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1、2003年北京市夏季高考数学试题分析(节选)清华同方教育技术研究院 数学所 薛文叙(特级教师)2003高考北京卷第19题有三个新兴城镇, 分别位于A, B, C三点处,且AB= AC=a, BC = 2b.今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的 P点处.(建立坐标系如图)(I)若希望点P到三镇距离的平方和为最小,点位于何处?(n)若希望点P到三镇的最远距离为最小,点P应位于何处?(I)解:由题设可知,a b 0记h = , ab2,设P的坐标为(0, y),贝U P至三镇距离的平方和为f (y)= 2(b2 y2) (h - y)2h 22 22= 3(y)2h2
2、 2b2,33所以,当y =时,函数f (y)取得最小值.3答:点P的坐标是(0, 1a2 -b2).3(n)解法一:P至三镇的最远距离为Jb2 +y2 ,当 Jb2 +y2 纠 h y|, 9() M y|,当 Jb2+y2 |h-y|. h2 _b2由.b2 y2h - y | 解得 y 一2h,记yh2 -b22h ,g(y).2 ,2h b0, 即卩h b时,因为2h.b2 y2在y* /-)上是增函数,而|h - y|在(:,y 上是减函数,由此可知,当y = y时,函数g(y)取得最小值.2 2h -b2h:.0 ,即 h b 时,函数.b2 y2 在y* ,:)上,当y = 0
3、时,取得最小值b,而| h y |在(_二,y*)上为减函数,且| h - y| b .可见,当y=0时,函数g(y)取得最小值a2 2b2答:当h b时,点P的坐标为(0,);2a2 -b2当h : b时,点P的坐标为(0,0),其中h =:fa2 - b2 .解法二:P至三镇的最远距离为g(y)#W当当凸屮胡|h-y| ,当 *;b +y c|h-y|.h2 -b2-2h , h2_b2Hb2 y2h-y|解得八,记y g(y)二y -0,即h_b时,函数z二g(y)的图象如图(a),因此,y=y时,函数g(y)取得最小值.(b),因此,y :0,即h . b时,函数z = g(y)的图象
4、如图y =0时,函数g(y)取得最小值.当图lb)a2_2b2答:当hb时,点P的坐标为(0,);20T当h : b时,点P的坐标为(0,0),其中h = . a2 - b2解法三(略)见问答与导学高三 2003年第三期本题是能力立意、发展性的好题,主要考查函数,不等式等基本知识; 考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力;特别突出对数学核心能力一一逻辑思维能力的考查,同时也考察考生理解现实问题、建立简单模型的能力.题目有深刻的应用背景, 属于运筹学中最优选址问题,在很多领域有广泛应用. 可以说本题更具有数学应用题的意味,体现了大学对中学数学教学的要求,体现数学发展的要求.本题传递这样的信息: 对数学的理解应更拓宽, 数学与社会生活紧密联系只有理解数学,用 数学工具解决实际问题,才会对社会有所贡献. 这样有助于师生从死读书走出来
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