拉普拉斯变换公式

1、拉普拉斯变换公式附录 A拉普拉斯变换及反变换1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质1线性定理齐次性叠加性2微分定理一般形式L af (t )aF ( s)L f1 (t )f 2 ( t)F1 ( s)F2 ( s)L df (t ) sF ( s)f (0)dtLd 2f (t ) s2F (s)sf (0)f（ ）dt 20L dnf (t )ns n F (s)s n k f (k 1) (0)dt nk1f (k 1) (t)d k 1 f (t)dt k1初始条件为0 时ns n F ( s)L d f ( t)dt n3 积分定理一般形式Lf (t )dtF (s)f (t )dtt

2、0ss2F (s) f (t)dtt 0Lf (t)( dt)s2s2共n个n共 n个nF (s)1Lf (t)(dt)snk 1 sn k 1共 n个2f (t )(dt) t 0f (t)(dt)n t 0初始条件为0 时4 延迟定理（或称 t 域平移定理）5 衰减定理 （或称 s 域平移定理）6 终值定理7 初值定理8 卷积定理Lf ( t)( dt) n F ( s)snL f (tT )1(tT ) e Ts F ( s)L f (t )eat F ( sa)limf ( t)lim sF ( s)ts0limf (t)lim sF (s)t 0stf1(t) f2( )d tLL

3、f1(t) f2 (t )d F1 (s)F2 (s)00拉普拉斯变换公式2表 A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表序拉氏变换 E(s)时间函数 e(t)号Z 变换 E(z)123456789101112131415111 e Ts1s12s13s1sn 11sa1( sa) 2as(sa)ba(sa)(sb)s22ss22(sa)22sa(sa)221s(1 / T ) ln a (t)T (t)(tnT )n 01(t)tt 22t nn!e atte at1 e ate ate btsintcos te at sinte at cos tat / T1zz1zz1Tz(z1) 2T 2

4、 z( z1)2(z1)3lim ( 1)nnzn (aT )a 0n!az ezzaTeTze aT(ze aT )2(1e aT ) zaT( z1)( ze)zzze aTze bTz sinTz22zcosT1z2z( zcosT )2 zcosT1ze aTsinTz22ze aTcosTe 2aTz2ze aTcosTz22ze aTcosTe 2aTzza拉普拉斯变换公式3 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F ( s) 是 s 的有理真分式B( s)bm smbm 1 sm 1b1 s b0（ nm ）F

5、( s)an snan 1sn 1a1 s a0A( s)式中系数 a0 , a1 ,., an 1 , an ， b0 , b1 ,bm 1 ,bm 都是实常数； m, n 是正整数。按代数定理可将 F (s) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。A(s)0 无重根这时， F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。c1c2cinciF (s)cn（ F-1）s s1s s2s sis sn i 1 s si式中， s1 ,s2 , sn 是特征方程 A(s) 0 的根。 ci为待定常数，称为F(s)在 si 处的留数，可按下式计算：cilim (s si)F (s)（ F-2）s s

6、i或ciB(s)（F-3）A ( s) s si式中， A ( s) 为 A(s) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数ncinf (t ) L 1 F ( s)L 1 ci e si t(F-4)i 1 ssii 1A(s)0 有重根设 A(s)0 有 r 重根 s1 ， F(s)可写为F sB(s)(s s1 )r (s sr 1 ) ( s sn )=crcr 1c1cr 1cicn(s s1 )r 1(s s1 ) s sr 1s sis sn(s s1 )r式中， s1 为 F(s)的 r 重根， sr 1 ， ,sn 为 F(s)的 n-r 个单根；拉普拉斯变换公式其中， cr 1 ， ,cn 仍按式 (F-2)或 (F-3) 计算， cr ， cr 1 ， , c1 则按下式计算：crlim ( ss1 ) r F ( s)s s1cr 1limd (s s1 ) r F (s)dsss11d( j )cr jlim( j ) ( s s1 ) r F ( s)(F-5)j! s s1dsc11d ( r1)( ss1 )rF ( s)limds( r1)(r1)! s s1原函数 f (t ) 为f (t)L 1F ( s)L 1crcr 1