(完整版)苏教版六下数学第二单元圆柱和圆锥教材分析

1、【第二单元圆柱和圆锥】本单元在学生认识了圆，掌握了长方体和正方体的形状特征以及表面积与体积计算方法的基础上编排，是小学数学最后教学的形体知识。与长方体、正方体一样，圆柱和圆锥也是基本的几何形体，在日常生活和生产劳动中经常能够看到这些形状的物体。教学圆柱和圆锥，能够扩大学生认识几何形体的范围，丰富对形体的认识，有利于解决更多的实际问题。教学圆柱和圆锥，也能够丰富学生认识几何形体的活动经验，深入理解体积的意义和常用的体积单位，有利于完善认知结构，发展空间观念。教学圆柱和圆锥，还能够给学生提供探索表面积和体积计算公式的机会，有利于转化能力和推理能力的进一步提高。全单元编排五道例题，具体安排见下表：例

2、1圆柱、圆锥的形状特点例2圆柱的侧面积例3圆柱的表面积例4圆柱的体积例5圆锥的体积从表格里可以看到，全单元的教学内容大致由三部分组成: 认识圆柱和圆锥，了解它们的形状特点；理解圆柱的侧面积与表面积的含义，计算圆柱侧面积和表面积的方法；理解圆柱和圆锥体积的意义，计算圆柱和圆锥体积的公式。由于圆锥的表面展开图是一个扇形和一个圆的组合，相对比较复杂，所以小学数学不教学扇形的面积，即本单元不涉及圆锥的侧面积和表面积。从表格里还能看到，教学圆柱和圆锥的内容编排，与教学长方体和正方体差不多。这就使本单元的教学，可以充分利用以前教学长方体和正方体的方法与经验，提高效率，让学生在各个方面都得到较好的锻炼。（1

3、） 仔细观察、动手操作、充分交流，了解圆柱和圆锥的形状特点，建立相应的形体概念教材编排一道例题，先后教学圆柱和圆锥的形状特点。这样安排出于两个原因：一是学习圆柱和圆锥的起点不同，二是认识圆柱和圆锥的难度不同。学生在第一学段已经直观认识了圆柱，通过滚一滚、堆一堆、摸一摸等活动，对圆柱的形状有了一些粗浅的感受。这是他们继续认识圆柱的起点，而学习圆锥就没有这样的台阶。相对于认识圆柱来说，了解圆锥会稍难些。首先，圆柱有两个圆形底面，圆锥是一个底面、一个顶点，感受圆柱侧面是曲面比较容易，感受圆锥侧面是曲面稍难些。其次，圆柱的高是它两个底面之间的距离，比较容易表示和测量。圆锥的高是它顶点到底面的距离，表示

4、或测量都要难些。可见，把认识圆柱和圆锥的教学适当分开，先圆柱、后圆 锥，是比较好的编排。像这样先“易”后“难”，先“熟”后“生”，有利于教学突 出重点。把圆柱的认识与圆锥的认识编排在一道例题里教学，也体现了它们既是不同 的几何体，也有内在联系。它们的联系，一是“都有圆形底面”，二是“圆锥体积是 等底等高圆柱的三分之一”。教学圆柱，从识别圆柱形物体开始。因为日常生活中有许多圆柱形状的物体，学 生已有识别的能力。通过识别，不仅引出了学习内容，而且能体会学习圆柱的现实意 义。例题的图片里，有些物体是圆柱形的，有些物体是圆锥形的。圆柱形的物体中， 有的横放、有的竖摆；有的很高、有的很矮。这就为教学圆柱

5、提供了丰富的感性材 料。教学圆柱的形状特点，要引导学生观察、操作、交流，教师适时给出必要的讲 解。因为圆柱的形状需要学生充分感知，有关圆柱特点的数学术语和规范表述不是他 们发现创造，而是意义接受的。三个小卡通的交流，代表学生通过观察、操作，获得 的有关圆柱的感性认识，也是圆柱的最主要特点。学生通常对圆柱“上下两个面是完 全相同的两个圆” “有一个曲面”这两点比较关注，对圆柱“上下一样粗”容易疏 忽，教学要注意这一点。在学生交流圆柱特征的过程中，教师可以相机指出圆柱上、 下两个面叫作圆柱的“底面”，围成圆柱的曲面叫作“侧面”；及时呈现圆柱的几何 图形，在图形上标出底面和侧面。这是帮助学生建立圆柱

6、概念的重要步骤。教师还应 该告诉学生，圆柱两个底面之间的距离叫作高，并在圆柱的几何图形上标出高，直观 表达高的数学含义。同时，也让学生想想测量圆柱高的方法。以往，有些课堂上强调圆柱有“无数”条高。这出于可以在圆柱的侧面上或圆柱 的内部，可以任意选择位置表示出圆柱的高。其实圆柱的“高”是一个数学概念，指 的是圆柱两个底面之间的距离。人们可以在适当的位置上表示圆柱的高，在方便的位 置上测量圆柱的高。教学应该突出的是关于圆柱高的概念，关于圆柱图形上表示高的 方法，以及测量圆柱形物体的高的方法。没有必要在“几条”上纠缠不清，特别不能 造成概念的含糊。教学圆锥，从圆锥形状的物体引入。由于学生首次接触圆锥

7、，教材指着沙堆、屋 顶等图片，告诉他们“这些物体的形状都是圆锥体，简称圆锥”。认识圆锥的学习方 式与认识圆柱相似，也是一边观察、操作、交流，一边接受教师的讲解。要引导学生 把认识圆柱的学习活动经验迁移到认识圆锥上来，在观察圆锥形物体的基础上抽象出 圆锥的几何图形；在交流圆锥特征的过程中认识圆锥的顶点、底面和侧面。圆锥的高 是教学难点。因为圆锥的高是圆锥内部一条线段的长。教材图文结合，指出从圆锥的 顶点到底面的距离是圆锥的高，并在圆锥的几何图形上用虚线画出从顶点到底面圆心 的线段，帮助学生理解圆锥高的含义。教学圆锥的高，除了准确而精练的讲解，还要 给学生体会和内化的机会。可以让他们指着圆锥形实物

8、或圆锥的几何图形，说说什么 是圆锥的高，并且想办法量出圆锥形物体的高。例 1 的“练一练”提供了九个物体的图片，要求找出其中圆柱形状的物体和圆锥形状的物体。教学这道题，不仅要让学生辨别哪些物体是、哪些物体不是，还要引导他们说出理由。尤其对上口小、下底大的杯子，两个底面虽然相同但两底之间粗细不同的鼓等等，指出它们不是圆柱或者不是圆锥的原因，以加强对圆柱和圆锥形状特点的体验。练习二第1、2、3 题配合例1 的教学。练习设计十分重视空间观念的培养，有很强的操作性。尤其是第2 题，要求从前面、右面、上面观察圆柱和圆锥，通过立体图形与平面图形、曲面与平面的相应转化，加强对圆柱和圆锥特征的体验。特别是从正

9、面和侧面观察圆柱或观察圆锥，看到的图形相同；从上面观察圆锥，看到一个圆以及它中心的一个点。能使头脑里的圆柱、圆锥表象更加清晰。第3 题要求利用教科书附页里的图形做一个圆柱和一个圆锥，体会圆柱的侧面是长方形卷成的，圆锥的侧面是扇形卷成的，经历平面变成曲面的过程。同时，做出一个圆锥只要一个圆，做出一个圆柱需要两个同样大小的圆，再次体会了圆柱和圆锥的特征。测量做出的圆柱和圆锥的底面半径与高，可以再次巩固高的概念，也能为接下来教学表面积和体积作些准备。（2） 展开圆柱的侧面与表面，探索侧面积与表面积的计算方法圆柱是两个同样大小的圆和一个曲面围成的立体，它的表面积是侧面积与两个底面积的总和。圆柱的侧面展

10、开是什么形状？侧面积怎样计算？这些都是新知识。为此，教材先安排例2 教学圆柱的侧面积，再在例3 里教学圆柱的表面积。例 2 要求计算圆柱形罐头侧面的商标纸的面积。学生在这个问题情境里会产生把商标纸剪开后看看、算算的想法，这正是教材期望的学习活动。例题的教学分三步安排：第一步由“白菜”卡通指导学生“沿着接缝把商标纸剪开，展开后看看是什么形状”，让他们通过这些操作，发现商标纸展开后是长方形，从而理解圆柱的侧面展开图是一个长方形。教学这一步，要组织学生讨论“为什么沿着接缝剪？”弄明白沿着其他地方剪也能把商标纸展开，但得到的不一定是长方形，计算长方形的面积比计算其他图形的面积方便。还要组织学生讨论“商

11、标纸的接缝相当于圆柱的什么？”弄明白沿着接缝剪相当于沿着圆柱的一条高剪，而这样做才能使侧面展开成一个长方形。第二步研究长方形的长与宽在圆柱上各是什么。因为计算长方形面积需要知道它的长与宽，而在圆柱上只知道底面直径和高，必须沟通长方形的长、宽和圆柱的直径、高之间的联系，为计算侧面积创造条件。教学这一步应该让学生明白研究什么、为什么研究，带着积极的心向去寻找联系。还要让学生面对长方形围成圆柱的侧面、圆柱侧面展开成长方形的现象，理解长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。由此得出圆柱的侧面积等于底面周长乘高。第三步列式计算商标纸的面积，即计算圆柱的侧面积。这一步要求学生独立完成。教师要指导他们

12、分步计算，先算出圆柱的底面周长（侧面展开的长方形的长），再计算圆柱的侧面积。分步列式计算能减少错误，比列综合算式方便。还要支持学生使用计算器，没有必要把大量的时间和精力放在繁琐的乘法笔算上。教材还指出“（商标纸的面积）也可以这样计算：11nx 15=165n”，省略165X3.14的笔算，用165支作为最后的得数。这与中学数学是接轨的，会 受到教师和学生的欢迎。例 4 教学圆柱的表面积，关键在于建立表面积的概念。只要理解“求表面积”就是求什么，算法自然就产生了。而且长方体与正方体表面积的概念和算法，对教学圆柱表面积有支持作用。例题按如下的思路编写，大致分两步教学。第一步要求在方格纸上画出一个圆

13、柱的表面展开图。这个圆柱的几何图形上标出了底面直径2 厘米、高2厘米，要求学生看着圆柱图形和标注的底面直径与高，思考圆柱的侧面沿着高展开，得到的长方形长和宽各是多少厘米，两个底面分别是多大的圆，并在方格纸上画出一个长方形和两个圆，即这个圆柱的表面展开图。画出的图形能直观展示表面积的含义：圆柱侧面积与两个底面积的和，是圆柱的表面积。这既是表面积的概念，也是计算表面积的方法。和长方体、正方体的表面积计算一样，圆柱的表面积计算也不给出公式，让学生在理解表面积意义的基础上推理算法，以避免记忆公式的负担。第二步计算例题呈现的圆柱的表面积。由于计算圆柱侧面积的方法已在例2 教学，计算两个底面圆的面积是旧知

14、识，学生应该能独立计算圆柱的表面积。教师仍然要提醒他们列分步算式解答，通常先算出侧面积，再算出一个底面的面积，然后算侧面积与两个底面积的和。学生如果用 4n表水侧面积，用2支表水两个底面圆的面积，用 6支表水表面积，应该加以肯定。计算圆柱的侧面积或表面积，一般都已知圆柱的高，还要已知底面的直径（或者半径、周长）。接着例3 编排的“练一练”给出的底面条件有直径、有半径、也有周长等各种情况，要帮助学生激活有关圆的知识和经验，并正确应用到计算圆柱的侧面积和表面积上面。练习二第412 题，应用圆柱侧面积和表面积知识解决实际问题。习题编排分三个层次：第4、 5 两题的练习重点是把实际问题抽象成数学问题，

15、求制作队鼓的铝皮面积是计算圆柱的侧面积，求制作队鼓的羊皮面积是计算两个底面积的和，求做一个油桶需要的铁皮是计算圆柱的表面积。第6 题有整理知识和思路的作用。通过填表帮助学生进一步区分圆柱的侧面积、底面积、表面积三个不同的概念和不同的算法；整理侧面积、底面积与表面积之间的联系，使计算圆柱表面积的思路更加清楚。第 612题要求灵活应用圆柱侧面积与表面积的知识解决问题，有时只需要计算侧面积，有时要计算侧面积与一个底面积的和，有时是计算表面积。正确解答这些问题，需要仔细读题，准确理解题意，还要有相应的生活常识和经验。如通风管是没有底面的圆柱形筒，计算通风管所用的材料，是求圆柱侧面积的问题。无盖的水桶可

16、以看成只有一个底面的圆柱形，计算制作这样的水桶要用多少材料，是求圆柱侧面积和一个底面积的和。通过猜想验证，探索圆柱和圆锥的体积计算公式学生已经掌握了长方体和正方体的体积公式，而且知道它们的体积都可以用“底面积X高”来计算。事实上，不仅是长方体与正方体，求各种直柱体的体积都可以用“底面积X高”来计算，圆柱的体积也是这样。例 4 教学圆柱的体积。教材先呈现了长方体、正方体和圆柱这三个立体图形，涂色突出它们的底面，指出这三个几何体的底面积相等，高也相等。要求先猜想圆柱体积与等底（面积）等高的长方体、正方体体积是不是相等，再通过把圆柱“等积变形”证实猜想，推导出圆柱的体积计算公式。猜想与验证是人们解决

17、问题经常采用的策略。教材鼓励学生猜想并验证，调动他们的积极性，使圆柱体积的教学不是被动接受，而是有意义的探索。例题通过两个问题帮助学生形成猜想：第（1）个问题是图示的长方体和正方体体积相等吗？为什么？引导学生回忆长方体和正方体的体积都可以用“底面积X高”的方法计算，从长方体与正方体的底面积相等、高也相等，判断它们的体积相等。充分体会长方体或正方体的体积与它们的底面积和高有关，把计算直柱体体积的心向调整到“底面积x高”上面。第（2）个问题是猜想图示的圆柱体积会不会和长方体、正方 体的体积相等。从等底（面积）等高的长方体与正方体体积相等，类比推理等底（面积）等高的圆柱与长方体体积也会相等，猜想圆柱

18、的体积也可以用“底面积x高”来计算。这就为探索圆柱的体积公式找到了方向。猜想必须验证，这是科学精神、严谨态度的表现。类比推理的结论可能正确，也可能错误，要经过验证才能确认或者否认。为了证实圆柱体积可以用“底面积x高”计算，教材设计了三步活动：首先是形成验证思路，把圆柱转化成等底（面积）等高，体积不变的长方体，并展示转化过程。转化思路的形成，借鉴了把圆转化成长方形计算面积的经验。转化的要领是保持圆柱与长方体等底（面积）、等高、等（体）积。学生可以看教材里的插图，明白怎样把圆柱切割与改拼。如果能亲自操作学具，实践圆柱的等（体）积变形，就更好了。然后是渗透极限思想。把圆柱的底面平均分成 16份，切开

19、后拼成的只是一个近似于长方体的物体。如果圆柱的底面平均分的份数越多，切开后拼成的物体越接近长方体。圆柱底面被平均分的份数足够多，就能转化成等底（面积）、等高、等（体）积的长方体。最后是推导圆柱的体积计算公式。由于圆柱与转化成的长方体体积相等，所以求圆柱的体积只要计算长方体的体积；由于长方体体积可以用底面积乘高计算，而长方体的底面积与圆柱底面积相等，长方体的高与圆柱的高相等，“底面积x高”计算的既是长方体的体积，也是圆柱的体积。由此得出圆柱的体积计算公式：圆柱的体积=底面积x高。必须注意的是，在得出圆柱体积计算公式以后，教材安排“回顾圆柱体积公式的探索过程”，要求学生交流体会。“转化”是探索圆柱

20、体积公式的策略，在寻求圆柱体积计算方法的过程中，“转化成长方体”是关键。教学应通过回顾，突出转化策略在这里的应用，联系实际加强策略意识。另外，用“底面积x高”涵盖长方体、正方体和圆柱的体积计算，有利于优化认知结构，这也应是回顾与反思的一个重要内容。得出圆柱的体积公式以后，利用公式计算圆柱的体积就让学生独立进行了。“试一试”和“练一练”分别已知圆柱的底面半径和高、底面直径和高、底面周长和高，求圆柱的体积。与前面计算圆柱的表面积相似，计算体积也可以分步列式，先算出圆柱的底面积，再计算体积。尤其是已知圆柱底面直径或周长时，分步计算体积能够减少错误。练习三配合例4的教学，设计了三个层次的习题。第1、

21、2两题是一个层次，主要帮助学生消化基础知识。计算圆柱体积的基本方法是底面积乘高，如果已知圆柱的底面积，可以直接与高相乘；如果没有已知底面积，应该先算出底面积。第49题是一个层次，主要帮助学生应用体积知识解决实际问题。要注意的是，如果计算圆柱形物体的体积，应该在物体外面测量有关的长度；如果计算圆柱形物体的容积，应该从物体的里面测量需要的数据。其中第7 题，把一张长5 厘米、宽4 厘米的长方形纸分别绕其长或宽旋转，能形成两个不同的圆柱。先估计这两个圆柱的体积，指出哪一个大，再计算它们的体积，验证前面的估计。教学这道题，要让学生体验“长方形绕其长（宽）旋转，能形成长方体”的现象。如有必要，可以动手操

22、作，实践一下。要识别形成的圆柱的底面半径和高，把已知的长方形的长、宽转化成圆柱的有关数据。形成的两个圆柱，一个的底面小一些、高一些，另一个的底面大一些、矮一些。估计哪一个的体积比较大，其实是猜一猜哪个的体积大。猜对和猜错，都要通过计算体积来验证。第1016题是一个层次，主要帮助学生综合应用圆柱表面积和体积的知识。要整理表面积和体积的概念与算法，在求异的时候也要关注求同。求同往往能形成比较上位的认识，求异有助于区分下位的知识。以往的教学比较重视比“异”，疏忽比“同”，这里说说求同。如长方体和圆柱的表面积都是它所有面的面积总和，计算表面积要把各个面的面积相加；长方体和圆柱的体积都是它所占空间的大小

23、，计算体积都可用底面积乘高。再如计算长方体、圆柱的表面积或体积，都需要知道高和有关底面的条件。底面周长乘高得到侧面积，底面积乘高得到体积要辨别所解决的实际问题与物体的表面积有关还是与体积有关，应用相应的知识去解答。要灵活应用体积公式，在求物体的体积时，可以按公式列出算式；在已知物体的体积，求它的高（或底面积）时，可以按公式列出方程。练习三的后面是“动手做”，要求测量土豆的体积。土豆的形状不规则，求它的体积没有现成的计算公式。教材设计了利用圆柱形容器测量土豆体积的方法：先准备材料圆柱形容器 1 个，土豆1 个；讲解测量方法在容器里放适量的水，把土豆浸没在水中，测量并记录相关的数据，算出土豆的体积

24、。并且提供一张表格，提示应该记录容器的底面积、放入土豆前的水面高度、放入土豆后的水面高度以及算出的土豆体积。然后是测量与计算，一边操作一边思考应注意什么。如，容器底面积不能直接量得，只能测量底面的半径、直径或周长。测量半径需要确定圆心，测量周长还要计算直径，一般测量直径，既容易量，也便于算。又如，测量底面直径、水面高度都要在容器里面进行，利用容器里面的数据，算出的才是水的体积、土豆的体积。教学应在适当时候组织学生反思这次测量活动，体会其中的“转化”策略：把形状不规 则的土豆体积，转化成形状规则的圆柱体积，通过计算圆柱体积，得到土豆的体积。例 5 教学圆锥的体积，教学思路也是先猜想再验证。教材首

25、先出示底面积相等，高也相等的圆柱和圆锥各一个，涂色表示它们的底面相等，用两条平行的虚线表示高 相等。要求学生估计这个圆锥的体积会是圆柱的几分之几，引导他们利用圆柱的体积 求圆锥的体积。这里的估计是形成一个猜想，如果等底（面积）等高的圆柱和圆锥的 体积之间存在确定的倍数关系，就可以利用圆柱的体积计算圆锥的体积。学生不一定 估计圆锥的体积是圆柱的三分之一。不过，这并不要紧，后面的实验会得出这个关 系。只要形成圆锥体积与等底（面积）等高圆柱体积有关的心向，就能支持后面的操 作验证。例题把验证活动分成三步进行。第一步选择实验器具：等底等高的圆柱形和圆锥形容器各一个。图示的方法里，把圆锥形容器放到圆柱形

26、容器的上面，容易比出底面 积是否相等。把圆柱形容器和圆锥形容器靠近着放在同一桌面上，容易比出高是否相等。第二步倒沙实验：在圆锥形容器里装满沙子，倒入圆柱形容器。从“3 次正好倒满”这个事实，证实圆柱形容器的容积是等底等高圆锥形容器的 3 倍，也就是圆锥形容器的容积是等底等高圆柱形容器的1/3 。第三步推导圆锥的体积计算公式：如果不考虑容器壁的厚度，圆锥容器里装满的沙子的体积可以看作圆锥的体积，圆柱容器里装满的沙子的体积可以看作圆柱的体积。从实验的结果先得出等底等高圆锥和圆柱的体积关系：圆锥的体积=圆柱的体积x1/3;再把圆柱的体积计算方法代入关系式，得出圆锥体积计算公式：底面积x高x 1/3。

27、教材很重视引导学生体验数学思想和积累数学活动经验，在得出圆锥体积公式以后，要求他们回顾圆锥体积公式的探索过程。要让学生说说自己的体会。整理学生的交流，应该突出两点：一是“转化”策略，圆锥体积可以转化成圆柱体积来计算，新知识可以转化成旧知识来认识。二是实现转化可以通过猜想、验证来落实，猜想圆锥 体积与圆柱体积有关，并验证这种关系确实存在，就实现了圆锥体积到圆柱体积的转 化。“练一练”加强对等底等高圆锥与圆柱的体积关系的把握。第 1 题先是已知圆柱体积求等底等高的圆锥体积，再是已知圆锥体积求等底等高的圆柱体积，让学生充分利用圆锥体积是等底等高圆柱体积的1/3 ，圆柱体积是圆锥的3 倍这两个结论，加

28、强对这种关系的理解和把握。在此基础上完成第2题，学生求圆锥体积就不会忘记“X1/3 ”了。练习四第5 题要求把等底等高的圆柱体积和圆锥体积相互转化，从已知的圆柱体积得出相应的圆锥体积，从已知的圆锥体积得出相应的圆柱体积，继续加强对等底等高圆柱和圆锥体积关系的理解。第6 题根据图示的各个立体图形的底面直径与高，寻找与圆锥体积相等的圆柱，其中的推理稍有难度。可以从圆锥体积是等底等高圆柱体积的 1/3 ，推理出体积相等的圆柱与圆锥，如果底面积相等，圆锥的高是圆柱的3 倍圆柱的高是圆锥的1/3 ；如果高相等，圆锥的底面积是圆柱的3 倍圆柱的底面积是圆锥的1/3 。还要注意到，大圆的直径是小圆的3 倍小

29、圆直径是大圆的1/3 ，大圆的面积则是小圆的 9 倍小圆的面积是大圆的1/9 。过去的教学告诉我们，这一单元的计算比较繁琐，学生经常会算错。对此提出三点建议：一是营造良好的计算环境。每次作业的题量不宜过多，给学生的时间要充分，心理压力小些能减少计算错误。二是较复杂的计算可以使用计算器。通常情况是，三位数乘一位数、三位数乘两位数可以采用笔算，位数更多的乘法应该用计算器算。没有必要让学生进行繁琐的四则运算，消耗时间和精力。三是指导简便运算。在半径的长度数是5、 15、 25，高的长度数是2、 4、 8时，往往可以利用乘法运算律使计算简便些。要善于发现、及时利用可以简便计算的机会。四是鼓励用含有式的式子作