初中数学专题-十字相乘法进行因式分解

1、初中数学专题-十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】(1) 理解二次三项式的意义;(2) 理解十字相乘法的根据;(3) 能用十字相乘法分解二次三项式；(4) 重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法.【重点难点解析】1. 二次三项式多项式ax2 bx c ,称为字母x的二次三项式，其中 ax2称为二次项，bx为一次项，c为常数项.例 如，x2 2x 3和x2 5x 6都是关于x的二次三项式.在多项式x2 6xy 8y2中，如果把y看作常数，就是关于 x的二次三项式；如果把 x看作常数，就是 关于y的二次三项式.在多项式2a2b2 7ab 3中，把ab看作一个整体，即2

2、(ab)2 7(ab) 3，就是关于ab的二次三项式.同 样，多项式(x y)2 7(x y) 12，把x+ y看作一个整体，就是关于x+ y的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2. 十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax+ b)(cx+ d)竖式乘法法则.它的一般规律是：(1)对于二次项系数为 1的二次三项式x2 px q，如果能把常数项 q分解成两个因数a, b的积，并且a + b为一次项系数p,那么它就可以运用公式2x (a b)x ab (x a)(x b)分解因式.这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”.公式中的x可以表示单项式，

3、也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为 负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.2(2)对于二次项系数不是 1的二次三项式ax bx c(a, b, c都是整数且0)来说，如果存在四个整数ai, a?, Ci, C2，使 ai a?a ， cic2 c，且 ai c2a2cib ，那么 ax2 bx ca1a2x2 (a1c2 a2G)xc1c2(a1xci)(a2x c2)它的特征是"拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，

4、一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定学习时要注意符号的规律为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母如：2 25x 6xy 8y (x 2)( 5 x 4)3 因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公

5、因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”【典型热点考题】例1把下列各式分解因式：(1) x2 2x 15 ； (2) x2 5xy 6y2 .点悟：(1 )常数项15可分为3 X ( 5)，且3 + (-5) =- 2恰为一次项系数；(2)将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项 6y2可分为(2y)( 3y)，而(2y) + ( 3y)=(5y)恰为一次项系数.解：(1) x2 2x 15 (x

6、 3)( x 5)；(2) x2 5xy 6y2 (x 2y)(x 3y) 例2把下列各式分解因式：点悟：我们要把多项式ax2 bxc分解成形如(ax1G)(ax2c2)的形式，这里a1a2a ,c1c2c而C2a? C解: (1) 2x2 5x 3 (2x 1)(x 3)；(2) 3x2 8x 3(3x1)( x 3).点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性.例3把下列各式分解因式：(1)x410x29 -(2)7(x y)35(x y)2

7、2(x y)；(3)(a2 8a)222( a28a) 120 .点悟:2(1 )把 x看作一整体，从而转化为关于2x的二次三项式；(2)提取公因式(x+ y)后，原式可转化为关于(x+ y)的二次三项式(3)以(a8a)为整体，转化为关于(a8a)的二次三项式.解: ( 1)x4 10x2 9 (x2 1)(x2 9)=(x+ 1)(x 1)(x+ 3)(x 3).(2)7(x y)3 5(x y)2 2( x y)(x2y)7(x y) 5(x y)2=(x+ y)(x+ y) 17(x + y) + 2=(x+ y)(x+ y 1)(7x+ 7y + 2).(3) (a2 8a)2 22

8、(a2 8a) 120(a2 8a 12)(a2 8a 10)2(a 2)(a 6)(a8a 10)3点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构 成二次三项式，以顺利地进行分解同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再 分解为止.例 4 分解因式：(x2 2x 3)( x2 2x 24) 90 .点悟：把x2 2x看作一个变量，利用换元法解之.解：设x2 2x y，贝U原式=(y- 3)(y-24)+ 90y227 y 162=(y- i8)(y-9)2 2(x 2x 18)(x 2x 9).点拨：本题中将x2 2x视

9、为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果此外，2y 27y 162 (y 18)( y 9) 一步，我们用了 “十字相乘法”进行分解.例5分解因式6x4 5x3 38x2 5x 6.点悟：可考虑换元法及变形降次来解之.解：原式 x26(x2 匚2)5(x 丄)38xx2 1 2 1x26(x )5(x -) 50,xx1令x y，贝Vx原式 x2(6y2 5y 50)2x (2y 5)(3y 10)23x2(2x5)( 3x10)xx(2x25x22)(3x10x 3)点拨：本题连续应用了 “十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱.但是,个重要环

10、节.(x y)的二次三项式.品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是-例6分解因式x2 2xy y2 5x 5y 6 .点悟：方法1:依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于 方法2：把字母y看作是常数，转化为关于 x的二次三项式.解法1：2 x2xy2y5x5y6(x22xy2y)(5x5y) 6(xy)25(xy)6(xy 1)(xy 6).解法2：2 x2xy2y5x5y62 x(2y5)x2y5y62 x(2y5)x(y6)(y 1)x(y6)x (y1)=(x y 6)(x y+ 1).例 7 分解因式：ca(c a)+ bc(b c) + ab(a b).点悟：先将前

11、面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组.解：ca(c a) + bc(b c) + ab(a b)2 aca2cb2cbc2ab(ab)2/c (ab)c(a2b2)ab(ab)c2(ab)c(ab)(ab) ab(a b)(ab)c2c(ab)ab=(a b)(c a)(c b).#点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组此题展开四项后，根据字母 c的次数分组，出现了含a-b的因式，从而能提公因式随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解.例8已知x4 6x2 x 12有一个因式是x2 ax 4，求a值和这个多项式的其他因式.点悟：因为x4

12、6x2 x 12是四次多项式，有一个因式是x2 ax 4，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是x2 bx 3(a、b是待定常数)，故有x4 6x2 x 12 (x2 ax 4) (x2 bx 3) 根据此 恒等关系式，可求出 a, b的值.解：设另一个多项式为x2 bx 3，则42x 6x x 12(x2 ax 4)( x2 bx 3)432x (a b)x (3 4 ab)x (3a 4b)x 12 , x4 6x2 x 12与x4 (a b)x3 (3 4 ab)x2 (3a 4b)x 12是同一个多项式，所以其对应项 系数分别相等即有口+b - Q* 3十4十心心=6,由、解得，a =

13、 1, b= 1,代入，等式成立. a= 1,另一个因式为x2 x 3.点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方 法，在其他数学知识的学习中也经常运用希望读者不可轻视.【易错例题分析】例 9 分解因式：5a2b2 23aby 10y2.错解：/ 10= 5X ( 2), 5 = 1X 5,5X 5 + 1X ( 2) = 23,7原式=(5ab+ 5y)( - 2ab+ 5y).警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤.正解：/ 5 = 1X 5, 10= 5X ( 2),5 X 5+ 1X (- 2)= 23.原式=(ab + 5y)(5a

14、b- 2y).【同步练习】、选择题如果xpx q (xa)(xb），那么p等于abB. a+ bC. abD . (a+ b)2.r e2如果x(a b) x 5bx 30，则b为B. 6C. 53.多项式x2 3x a可分解为(x 5)(x b),则a,的值分别为A. 10 和一2B. 10 和 2C. 10 和D . 10 和一2不能用十字相乘法分解的是B . 3x210x23x/2小4x x 22D . 5x6xy8y2分解结果等于（x+ y 4）（2x+ 2y 5）的多项式是A . 2(xy)213(x y) 20(2x2y)213(x y) 202(xy)213(x y) 202(x

15、y)29(x y) 20将下述多项式分解后，有相同因式x 1的多项式有x2 7x3x22x 1 ;2 x 5x 6; 4x2 5x 15x223x 8 ； x411x212二、填空题1327. x 3x 102LC8. m 5m 6 (m+ a)(m + b).29. 2x 5x 3 (x- 3)().2c210. x 2y(x- y)().11. a a () ().m12 .当k=时，多项式3x2 7x k有一个因式为().13 .若x-y= 6, xy 一，则代数式x3y 2x2y2 xy3的值为36三、解答题14 .把下列各式分解因式：(1) x4 7x2 6 ；42(2) x 5x

16、36;/、6 刁 3 3 ci 6(4) a 7a b 8b ；4224(3) 4x 65x y 16y ；(5) 6a4 5a3 4a2;64 22. 4(6) 4a 37a b 9a b .15 .把下列各式分解因式:2 2 2 2 2(1)(x3)4x ； (2) x(x 2) 9；(3) (3x 2x 1)(2x3x 3);(4) (x2x)217(x2x)60 ；(5) (x22x)27(x22x)8 ；(6) (2ab)214(2ab)48.16 .把下列各式分解因式：(1) (a b)x2 2ax a b ；(2) x2 (p2 q2)x pq(p q)(p q)；(3) x2

17、2xy 3y2 2x 10y 8 ；(4) 4x2 4xy 3y2 4x 10y 3 ；(5) (x2 3x 2)(x2 7x 12) 120 ；(6) (x2 xy y2)(x2 xy 2y2) 12y4 .17已知2x3 7x219x 60有因式2x-5,把它分解因式.3318 .已知 x+ y= 2, xy= a+ 4, x y 26，求 a 的值.参考答案【同步练习】1 . D 2. B 3. D 4. C 5. A 6. C7. (x+ 5)(x-2) 8. 1 或一6, - 6 或 1 9. 2x + 12nn10. xy, x+ 2y 11.2，a,-4m2m12 . - 2,

18、3x+ 1 或 x+ 213 . 1714. (1)原式(x21)(x26)(x1)(x1)(x26)(2)原式(x29)(x2 4)(x3)( x3)(x24)(3)原式(4x2y2)(x216y2)(2x y)(2x y)(x 4y)(x 4y)(4) 原式(a3 8b3)(a3 b3)(a 2b)(a2 2ab 4b2)(a b)(a2 ab b2)(5) 原式 a2(6a2 5a 4)a2(2a 1)(3a 4)(6) 原式 a2 (4a437a2b2 9b4)2 2 2 2 2a (4a b )(a 9b )2a (2a b)(2a b)(a 3b)(a 3b)2215. (1)原式(x 3 2x)(x3 2x)(x 3)(x 1)(x 3)(x 1)(2) 原式x(x 2)3x(x 2)32 2(x 2x 3)( x 2x 3)2(x 3)( x 1)( x 2x 3)(3) 原式(3x2 2x 1 2x2 3x 3) (3x2 2x 1 2x2 3x 3)2(5x 5x 4)( x 2)( x 1)(4) 原式(x2 x 12)(x2 x 5)2(x 4)(x 3)( x x 5)(5) 原式(x2 2x 8)(x2 2x 1)2(x 2)(x 4)(x