2003年北京市夏季高考数学试题分析(节选)重点

1、2003年北京市夏季高考数学试题分析(节选)清华同方教育技术研究院 数学所 薛文叙(特级教师)2003高考北京卷第19题有三个新兴城镇， 分别位于A, B, C三点处，且AB= AC=a, BC = 2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的 P点处.(建立坐标系如图)(I)若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点位于何处?(n)若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处?(I)解：由题设可知,a b 0记h = , ab2，设P的坐标为(0, y)，贝U P至三镇距离的平方和为f (y)= 2(b2 y2) (h - y)2h 22 22= 3(y)2h2

2、 2b2,33所以，当y =时，函数f (y)取得最小值.3答：点P的坐标是(0, 1a2 -b2).3(n)解法一：P至三镇的最远距离为Jb2 +y2 ,当 Jb2 +y2 纠 h y|, 9() M y|，当 Jb2+y2 |h-y|. h2 _b2由.b2 y2h - y | 解得 y 一2h，记yh2 -b22h ，g(y).2 ,2h b0, 即卩h b时，因为2h.b2 y2在y* /-)上是增函数，而|h - y|在(：，y 上是减函数,由此可知，当y = y时，函数g(y)取得最小值.2 2h -b2h：.0 ,即 h b 时，函数.b2 y2 在y* ,：)上，当y = 0

3、时,取得最小值b，而| h y |在(_二,y*)上为减函数，且| h - y| b .可见，当y=0时，函数g(y)取得最小值a2 2b2答：当h b时，点P的坐标为(0,);2a2 -b2当h ： b时，点P的坐标为(0,0)，其中h =：fa2 - b2 .解法二：P至三镇的最远距离为g(y)#W当当凸屮胡|h-y| ,当 *；b +y c|h-y|.h2 -b2-2h ， h2_b2Hb2 y2h-y|解得八，记y g(y)二y -0，即h_b时，函数z二g(y)的图象如图(a)，因此,y=y时，函数g(y)取得最小值.(b)，因此,y ：0，即h . b时，函数z = g(y)的图象

4、如图y =0时，函数g(y)取得最小值.当图lb)a2_2b2答：当hb时，点P的坐标为（0,）；20T当h : b时，点P的坐标为（0,0），其中h = . a2 - b2解法三（略）见问答与导学高三 2003年第三期本题是能力立意、发展性的好题，主要考查函数，不等式等基本知识； 考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力；特别突出对数学核心能力一一逻辑思维能力的考查，同时也考察考生理解现实问题、建立简单模型的能力.题目有深刻的应用背景， 属于运筹学中最优选址问题，在很多领域有广泛应用. 可以说本题更具有数学应用题的意味，体现了大学对中学数学教学的要求，体现数学发展的要求.本题传递这样的信息： 对数学的理解应更拓宽， 数学与社会生活紧密联系只有理解数学，用 数学工具解决实际问题，才会对社会有所贡献. 这样有助于师生从死读书走出来