抛物线的焦点弦性质及其证明过程

1、有关抛物线焦点弦问题的探讨2过抛物线y 2 px（po）的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于 A （Xi, yj、B（X2, y?）两点结论 1： AB x1 x2 pAB结论2：AF若直线BF(XiL的倾斜角为XiX2 p，则弦长证：（i）若-时，直线L的斜率不存在,若2时，设直线L的方程为：yAB此时（X22 py cot p 0由韦达定理yi y1 cot2结论3：过焦点的弦中通径长最小由弦长公式得AB.2 sin2p.2sin2p.2sinAB为抛物线的通径，yiy2即 x y cotAB2 p结论得证代入抛物线方程得2p ,yi2p(1y2 2p cotcot2 )2p.2sin2p

2、 AB的最小值为2 p，即过焦点的弦长中通径长最短结论4:o23Sabab ；(为定值)S OAB S OBFS 0AF丄 |0F BF sin2OF AF sin2OF2OABABAFP38BF sin-|OF AB sin2丄卫肆sin2 2 sin2p2 sin结论 5:(i)yi y2x= PXiX2=42p，X22 y2 2pXlX2(yi y2)24P2P24结论6:以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线过M点作准线的垂线 MM i，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知AAi，过B点作准线的垂线BBi,结论结论结论MM i7:连接AiF、AAi同理

3、8： (i)(4)(5)AAi BBiAFBFAB故结论得证Bi F 则 AiFAF,AAiFBiFAFAiAAi /OFAAi FAi FOAi FOAi FABi FOBiFBAi FBi90AiFBi FAM i BMi (2)MiF AB(3) MiFAF BF设AMi与AiF相交于H , MiB与FBi相交于Q则Mi, Q, FAMiMiB2 4MiM证：由结论(6)知Mi在以AB为直径的圆上 AMi BMiAiFBi为直角三角形，Mi是斜边Ai Bi的中点H四点共圆9：证:结论io：AiM iAAiFMiFMiFA i FB iAFMiFFAi M iABAF BF90BFM i

4、FAiAAi M i所以AAiM iAi FAA,FAFAi90AFAiAi FM i90AM i BMiAMiB90又 AiFBiFMi，Q，F,H四点共圆,BBi2MMiAMi2MiBAB4MMi(i) A、O、Bi设直线AO设直线BO与抛物线的准线的交点为(2) B， O，(3)(4)因为koAXi所以koA2p2py2FA三点共线与抛物线的准线的交点为Ai三点共线Bi，则BBi平行于Ai，贝U AAi平行于yi22p2pyi2y2PFB koBiy2p2经，而yiy2PkoBi所以三点共线。同理可征(2) (3)(4)E,因为直线L的倾斜角为则ER同理可得EF1BFFR1 cosP结论

5、11:（1）线段EF平分角当时AE证：BB/EF/AAAA1EBB1EAEF +A1EAAF|AE|BF|BE|90=BEF + B1EB = 90当AF cos1FAAFPEQ AF|BFBFFAAFP1 cos1AF1 cosP1FBAEBEKaeK be时AE不垂直于2BF| BiB, FAAiEA相似于 BiEB一时，AF = EF= FB AEB =902BEAAB1EEAA1EA = B1EBB1BAAAEF = BEF即EF平分角 PEQKae + Kbe =01时，设直线L的方程为y kX-2将其代入方程y2px得 k2x2 - p(k22)x.22于 0 设A（X1，y1），

6、B（X2，y2）则X1X2P k22PX1X2=-4假设AEBE则 Kae Kbe =Xiy1p2X2y2卫2即y2X1 &2X2X2X1X2k21 x1x2x1 x2 k22j2 142j222 k212k22 0不可能假设错误结论得证1 1 1结论12:过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，贝y 1AB-|云推广与深化:深化1性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点 E (a,0),则有yiy2 2pa .22证：设 AB 方程为 my=x-a，代入 Y2Px 得：y2PmY 2aP 0 , a YiY22Pa .|FR| 1深化2:性质12中的条件改为焦点弦 AB不垂直于x轴

7、，AB的中垂线交x轴于点R,则|AB 12y tga(x )证明：设AB的倾斜角为a,直线AB的方程为：2 ,2代入y& 2 / 22px 得：tga(X PX2px22p2X x(p 2pctg a) =0即：4由性质1得|AB| XiX2p 2p2pctg2a2p_2 sin a ,Xi X2 p又设AB的中点为M，则冋11二11豎I12|FM | pctg a p| cosa |cos2 asin2 a|FR| 1|AB| 2深化3：过抛物线的焦点F 作 n 条弦 A1B1、A2B2、AnBn，且它们等分周角 2n,则有(1) i 1 |AiF| |FBi|为定值;(2)i 1 | A i Bi |为定值.,A 1Fx a证明：(1)设抛物线方程为1 cos2n 1A 2Fx a一，A3FxaA nFx a由题意nnn ,11 cosa1cos(a)d 21 cos a 2 sin a所以 | A1F| |FB1|pp2p2p , 2 z-)sinn 1 、1sin (a1(a)n同理丨A2F| |Fb2 |2p,|AnF|FBn |2p易知.2 sin asin 2(a-)si n2(a )si n2 (an 1)nn2 ,nnn12 sin asin (a)nsin2n 12 (an)nii |A|F|FBi |2P2P2P2p2|AiB, |pp2p2p(2)1