初三数学《正多边形和圆》课时练习(附答案)

1、正多边形和圆课时练习(附答案)一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联 合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。二、知识要点1、正多边形(1)、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。如：正六边形，表示六条边都相等，六 个角也相等。(2)、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个 正多边形的外接圆。(3)、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。(4)、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。(5)、正多边形的边心距正多边形的中

2、心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。(6)、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。2、正多边形的对称性(1)、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形 的中心。(2)、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。(3)、正多边形的画法先用兽角器或尺规等分圆，再做正多边形。一、课前预习（5分钟训练）L圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比（）A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化2 .正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为

3、（）A.3 : 2 ： 1B.4 : 3 : 2C.4 ： 2 ： 1D.6 ： 4 : 33 .正五边形共有 条对称轴，正六边形共有条对称轴.4 .中心角是45°的正多边形的边数是.5E知ZiABC的周长为20,AABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=.二、课中强化Q0分钟训练）21 .若正n边形的一个外角是一个内角的j时，此时该正n边形有 条对称轴.V6 亍D.-2 .同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（）V6 A.23 .周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4工之间的大小关系是（）A.S3>S4>S6b.s6>s4>

4、;sC.S6>Ss>S4P.S4>S6>S54 .已知。和。上的一点A（如图2.6-1）.作O。的内接正方形ABCP和内接正六边形AEFCGH;在题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是。内接正十二边形的一边.囱 2.6-1三、当堂巩固（30分钟训练）L正六边形的两条平行边之间的距商为1,则它的边长为（）V3V3273V3A.B.C.O.64332 .已知正多边形的边心距与边长的比为则此正多边形为（）A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形3 .已知正六边形的半径为3cm,则这个正六边形的周长为 cm.4 .正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一

5、个内角等于_r度.5 .如图2.6-2,两相交圆的公共弦AB为26，在中为内接正三角形的一边，在0（%中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.6 .某正多边形的每个内角比其外角大100° ,求这个正多边形的边数.7 .如图2.6-3,在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半,径是小应为多少?8 .如图2.6-4,请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形（小组之间参与交流、评价）.9 .用等分圆周的方法画出下列图案：10 .如图 266(1)、26-6(2)、26-6(3)、一 正方形ABCP、正五边形A

6、BCDE、 连结()M、ON.(1)(2)求图2.6-6中/MQN的度数;(2)图26-6(2)中/VON的度数是一图 2.6-5、2.6-6,M、N分别是。的内接止二角形ABC、 、正n边形ABCDE,一的边AB、BC上的点,且BM=CN,EF;口(3)(/0图 2.6-6,囱2.6-6中/MON的度数是；试探究MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).参考答案一、课前预习（5分钟训练）L圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比（）A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化思路解析：由题意知周的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n边形的边长也扩大一倍,

7、所以相应的圆内接正n边形的边长与半径之比没有变化答案：D2 .正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（）A.3 ： 2 ： 1B.4 ： 3 ： 2C.4 : 2 ： 1D.6 ： 4 : 3思路解析：如图，设正三角形的边长为a,则高AD=?a,外接圆半径（）A=二，边心距 QD=±a,所以 AD : OA : QD=3 ： 2 ： 1。答案：A 63 .正五边形共有 条对称轴，正六边形共有 条对称轴.思跖解析：正n边形的对称轴与它的边数相同。答案：5 64 .中心角是45°的正多边形的边数是.3600360°思路解析：因为正n边形的中心角为:一，所以450 =：

8、一，所以n=80答案：8nn5 .已知ZiABC的周长为20,AABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=思蹈解析:由切线长定理及三角形周长可得。答案：6二、课中强化（10分钟训练）1 .若正n边形的一个外角是一个内角的1时，此时该正n边形有 条对称轴.思路解析：因为正n边形的外角为丝，一个内角为生凸二也，所以由题意得幽=,-（"2） "80。,解这个方程得v5。答案：5 n 3 n2 .同圆的内接正三角,形与内接正方形的边长的比是（）思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A。答案：A3 .周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积&

9、;、S,、S«之间的大小关系是（）A.S<>S4>S6B.S6>S4>Ssc.s6>s5>s4p.s4>s6>s5思跖解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大。答案：B4 .已知。和。上的一点A(如囱2.6-1).作0()的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;(2)在题的作臼中，如果点E在弧AD上，求证：DE是O。内接正十二边形的一边.图 2.6-1息距分析：求作。的内接正六.边形和正方形，依据定理应将。()的圆周六等分、四等 分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分要证明 DE是。

10、内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE所对圆心角等于3600 -12 = 30。.作法：作直径AC;作直径BD_LAC;依次连结A、B、C、D四点,四边形ABCP即为0() 的内接正方形;分别以A、C为圆心，QA长为半径作弧，交。Q于E、H、F、G;顺 次连结A、E、F、C、G、H各点.六边形AEFCGH即为。()的内接正六边形.(2)证明：连结()E、PE.360° c .360°。V ZAOD=90 , /AOE=60 ,46/DQE=/AOD-/A()E=30° .'.DE为。的内接正十二边形的一边.三、当堂巩固(30分钟训练)L正六边形的两条

11、平行边之间的距商为1,则它的边长为()V3V3273V3A.B.C.O.6433思跖解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1,所以边心距为05则边长为4.答案：D2 .已知正多边形的边心距与边长的比为则此正多边形为（）A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形思跖解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选及答案：B3 .已知正六边形的半径为3cm,则这个正六边形的周长为 cm.思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用K=6a。求出周长。答案：184 .正多边形的一个中元、角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于_r度.答案：144.5 .如图2.6-2,两相交圆的公共

12、弦AB为20,在06中为内接正三角形的一边，在。（为中 为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图 2.6-2思跖分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径用与 显的平方比即可.rgab, &=ab,解：设正三角形外接圆001的半径为玲，正六边形外接胭。2的半径为由题意得 .R；：（=6 : 3.。（）】的面积：。（2的面积=1 ： 3.6 .某正多边形的每个内角比其外角大100° ,求这个正多边形的边数.思跖分析：由正多边形的内角与外角公式可求.（n - 2） 180°360°解：设此正多边形的边数为n,则各内角为 ,外角为,依

13、题意得nn（n - 2） 180° 360°。-八n n7 .如图2.6-3,在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少?思路分析:设三个圆的圆心为O卜。2、。3,连结。1。2、。2。3、。3。1,可得边长为4 cm的正QQ2Q3,设大圆的圆心为（）,则点O是正的中心，求出这个正。1。2。3外接圆的半径，再加上的半径即为所求.解:设三个圆的圆心为O1、。2、。3,连结。1。2、。2。3、。3。1，可得边长为4 cm的正4/3。1。2。3 ,则正。2。3外接圆的半径为一15 ,所以大圆的半径为473473+

14、6+2=338 .如图2.6-4,请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形（小组之 间参与交流、评价）.答案：略.9 .用等分圆周的方法画出下列囱案:图 2.6-5作法：分别以圆的4等分点为圆心，以圆的半径为半径，画4个国；分别以圆的6等分点为圆心，以圆的半径画弧.10 .如图 266、266(2)、26-6(3)、一、2.6-6(n), M、N 分别是。的内接正三角形 ABC、 正方形ABCP、正五边形ABCDE、正n边形ABCDE的边AB、BC上的点,且BM=CN, 连结()M、ON.求图2.6-6中/MON的度数；(2)图2.6-6(2)中MON的度数是,图2.6-6

15、中/MQN的度数是试探究JMQN的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).笞案：方法一：连结OB、QC.,正4ABC 内接于。，；./OBM=/OCN = 30° ,BOC=120° .又 'BM=CN , OB=OC ,/. AOBMAOCN./. ZBOMCON./M()N=/BQC=120° .方法二：连结 OA、QB.二正色ABC 内接于O。，.AB=AC, ZOAM= ZOBN=30° , ZA()B=120° .又BMuCN, .AM=BN.3 / OA=()B,A A BON. /. Z AOM= Z BON. /.

16、ZMON= Z AOB=120° .90072°/360°(3)/MON=.正多边形和圆课后作业：一、埴空题1 .在一个圆中，如果60。的弧长是兀，那么这个圆的半径k.2 .正n边形的中心角的度数是.3 .边长为2的正方形的外接圆的面积等于.4 .正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于.二、选择题5 .正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是().(A) 两角互余 (B)两角互补(C)两角互余或互补 (D)不能确定6 .园内接正三角形的边心距与半径的比是().(A) 2: 1(B) 1: 2(C) V3 :4(D) 75:27 .正六边形的内切圆与外接圆面积之比是()(A) -(B) (C) -(D)-42248