勾股定理及两点间距离公式C(学生版)

1、学科教师辅导讲义年级： 科目：数学 课时数：课题勾股定理及两点距离公式授课日期及时段教学目的1 理解用面积割补法证明勾股定理的思路和勾股定理的推导方法；2 初步掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理及其逆定理解决基本的有关证明的问题； 3 掌握两点间距离公式 .教学内容【知识梳理】1 直角三角形中，斜边大于直角边 ,2 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 .3两点的距离公式：如果直角坐标平面内有两点 A x1,y1 ，B x2, y2 ，那么、两点的距离为：22ABx1 x2y1 y2【典型例题讲解】题型一：【例 1】已知在 Rt ABC中， C =90°.（1）若

2、a 3,b 4 ，则 c .（2） a 40,b 9 ，则 c.（3）a 6,c 10，则 b.（4） c 25,b 15 ，则 a.【例 2】直角三角形的两边长为 3、4, 则第三边长为 ，面积为 .【例 3】直角三角形的两边长为 5和 12，求第三边的长及斜边上的高 .例 4】在下列长度的各组线段中 , 能组成直角三角形的是 （ ）A. 5,6,7 B. 32,42,52 C. 5,11,12 D.5,12,13【借题发挥】1.三角形三边长 a、 b、 c满足条件 （ab)2c2 2ab,则此三角形是 （ ）A、锐角三角形B 、直角三角形、钝角三角形D 、等边三角形222三角形三边长分别为

3、 a 2 b 2、 2ab 、2 b 2 （a> b> 0） , 则这个三角形为（A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形 D. 不是直角三角形3某直角三角形两直角边长的比为2 ： 1，斜边长 10cm，则该直角三角形的面积为2 cm4.直角三角形中 , 一条直角边比斜边上的中线长 1厘米, 如果斜边长是 10厘米, 则两直角边长是题型【例 5】已知： ABC中， AB AC 5cm, BC 6cm.（1） 求高 AD 的长；（ 2 ） 求三角形的面积 S ABC 。【例 6】有一个角为 30°的等腰三角形 ,若腰长为 4, 则腰上的高是 , 面积是 .【例 7

4、】 在直角三角形中，已知一条直角边的长为6，斜边上的中线长为 5，则另一条直角边的长为【例 8】 三角形三个角的度数之比为 1： 2： 3，它的最大边长等于 16cm，则最小边长是 cm【借题发挥】1 已知在 Rt ABC中， C=90， AB 10 °. （1）若 A =30°，则 BC,AC.（2）若 A =45°，则 BC,AC.2已知等边 ABC的边长是 6厘米 .（1） 求高 AD 的长；（2） 求 ABC的面积 S ABC .2已知直角三角形的两边长分别是8cm和6 cm ，求它的面积题型三：【例 9】如下图，字母 B 所代表的正方形的面积是A点处，鸽

5、子吃完小朋友洒在 B、C 处的鸟食，最少需要走多远？ABC例 11】 欲登 12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5 米，至少需多长的梯子？【例 12】 如图，有一个高是 1.5 米、半径是 1 米的圆柱形油桶，在上地面靠边的地方有一小孔，从孔中插入一根铁 棒，已知铁棒在油桶外的部分最短是 0.5 米，这根铁棒有多长？A 处有一只蚂蚁，它想吃到上【例 13】有一个圆柱，它的高等于 12厘米，底面半径等于 3 厘米. 在圆柱的下底面点 底面上与点 A相对的点 B 处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（的值取 3）【例 14】中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股

6、定理进行证明的， 学家赵爽。赵爽创制了一幅 “勾股圆方图 ”，你能结合此图证明勾股定理吗？是三国时期吴国的数（四个直角三角形全等）【借题发挥】1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩的头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000 米，飞机每小时飞行多少千米？2 如图，每个小方格都是边长为 1 的正方形， （ 1）求图中格点四边形 ABCD的面积和周长。 （2）求 ADC的度数。3如图：设甲到岛上去探宝，登陆后先往东走 8千米，又往北走 2 千米，遇到障碍后又向西走 3千米，再折向北走6 千米处往东一拐，仅 1 千米找到宝藏，问登陆点到探宝点的距离是多少？S1+

7、S2=S3成立，则是直角三角形吗？4 ABC 三边 a,b,c 为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若5你能用下面的图形也来验证一下勾股定理吗？试一试！6在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长 为 10 尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面 2 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好 到达岸边的水面 . 这个水池的深度和这个芦苇的长度各为多少？7求四个水平放置的正方形的面积的和.（即求 S1 S2 S3 S4 ）题型四：两点间距离公式 【例 14】求下列两点间的距离： （ 1） A 2,8 和 B 3, 4

8、2)C 2,1 和 D 2,33) P 3, 2 和 Q 2 3,14) M 5, 2 和 N 2, 55) E 1,2 和 F 3, 26)G 5, 4 和 H 5, 9例 15】已知三角形三个顶点的坐标，判断三角形的形状.1） A 1, 1 、 B 3, 1 、 C 3,2（2） A 2,1 、 B 2, 3 、 C 4, 13） A 3,1 、 B 3, 3 、 C 2 3 3, 1（4） A 2,5 、 B 5,1 、C 2, 15）A 1,3 、 B 1, 2 、C 4,5（6） A 1, 2 、B 2, 1 、C 2,1【例 16】在角坐标平面内，已知 A 、 B两点的坐标分别为1

9、,3 、 6,4 ，线段 AB 的垂直平分线交 x轴于点 P，求点 P 的坐标【借题发挥】在直角坐标平面内，已知 OAB 是等边三角形，且 O、 B两点的坐标分别为 0,0 、 4,0 （1）求点 A 的坐标 .（2）如果 OAB内一点 P到三角形三边的距离都相等，求点P 的坐标 .【随堂练习】填空题：1在直角三角形中，两条直角边分别为 5,12 ，则斜边上的高为 .2若长方形的一条对角线与一边的差为 1cm ，另一条边长 3cm ，则这个长方形的面积等于 平方厘米 . 3若 3 是关于 x的方程 x2 2 a x 12 0的解，那么以 3,a 为边的等腰三角形的面积为 .4如图所示，在 AB

10、C中， AD是 BC边上的中线，且 AD AB于 A， AC 10,AB 8 ,如果将 ABD绕点旋 转 180 °，将交点 A 转到点 A 的位置，那么 AA .5如图， ABC为等边三角形，边长为 4cm， D为 BC中点， DE AB ，垂足为 E， EF BC交 AC于 F ， 则 AEF 的周长是 .选择题：1在 ABC中， C =90°， A =30°， BC 6cm，则此三角形的周长为（）A. 6 3 ; B. 12 6 3; C. 18 3; D. 18 6 3.2已知 Rt ABC的三边都是整数，两条直角边长度的比是3:4 ，则斜边的长可能是（

11、）A.9; B.10; C.12; D.14.3已知 P 2,4 ， Q 4, 2 下列各点中在线段 PQ垂直平分线上的点有（） A 1,1 B 2, 2 C 1, 1 D 0,0A.1 个;B.2 个;C.3 个 ;D.4 个. 4三角形三个内角的度数比为 3: 2:1 ，那么它的三条边的长度之比为（ ）A.3: 2:1 ; B. 3: 2:1; C. 2: 3:1 ; D. 9: 4:1 .5已知直角三角形有一条直角边长 11 厘米，另外两条边的长度都是自然数，那么这个三角形的周长为（ ） A.120 厘米 ; B.132 厘米 ; C.144 厘米 ; D.156 厘米 .解答题：1如图

12、，在 ABC中， A =90°， AB AC ， BD平分 ABC交 AC 于点 D，若 AB 2cm.求： AD的长,2在 Rt ABC中， C =90°，中线 AD的长为 7，中线 BE的长为 4.求： AB 的长3已知 A 2,3 和 B 1,4 在 y轴上找一点 C ，使 ABC为直角三角形4四边形中， A=60°， B= D =90°， AB 2,CD 1.（1）求 BC、 AD 的长； （2）求四边形 ABCD的面积 .课堂总结】课后作业】1如图所示，在平行四边形 ABCD中，BE CD于 E，BF AD于F ， ABC=120°，

13、BE 2cm,BF 2 3cm， 则平行四边形 ABCD 的面积为 平方厘米 .2在 ABC中， AB 5cm, AC 8cm， BAC =60°，则 BC的长为cm.3如图所示，在扇形 AOB中， OA 4， AOB =120°，那么阴影部分的面积等于4已知弓形的高为 4cm，弦长为 12cm，则弓形所在圆的半径为5在直角坐标平面内有 A 0,6 ,B 0, 2 ,C 4,2 三个点，则以这三个点为顶点的 ABC是 三角形 .选择题： 1以下列各组数为三边长的三角形中，不能组成三角形的是（ ）A. 3 1, 3 1,2 2; B. 3.5,4.5,5 ; C. 4,7.5

14、,8.5 ; D. n2 1,2n,1 n2 n 1 .2在直角三角形中，若斜边上的中线是奇数，一条直角边是偶数，则另一条直角边一定是（ ） A.偶数; B. 奇数; C. 自然数 ; D. 以上结论都不对 .3在下列命题中，真命题有（ ） 有一个角等于另外两个角的差的三角熊是直角三角形； 有一条边的平方等于另外两条边的平方和的三角形是直角三角形；三条边长分别为 10, 20, 30 的三角形是直角三角形； 三个外角的度数之比为 3:4:5 的三角形是直角三角形 .A.4 个;B.3个 ;C.2 个; D.1 个 .4在 Rt ABC中，斜边上的中线 CD 17 ，直角边 AC 16，则直角边

15、 BC的长等于（ ）A.30; B.32;C.33; D.34.5若直角三角形三边a、b、 c满足整式 a3a2b ab2 ac2 bc2 b3 0 则的形状为（）A. 等腰三角形 ; B.等边三角形 ; C.等腰直角三角形 ; D. 直角三角形 .解答题：1如图，已知 Rt ABC中， C =90°，点 D为 AC的中点， DE AB 于 E.求证： BE2 BC2 AE2.2如图，在 ABC中， C =90°， AC 6cm,BC 8cm ，以点 C为圆心， CA的长为半径作弧，交斜边 AB于D.求 AD的长.3如图，某船向正东航行，在 A处望见某岛 C在北偏东 60&

16、#176;方向，前进 6 海里到 B点，此时又测得岛 C在北偏东 30°方向，已知在该岛周围 6 海里内有暗礁，问若船继续向东航行，有无触礁危险，请说明理由 .4给出一组式子： 32 42 52，8262102， 15282172， 242102262(1) 你能发现上面式子的规律吗 ?请你用发现的规律，给出第5 个式子；(2) 请你证明你所发现的规律而成的其中 OA1 A1 A2A2 A3A7 A8 1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，细心观察图形，认真分5在直角坐标平面内， 已知 ABC 是直角三角形， 且 C =90°，点 C 在 x 轴上， A 、 B 两点的坐标分别是 2,6 、10,2 ，求点 C 的坐标 .6在直角坐标系内，已知 OAB是等腰三角形， O、 A两点的坐标分别为（ 0,0）、（ 3,4），点 B在x轴上，求点 B 的坐标 .二、综合提高练习ICME7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化1. 如图甲是第七届国际