2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件(人.

1、2. 4. 1平面向量数量积的物理背景及其含义Q 预习基础知识/基础预习点拨 归纳核心要点/要点探究归纳） Q 规范答题思维f答题思维规 逐 检测学业达标/知能达标演练） 课时提能演练/滦后巩固作业）预习基础知识/基础预习点拨輛W目标定位、1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.2. 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件.重点难点、1. 本课重点是平面向量的数量积的定义.2. 本课难点是平面向量的数量积的定义及其有关结论的应用.1.向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积.已知条件向量m b是非零向量，它们的夹

2、角为8定义a与b的数量积(或内积)是数量lallblcosO记法a b=|a|IblcosO(2)零向量与任意向量的数量积.规定：零向量与任一向量的数量积为零.2. 向量的数量积的几何意义(1) 投影的概念. 向量b在a的方向上的投影为IblcosO . 向量a在b的方向上的投影为|a|cos6(2) 数量积的几何意义.数量积a b等于a的长度|a |与b在a的方向上的投影|b|cos8 的乘积.3. 向量数量积的性质设向量3与b都是非零向量，它们的夹角为0 ,(1) ab宜a b=0 |a| |b| ,当a, b同向时，(2) 当a/7b时，a-b= ,-丨a| |b|,当a, b反向时.(

3、3) a a=丨沖或 lal= .a b(4) COS0 = I a II bl (5) |a b| W |a| |b|.4. 向量数量积的运算律交换律a b=b a对数乘的结合律(A a) b=A (a b) =a (A b)分配律(a+b) c=a c+b c对于向量,b, c,等式(a b) c=a (b c) 一定成立吗？ 提示：不一定成立若(ab) cHO,其方向与c相同或相反, a (bc)HO时，其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相 同，故该等式不一定成立.1. 已知I a|=4, |b|= 2血且a与b的夹角为135 ,贝!|a b= 【解析】a b=|a| |b|cos

4、l35 = 4x2/2x(-y-) =-8.答案：-82. 已知a b=12,且|a|=3, |b|=5,贝!|b在a方向上的投影为 【解析】设a与b的夹角为0 ,則b在a方向上的投影为I b | cos0 = = 4.|a|3答案：4知识点拨、1. 向量的数量积的书写方法书写向量a与b的数量积a b时，符号“ ”既不能省略，也不 能用“ X ”代替.2. 两个向量的数量积与两个实数的积的区别(1) 在实数中，若aHO,且ab=O,则b=O；但是在数量积中，若aHO,且a b=O,不能推出b=O.因为其中cos8有可能为0已知实数a, b, c (bHO),则ab=bc 沐a=c但是a b=b

5、 c推不出a=c理由如下：如图,a b=|a| |b|cosp=Ib|OA|,b c=|b|c|cosa = |b|0A|, 所以a b=b c但是aHc.3. 正确理解“投影”的概念(1) 投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可 为零.(2) 夹角与投影的联系向量a与b都是非零向量，它们的夹角为B ,向量b在a的方向上的投影Ib|cos0与0取值的关系如表.e的取值0TT(0,|)It2投影的值Ibl-Ibl正值负值零/BA a JVBbaBA0(0)A归纳核心要点/要点探究归纳类型一【技法点拨】向量数量积的概念平面向量数量积的正确理解(1)学习向量数量积定义要借助物理学中力所做

6、的功来加深理解(2)两向量的数量积的结果是数量而非向量，它可正可负还可能为0,这由两向量夹角的余弦值来决定.(3) 两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数 乘实数，实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时 一定要把它们严格区分开来，不可混淆.【典例训练】1. 有下列说法a 0=0；0 (3)0-AB=BA: | a b| = |a| |b|；(a b)2=a2 b2； a与b是两个单位向量，则a2=b2 ； 若a丄(b-c),贝！ b=a c,其中正确说法的个数是() 1(B)2(03(D)42. (2012 荆州高一检测)在等腰ZkABC中，AB=AC=2, ZACB = -,6D

7、是BC的中点，则颐在西方向上的投影是【解析】1选C.错误，a0=0;错误，0a = 0;正 确，0-丽=丽:；错误，若a与b不共线，则不成立实际 上，| a b| = |a| |b| |cos 0 I;#(a b) 2=(|a| |b|cos 6 ) 2-|a|2|b|2|cos 0 |2;正确，a与b 是两个单位向量，则a2=|a| 2=1, b2=|b|2=l, ita2 - b2;正确，若a丄(b-c),则a (b-c) =a b-a c=0,所以a b=a c.综上知，正确.2如图所示，作向量bE=CD,则BAjCD的夹角为ABE = tt- = , 所以BACD方向上的投影为【总结】

8、解答题1容易出现的错误及解答题2的关键. 提示：（1）解答题1容易将两个向量的数量积、实数 乘以实数、数乘向量运算的运算法则混淆，出现误认为 ，正确的情况.解答题2的关键是求准向量BAjCD的夹角.（g）类型二_ 数量积的基本运算【技法点拨】求平面向量的数量积的一般步骤【典例训练】1. （2012 西安高一检测）若, e?是夹角为|且a=2e1+e2, b=-3e1+2e2,贝！ b=.2. （2012 -湖南高考）如图，在平行四边形ABCD中，AP丄BD,垂足为P,且AP=3,则丽疋=.3. 已知AABC是等边三角形，其边长为2,设 阮=a,pT =b, 丽=c, 求a b+b c+c a.

9、【解析】1.由已知得I ej | = |e2|=l,引 e2=leil le2l/.a b=(2C+e2)nilcos= lxlx =.322 (3e1+2e2)=_6e2+e e2+2e2 丽走=?(AP+PB +AP + PD) = 2|ap|2 +AP PB + AP PD=2X9+0+0=18.答案：18= -6xl2 + i + 2xl22 2答案：2原式3.如图,a与b, b与c, a与c夹角均为120。,I a I I c|cosl20=2 x 2 x / lx 3=_6.2【思考】(1)题1中是否可以类比多项式乘多项式的运算律进行向量的数量积运算？(2)题2中计算XR AC时的

10、转化原则是什么？题3中直线BC与AC的夹角与向量c5CA的夹角相同吗？ 提示：可以根据向量数量积的运算律，可以类比多项 式乘多项式的运算律进行向量的数量积运算.但要注意数量 积的定义和a I a |2的应用.(2)用向量线性运算的几何意义转化为已知夹角的两个(或多个) 向量之间的数量积问题.(3)直线BC与AC的夹角与向量 葩与巫 的夹角不相同直线 BC与AC的夹角的补角才是向量 阮与巫的夹角找两个向量 的夹角时，让它们的起点相同，才可以找出它们的夹角.(g)类型三亠与向量的模有关的问题【技法点拨】1 求向量的模的常见思路2. 利用a2=|a|2,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.【典例训

11、练】1设向量a, b满足|a| = |b|=l, a b=-l,贝！|a+2b| = （）2 V2（B） V3（0 V5（D） V72. （2012 -新课标全国高考）己知向量a, b夹角为45 ,且|a|=l, |2ab|=皿贝|b|二.3. 已知向量a, b满足|a|=2, |b|=3, |a+b|=4,求|a-b|,【解析】1选Bl2brj/+仙b + 42 =71-2 + 4 = 73.2. Va, b的夬角为45 , |a|=l,/.a b=|a| x |b|cos45 返|b|,12a-b12-4-4 x 2|b| + |b|2-10,2lbI-372.答案:32【思考】求向量的模

12、的基本思路是什么？提示：求向量的模是向量运算问题中的常见题型，解答这 类问题时，可考虑先求向量的平方，应用向量的运算公 式、法则求出其平方值，然后再利用公式|a|2=a2,将其两 边开平方即可求得该向量的模.类型四、两个向量的夹角和垂直问题【技法点拨】求向量a, b的夹角6的思路(1) 求向量的夹角的关键是计算a-b及|a|, |b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算cose =最后借助8 lallblo,tt ,求出e值.(2) 在个别含有lah |b|与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos8的值.【典例训练】1. 已知 |a| =1, a b = l, (a-b) (a+b)=

13、a+b与a-b的夹角为2 2e ,贝ijcose的值为2. (2012 -石家庄高一检测)已知向量a, b,且|a|=l, |b|=2,(a+2b)丄(3a-b),(1) 求向量n与b夹角的大小；(2) 求 | a-2b | 的值.【解析】1. V (a-b) (a+b)= 1, /.lap- |b|2= 1,2 2 又|a| - 1, |b| - V22+b| = Va2+b24-2aJ=Li 小 i/ioJ1k 2x=,V . 222gbl = Va2+b2-2bV 222c歸=(_b片+ b)Q =|a-b|a + b|V10 V25 -答案：並2 252.解题流程:设向量a与b的央角为

14、0060 ,所以向量a与b的央角为60。由已知得(a+2b ) ( 3a-b ) =3a2+5a b-2b2aas3+10cos 0 -8=0-所以 cosO = -,又0 6 a b=0.【规范训练】(12分)已知非零向量a, b满足a+3b与7a-5b 互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直，求a与b的夹角.【解题设问】(1)根据已知条件可以得到哪些等量关系？(a+3b) (7a-5b) =0及(a-4b) (7a-2b)=0 求向量a与b的夹角关键是求出哪些量？a b, lai和 I b I 【规范答题】由已知条件得(a + 3b) (7a-5b) = O, 3分(a 4b)L(7a 2

15、b) = 0,即 pa2 + I6a7b-15b2 = O,7a2-30ab + 8b2 = 0, 6分-得23b2-46a b=0, / 2a bTA 代入得a2=b2,lahlbl, 6 0, tt, /. 0= i38分10分 12分检测彰学业达标/知能达标演练e1. 有下列说法,其中正确的是()(A) 若aHO,则对任意bHO,有abHO(B) 若a b=0,贝!|a, b中至少有一个为0(C) |a b |表示向量 b的长度(D) b在a方向上的投影可以是正数，可以是负数，还可以为0【解析】选D.A, B都是错误的因为不但零向量与任意向量的 数量积为0,而且互相垂直的两个非零向量数量积为0.C错误， 因为ab是数量，lab|表示其绝对值.D是正确的.2. 已知|a | =a, | b | =b, a与b的夹角是6 ,贝!|