是（A. 165cmB. 175cmC.185cmD.190cm一 sin x x5.函数f（x） 2在, 的图像大致为（cosx xB.C.6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为 1,2,3,L ,1000 ,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100名学生进行体质测验，若 46号学生被抽到，则下面 4名学生中被抽到的是（A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D.

3、815号学生B. tan255 （）A. 2 、3C. 2 、.3D. 2.3E. 2 ,38.已知非零向量a, b满足|a| 2|b|,且（a b） b,则a与b的夹角为（ ）A.一6B.一3c.2-3D.5-611 ，一一 9.右图是求2+的程序框图，图中空白框中应填入（2+121A. AB. AC. AD. A2A11 2A210 .双曲线c：与 a2 y1(a 0,b 0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为A.B.C.）2sin402cos401D.sin501cos5011 . ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 asinA bsinB 4csin

4、C ,cos AA. 6B. 5C. 4D. 312.已知椭圆C的焦点坐标为 E( 1,0), F2(1,0),过F2的直线与C交于A, B两点，若AF2 2F2B, AB BF1,则 C 的方程为（）2“ x 2A. y 1222B.上上132第9页(共6页)2C. x-4二、填空题(本大题共 4小题，共20分)13.曲线y 3(x2 x)ex在点(0,0)处的切线方程为.3_14.记Sn为等比数列 an的前n项和，若ai 1 , S3 -,则S4.43_15 .函数f(x) sin(2x 万)3cosx的最小值为 .16 .已知 ACB 90, P为平面ABC外一点，PC 2,点P到 AC

5、B两边AC,BC的距离均为73 ,那么P到平面ABC的距离为.三、解答题(本大题共 5小题，共60分)17 .某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2) 能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?22 n(ad bc)(a b)(c d )(a c)(b d)P( 2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818 .记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9a5；(1)若23 4,

6、求an的通项公式；(2)若a1 0 ,求使得Sn an的n的取值范围.19 .如图直四棱柱 ABCD AB1C1D1的底面是菱形，AAi 4, AB 2, BAD 600,E,M,N分别是BC, BB1,AD的中点.(1)证明：MN/平面C1DE(2)求点C到平面CiDE的距离.20.已知函数f(x) 2sin xxcosx x , f (x)是 f (x)的导数.(1)证明：f (x)在区间(0,)存在唯一零点;若x 0,时，f(x)ax ,求a的取值范围.21.已知点A,B关于坐标原点O对称，AB 4, eM过点A,B且与直线x 2相切.(1)若A在直线x y 0上，求eM的半径;(2)是

7、否存在定点 P,使得当A运动时，MA MP为定值？并说明理由四、选做题(2选1)(本大题共2小题，共10分)x22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y1 t21 t (t为参数).以坐标原点 4t1 t2点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标0。为极亍程为2 cos .3 sin 11 0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值23.已知a , b , c为正数，且满足 abc 1,证明:(1)(2) (a b)3 (b c)3(c a)3 24.2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）文科数学答案1 .答案：C解析:因为z3 i1 2i(

8、3 i)(1 2i)1 7i(1 2i)(1 2i)5所以z V）2（ 7）2匹, 552答案：C解析：U 1,2,3,4,5,6,7 , A 2,3,4,5,则 Cu A 1 ,6,7,又 B 2,3,6,7,则B CuA 6,7,故选 C.3答案：B解答：由对数函数的图像可知：a log 2 0.2 0 ；再有指数函数的图像可知：b20.2 1, 0 c 0.20.3 1,于是可得到：a c b.4 .答案：B解析：方法一：设头顶处为点 A ,咽喉处为点B，脖子下端处为点 C，肚脐处为点D ,腿根处为点E ,足底处为F , BD t, 芯1,2ABAD根据题意可知U ，故AB t ；又AD

9、 AB BD （1）t , 必 ，故BDDF1DF t ；所以身高h AD DF （一Lt,将 亘0.618代入可得h 4.24t.2根据腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为 26cm可彳导AB AC , DF EF ;即t 26, -1t 105,将 近0.618代入可得40 t 422所以 169.6 h 178.08,故选 B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度 26cm可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是0.618称为黄金分割比例)可计算出咽喉至肚脐的长度约为人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的

10、长度相加可得头顶至肚脐的长度为42cm ;将68cm,头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是、'5 1可计算出肚脐至足底的长度约为110;将头2顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为178cm ,与答案175cm更为接近，故选B.5 .答案：D解答：f( x)sin x x2cos x xsin x x2cosx xf(x),13.答案：y 3x第7页（共8页）f(x)为奇函数，排除A.224 2又 f (2-) 2一 J 0,排除 c,cos22sinf( )2 ：2 0 ,排除 B,故选 D.cos16 .答案C解答：从1000名学生中抽取 100名，每10人抽一个

11、，46号学生被抽到，则抽取的号数就为10n 6(0 n 99,nN),可得出616号学生被抽到.7 .答案：D解析：因为 tan255 tan(18075 ) tan75化简可得tan 2552 、,3tan(4530 )tan 45 tan301 tan 45 tan 308 .答案：B解答：|a | 2|b |,且(a b) b ,(a b) b 0,有a b |b |2 0,设a与b的夹角为则有 |a|b|cos|b|2 0,即 21b12 cos |b|2 0 , |b |2 (2cos 1) 0, |b| 0,1cos , 一，故a与b的夹角为一，选B. 2339 .答案：A解答：把

12、选项代入模拟运行很容易得出结论A=选项A代入运算可得选项B代入运算可得选项C代入运算可得14 一、2+-,满足条件， 2+12 1 A=2+A 21 ,不符合条件,2+2A 1A -,不符合条件，2、一一 1选项D代入运算可得 A 1+,不符合条件.410 .答案：D解答：根据题意可知b tan130，所以b tan50 sin50 ,aacos50离心率b2, sin2 50cos2 50 sin25011e 1 21222a . cos 50. cos 50cos 50 cos5011 .答案：A解答：又由余弦定理可得到:cos A2bc1-be于是可得到一64c12.答案：B解答：由|A

13、F2 2 F2B , AB BF1 ,设 F2Bx,则AF2 2x, |BFi| 3x,根据椭圆的定义 f2b|BFi IAF2AF1 2a,所以AF1 2x,因此点A即为椭圆的下顶点，因为由正弦定理可得到：a sin A bsin B 4csin Ca2 b2 4c2 ,即 a2 4c2 b2,AF2 2 F2B , c 1所以点B坐标为（g,b）,将坐标代入椭圆方程得 -9T - 1,解得2 24a2 4a23,b22 ,故答案选B.解答:y 3(2x 1)ex 3(x2 x)ex2x3(x 3x 1)e ,，结合导数的几何意义可知曲线在点(0,0)处的切线方程的斜率为k 3 ,.切线方程

14、为y3x.514.答案：8解析：a11, S3a1a23a3 4所以S415.答案:15.解答:f(x) sin(2x323cosx2cos2x 3cosx 2cosx 3cosx 1 ,因为 cosx 1,1,知当 cosx1时f (x)取最小值,设等比数列公比为2a1aq a1q12584则 f (x)16.答案:.2“3、sin(2x ) 3cosx的最小值为 4 .解答：PO的长度即为所求，再做如图，过P点做平面ABC的垂线段，垂足为O,则OE CB,OFPE CB,PF CA ,由线面的垂直判定及性质定理可得出Rt PCF 中，由 PC2,PFJ3 ,可得出CF 1,同理在Rt PC

15、E中可得出结合 ACB 90OECB,OF CA 可得出 OE OF 1 , 0c17.答案: 40 4(1)男顾客的的满意概率为 P 40 450 5女顾客的的满意概率为 P 30 350 5(2) 有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异解答：40 4(1)男顾客的的满意概率为P505303女顾客的的满意概率为P30-.50 5(2)100(40 20 10 30)2(40 10)(30 20)(40 30)(10 20)4.7624.762 3.841有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异18.答案：(1) an2n 10(2) n1 n 10,n N解答：(1

16、)由 S9a5 结合 S9 9(a1 a9)2an a3 (n 3)d 2n 10(2)由 S9a5 可得 “ 4d ,故 an由a1 0知d 0 ,故Sn an等价于n2 所以n的取值范围是 n 1 n 10,n N9a5可彳a a50 ,联立a34得dn(n 9)d (n 5)d , Sn .211n 10 0 ,解得 1 n 10,19.答案:见解析 解答：(1)连结AC3B1D1相交于点G ,再过点M作MH /CE交BG于点H ,再连结GH ,NG.Q E,M,N分别是BC,BBi, A1D的中点.于是可得到NG/CQ, GH/DE,第15页(共8页)于是得到平面NGHM /平面GDE

17、 ,由QMN 平面NGHM ,于是得到 MN/平面CQE(2)QE为BC中点， ABCD为菱形且 BAD 60oDE BC,又QABCD ABC1D1 为直四棱柱，DE CC1DE CiE，又 Q AB 2, AAi 4 ,DE J3,C1E 而,设点C到平面CiDE的距离为h 由Vc C1DE VC1 DCE 得1 1、.317 h 一 i、,3 43 23 2解得h 4 1717所以点C到平面CiDE的距离为 土历1720.答案：略解答：(1)由题意得 f (x) 2cos x cos x x( sin x) 1 cosx xsinx 1令 g(x) cosx xsin x 1, g (x

18、) xcosx当x (0,时，g (x) 0 , g(x)单调递增， 2当x (2,)时，g (x) 0, g(x)单调递减，.g(x)的最大值为 g(-) 1,又 g( )2, g(0) 022 g( ) g(2 0,即 f()f (万)0, f (x)在区间(0,)存在唯一零点.由题设知f ( ) a , f( ) 0,可得a 0.由(1)知，f (x)在(0,)只有一个零点，设为 X。，且当x (0,xO)时，f (x) 0；当x (x0,)时，f (x) 0,所以f(x)在(0,%)单调递增，在(x°,)单调递减.又 f(0) 0, f( ) 0,所以，当 x 0,时，f (x) 0.又当 a 0, x 0,时，ax 0,故 f(x) ax.因此，a的取值范围是(,0.21.答案:(1) 2 或 6;(2)见解析.解答：(1) e M过点A,B,圆心在 AB的中垂线上即直线 y x上，设圆的方程为(x a)可得到：x2 1 (x?1) (y a)2 r2 ,又 AB 4,根据 ao2 MO2 r2 得 4 2a2 r2 ; e M与直线x 2 0相切，|a 2| r,联解方程得a 0,r 2或a 4,r 6.(2)设M的坐标为(x, y),根据条件AO2 MO2 r2 x 2