初中数学中空间与图形学习的难点与解决策略

1、初中数学中空间与图形学习的难点与解决策略典型几何题的处理等腰直角三角形 ABC中，点D、E在AC上，AE=CD,连接B、D,过A点作AM 垂直于 BD ,交BC于N ,连接EN交BD于F,证明/ AEF与/ CDF的大小关这首题是初一的几何题，我认为对于初一的学生来说较有深度及较有代表 性，因为乍一看它好像很容易，学生容易掉以轻心而做错，而事实上，我让班上 的学生做了这道题，不少同学都做错了，有少数同学虽然做对了，但用的方法比 较繁琐。下面我先从学生易错的几种证明方法讲起，从而指出这道题的难点所在 错误证法一（图2）:E证明：过C点 作CPED, CP交EF的延长线于P点，连接BP .ABC是

2、等腰直角三角形四边形ABCP是正方形错误分析：学生想当然地以为/ BAD=/ACP=90° ,且AB=AC,再加上画出来 图的有点像正方形，就以为四边形 ABCP是正方形，而这种凭感觉的证明方法 不可取的。这种错误反映出学生对正方形的定义的掌握还不够。虽然要大胆假设， 但是小心且准确地求证更为重要。错误证法二（见图3）:BS3证明：过F点作垂直线FQXAC,交AC于Q,交BC于P点，连接AP. ABC是等腰直角三角形Z ACB=45 °VPQXACZ QPC=45ZAPQ=45°.APQAPQC错误分析：学生证明了/ QPC=45° ,再加上看到图上自己

3、画出来的 AP好 像垂直于BC,就以为/ APQ也是45° ,但实际上此时并无法证明/ APQ=45° , 因此导致后面的证明全部无效。这种错误反映出学生的数学思维还不够严谨。下面是一学生提供的正确证法（见图 4）,虽然方法比较繁琐，但思路还是正确的。证明：过C点作CN ±AC ,过B点作BNXAB, CG与BG相交于P点，连接AN交BC于O点。.ABC是等腰直角三角形/ BAC是直角又; CNXAC, BNXAB四边形ABPC是正方形（这一步很关键，与刚才分析过的错误证法一相比，正确证明了正方形的存在。）AD / BP丁. /ADB=/DBP = /1v AM

4、IBM丁. / BAD=/AMB=9 0°又: /ABD=/ABMABDsMBM（这一步证明两个三角形相似虽然不难， 但却少有学生能想到以此为解题的突破口）/ ADB = / 1 = / BAM = / 4 v正方形ABNC / 2=45° / 1, / 3=45° / 4: /1 = /4 /2=/3又丁正方形ABNCAO=OB, / AOB = /BOH=90° AANOABHOv正方形ABNCOC=OB, / COH = /BOH=90° ACHOABHOv AANOABHO ACHOAANO /3=/OCHAN=CH（通过证明三个三角形

5、两两全等从而证明三个三角形都是全等，再由此证明两条线段相等，这是最关键的一步）v /EAN=90° +/4, /DCH=180° / ACB / HCO=180° 45° /3又= Z 3=450 -Z 4/DCH=180° 45° （45° / 4） =90° +/4=/EAN（这一步看似简单，但也有点棘手，因为这两个角看似相等却一下子无从下手证 明其相等，而通过计算来证明其相等不失为一个较简便的方法）又= CD=EA, AN=CH AEANADCH/AEN=/CDH/AEN=/ADB正确证法分析：学生先证明 A

6、NOABHO,再证明 CHOBHO,从而证 明CHO04ANO ,思路虽然正确，但方法稍嫌繁琐，其实若仔细思考，细心 观察，可发现比较简便的方法，即不必证明 ANOABHO,只需证明/ 2=/3,再证明 CHOA BHO,即可证明/ 3=/OCH,从而证明 ANOACHOo 这样的话，证明过程比较简洁。具体可见以下笔者提供的参考证明（共 30行）， 与以上学生提出的证明（共 33行）相比，减少了 3行，而这些步骤的减少，虽 然不多，却能在紧张的考试中帮学生争取更多宝贵时间，所以建议学生在做题时要仔细观察与思考，尽量用更简便的方法解题。参考证法（见图4）:过C点作CN XAC ,过B点作BNXA

7、B, CG与BG相交于P点，连接AN交 BC于O点。.ABC是等腰直角三角形/ BAC是直角又 ; CNXAC, BNXAB四边形ABPC是正方形AD / BP/ADB=/DBP = /1v AML BM/ BAD=/AMB=9 0°又: /ABD=/ABMABDsMBM/ ADB = / 1 = / BAM = / 4v正方形ABNC / 2=45° / 1, / 3=45° / 4: /1 = /4 /2=/3v正方形ABNCOC=OB, / COH = /BOH=90° ACHOABHO /2=/3=/OCH又= AO=CO, /AON = /COH AANOACHOAN=CHv /EAN=90° +/4, /DCH=180° / ACB / HCO=180° 45° Z 3又= Z 3=450 -Z 4/DCH=180° 45° (45° / 4) =90° +/4=/EAN又= CD=EA, AN=CH AEANADCH/AEN=/CDH/AEN=/ADB综上所述，这道题主要是考学生对两个三角形相似和全等的概念的掌握，难点