初中数学相似三角形难题易错题(附详解)

1、2013初中相似三角形难题易错题一 填空题（共2小题）2.如图,-ABCD的对角线相交于点0,在AB的延长线上任取一点E,连接OE交BC于点F若AB=/ AD=c, BE二b, 则 BF二.二解答题（共17小题）3如图所示泌ABC中'ZBAC=I2° '妙平分ZBAC交BC于D.求证：=÷.4.如图所示窗CD中心BD交于。点,E为AD延长线上-点,OE交CD于F,E。延长线交AB于G.求证舞-影5-条直线截SC的边BC、CA. AB （或它们的延长线）于点D、E、F.求证：= l6. 如图所示.P为ZkABC内一点，过P点作线段DE, FG, Hl分别平行于

2、AB, Be和CA,且DE=FG=HXd, AB二510, BC二450, CA=425.求 d7. 如图所示.梯形ABCD中，ADBC, BD, AC交于0点，过0的直线分别交AB, CD于E, F,且EFBCAD二12厘 米，BC=20厘米.求EF.ADz-<-Af8. 已知：P为UABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：匹-魁二BP BQ9. 如图所示，梯形ABCD中，ADBC, MNBC,且MN与对角线BD交于0若AD=DO=a, BC=BO=b,求MN.10. P为AABC内一点，过P点作DE, FG, IH分别平行于AB, BC, CA （如图所示） f勰齣

3、P11如图所示.在梯形ABCD中，ABCD, ABVCD一条直线交BA延长线于E,交DC延长线于J,交AD于F,交 BD 于 G,交 AC 于 H,交 Be 于 I.已知 EF=FG=GH=HI=IJ,求 DC： AB已知P为AABC内任意一点，连AP, BP, CP并延长分别交对边于D, E, F.=1（2）霁噩 器者中至少有一个不大于Z也至少有-个不少于213如图所示.在AABC中 AM是BC边上的中线，AE平分ZBAC, BD丄AE的延长线于D,且交AM延长线于F.求 证：EFAB14.如图所示.P, Q分别是正方形ABCD的边AB, Be上的点，且BP二BQ, BH丄PC于H求证：QH

4、丄DH.15.已知M是RtABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM丄QM.求证：PQlPB'+QC1ZACB二90° , CD丄AB 于 D, AE 平分ZCAB, CF 平分ZBCD.求证：EF/BC.17.如图所示.在AABC 内有一点 P,满足ZAPB=ZBPC=ZCPA若 2ZB二ZA+ZC,求证：PBAPC. （提示：设法证明厶PABSAPBC.）19.如图所示，AABC中，爪N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN,分别交BE于F、G,求 BF： FG： GE 的值.20.在AABC 中，ZA ： ZB ： ZC=I ： 2 ：

5、4.求证-+-=-提示：要证明 + =-JL何题的常用方法：比例法：将原等式变为巴=±或巴=人故构造成以a+b、b为边且 a DCBDCaC与C所在三角形相似的三角形。通分法：将原等式变+-= 1,利用相关左理将两个个比通分即：E = 'a ba d£ =）且m+n=d,则原式成立。O D2013初中相似三角形难题易错题参考答案与解析一填空题（共2小题）考点：平行线分线段成比例.专题：计算题.分析：由于Be是AABC与ADBC的公共边，且ABEFCD,利用平行线分线段成比例的左理，可求EF. 解答：解：在ZABC中因为EFAB,所以 EF： AB=CF: CB， 同

6、样，在ADBC中有EF： CD二BF： CB，+得 EF： AB+EF： CD=CF: CB+BF： CB二 1 .设EFp厘米，又已知AB=6厘米，CD二9厘米，代入得 x： 6+x： 9二1,解得X二丄§5故EF二良厘米.5点评：考查了平行线分线段成比例立理，熟练运用等式的性质进行讣算.2.如图,-ABCD的对角线相交于点0,在AB的延长线上任取一点E,连接OE交BC于点F若AB=a> AD=c, BE二b,则 BF±_.考点：相似三角形的判左与性质：平行四边形的性质专题：计算题.首先作辅助线：取AB的中点M,连接0M,由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可

7、求得:分析：AefbsAEOM与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值.解答：解：取AB的中点M,连接0M,四边形ABCD是平行四边形，AD/7BC, OB=OD,ADBC, OM二IAD二丄，2 2EFBE0M, BE BF ',9ME" OMVAB=a > AD=c, BE=b, ME=MB BE 二丄AB 十 BE 二 ia+b,2 2._b_BF 1 "1 ,尹bBF=-.a÷2b故答案为：丄a+2b点评：此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识.解此题的关键是准确作出辅助线，合理 应用数形结合思想解题.二.解

8、答题(共17小题)3如图所示在5 ZBAC=I2° ' AD平分ZBAC交BC于D.求证：=÷考点：相似三角形的判左与性质：等边三角形的判左专题：:证明题.分析：过D引DEAB,交AC于E,因为AD平分ZBAC (=120° ),所以ZBAD二ZEAD二60°若引DEAB,交AC 于E,则AADE为正三角形，从而AE=DE=ADf利用 CED<z>CABt可实现求证的目标.解答：证明：过D引DEAB,交AC于ETAD 是ZBAC 的平分线，ZBAC=I20° ,. ZBAD=ZCAD=60° 又 ZBAD=ZEDA

9、二60° ,所以/.ADE是正三角形， AEA=ED=AD 由于 DEAB,所以 CEDSACAB, DE- CE-C-AE,1 _ AE 玄 AB CA CA CAe ' 由，得坐1 -如，AB AC从而丄+ 1 - LABACAD点评：本题考査了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判泄，考査了等边三角形的判泄，考 查了角平分线的性质，本题中求证 CED-ACAB是解题的关键4. 如图所示展D中,AC"交于。点,E为AD延长线上-点,OE交CD于F,E。延长线交AB于G.求证嗥-影考点：相似三角形的判左与性质；平行四边形的性质.专题：'证明题

10、分析：应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证. 解答：证明：延长CB与EG,英延长线交于H,如虚线所示，构造平行四边形AIHB.在AEIH中，由于DFIH,.IH-El*DF ED'.IH二AB, .墾里,DF EDAD.EI-AD.ED+AI,1+AI fl-.ED ED ED ED*在ZkOED 与()BH 中,ZDOE=ZBOH, ZOED=ZOHB. OD二0B, 0ED0BH (AAS).从而 DE=BH=AL由f-t2-此题考査学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB与EG,点评：其延长线交于H,如

11、虚线所示，构造平行四边形AIHB.这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道 难题.5. 一条直线截AABC的边BC、CA、AB （或它们的延长线）于点D、E、F.考点：、三角形的面积.专题：证明题.分析：连接BE、AD,并把线段之比转化为两三角形而积之比，然后约分即可求证.解答：证明：如图，连接BE、AD,V BDE 与ZkDCE 等髙，5DEDC SAECEV DCE 与ZkADE 等髙， CELsdce EA %AED/ ADF 与ZkBDF 等髙， AF_ sADF FB SABDPV AEF 与 ABEF 等高, AF_saaef FB SAFEB AF_ SaAED FB SAK

12、DE BD. CE. AF_ Sakde . Sadce . S2iAED 二 DC EA FB SADCE SAAED SAEDE点评：此题考査学生对三角形而积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BE、AD,并把线段之比转化为两三角形面积之比.6. 如图所示.P为ZkABC内一点，过P点作线段DE, FG, Hl分别平行于AB, BC和CA,且DE=FG=HUd, AB二510, BC=450, CA=425.求 d考点：相似三角形的判左与性质；平行四边形的判左与性质.专题：计算题由FGBC, HICA, EDAB,易证四边形AIPE.四边形BDPF.四边形CGPH均是平行四边形，利用平行线

13、分加分线段成比例左理的推论可得厶IHB-AFG-ABC.于是匹Z塑，再结合理二卫I先计算式子BCABCAABAB AB右边的和，易求匹+ 览FI二 2匹2,从而有½2,再把 DE=FG二Hl二d, AB=510, BC二450, CA=425 ABABABABAB BC AC代入此式，解即可.解答： 解：VFGZ/BC, HI/7CA, EDAB,.四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，IHBAFGABC>.FG-AF HI-BI BC AB CA AB' D 瓦 AF亠 BIDE+AF+BI *ABABAB AB又 VDE=PE÷PD

14、=AIFB,AF=AI+FI,Bl二IF+FB,DE+AF÷BI=2× (AI+IF+FB) =2AB, DE AF- BL 沁 2忑 AB AB ABVDE=FG=Hl=d, AB二510, BC二450, CA二425, DE_ FG+ Hl- DE. AF. BITAB BC AC AB AB AB "' d 丄 Id 丄 Id ° - I II 乙 9510 450 425解得d=306.点评：本题考查了相似三角形的判疋和性质、平行线分线段成比例泄理的推论、平行四边形的判上和性质.7. 如图所示.梯形ABCD中，ADBC, BD, AC交

15、于0点，过0的直线分别交AB, CD于E, F,且EFBCAD二12厘Y平行线分线段成比例考点： 分析：由平行线的性质可得AD=OA=22=Jt得出OE与BC, OF与AD的关系，进而即可求解EF的长.BC OC 20 5解答：解：TADBC, EFBC, AD=OAZ1 3 BC OC 20 ?乂 OEZpAZ 3 OF- OC- SBC AC 8, AD-AD"8,. OE二卫BC二英，OF二卫AD二英，82 S 2AEF=OE÷0F=15 点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题.8. 已知：P为口ABCD边BC上任意一点，DP交AB

16、的延长线于Q点，求证：些-怨二BP BQ考点：】相似三角形的判泄与性质.专题：证明题.分析：由于AB=CD,所以将塑转化为型，再由平行线的性质可得耍匹，进而求解即可.BQ BQBQ BP解答：证明：在平行四边形ABCD中，则ADBC, ABCD,.AB=CD=PC BQ BQ BP BC _ AB_ BC _ PC- PB-I BP BQ-BP BP BP _点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判左及性质问题，能够熟练掌握9. 如图所示，梯形ABCD中，ADBC, MNBC,且MN与对角线BD交于0若AD=Doa, BC=BO=b,求MN.考点：-相似三角形的判左与性质；梯形.

17、专题：计算题分析：解答：由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN的长.解：TMWBC, 在ZiABD 中，°忙即 OM-ADPOB- ab ,AD BDBD a+b同理ON-BC°D-込BD a+bMN=0M-0N=.a+b点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握.10. P为ZkABC内一点，过P点作DE, FG, IH分别平行于AB, BC, CA （如图所示）求证: s÷f- -A平行线分线段成比例.考点：专题：证明题.分析：(1)由平行线可得 PlFSACAB,得出对应线段成比例，即丄空丄匕£5

18、.同理得出陛EE,即可证 AB C ACBC &C AC明结论：(2)证明方法与(1)相同.解答：】证明：(1) VDE7AB, IH7AC, FGBC,可得 PlFSACAB,.IF- IP- AE AB AC AC'同理塑陛匹BC AC ACIF_ DH_ GE. GC_ GE-IAB BC AC AC AC AC '(2)仿(1)可得 AI- PE_gg, BD=PF=F AEAB AB AC BC BC AC AC AI 丄 BD_ GC_ GE丄 A¾ CG_1 AB BC AC AC AC AC '-本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用

19、其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论.点评： 11如图所示.在梯形ABCD中，ABCD, AB<CD一条直线交BA延长线于E,交DC延长线于J,交AD于F,交 BD 于 G,交 AC 于 H,交 BC 于 I.已知 EF=FG=GH=HI=IJ,求 DC： AB考点：相似三角形的判宦与性质；梯形.I 计算题.专题：分析：由平行线可得对应线段成比例，又由已知EF二FG二CH二Hl二IJ,可分别求出线段AB、CD与AE、CJ的关系，进 而可求解结论.解答： 解：TAB"CD, EF二FG二CH二HI=IJ, BE_EG-2 EJ-GJ3, AEL EJL 3 AE=EF=-

20、I CJ HJ 2, DJ FJ 4,DJ=4AE,又 lAB÷AE-2yDJ 3 解得ab=5e.3又 AE=J,2 .AB二CJ, EB=ICJ, EB- 4CJ - 2 DJ CD+CJ 3tCD二5CJ,AB: CD 二 2 5=1： 22点评：)本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握.12已知P为AABC内任意一点，连AP, BP, CP并延长分别交对边于D, E, F.求证：(I) S÷S÷S=1(2)霁W器者中至少有一个不大环也至少有-个不少于2.考点：平行线分线段成比例.'证明题.专题：分析：(1)第

21、一问可由三角形的而积入手，即厶PBC+PAC+PAB=ABC,通过化简可得面积与线段之间的关系, 进而即可求解.(2)由中得岀1川则其中至少有一个不大于寺可设誉寺即mPD,而AD=AP+PD,进而通过证明即可得出结论解答：解：(I)由面积概念得:整理等式得:sPB: I sP: sAPJfi +T.sAD: sAD2 sAX由面积概念得： sPIC-PD sAEDB-PD ,It " SAAKZxDB 炒 spik +sedb.PD' 1SAADC + ADB AD即,淀-2) sAB3 AO同理得:JAADC EESARAB-sad:把式、代入式得:AD BE CF（2）由

22、凹+5+IE二1，知E?,些，里中至少有一个不大于丄, AD BE CF AD BE CF3不妨设EPW丄即3ADPDAD 3而 AD=APTD,AP2PD, 塑$2,即塑不小于2,PD PD同理可证三式中至少有一个不大于2.点评：本题主要考查了三角形的而积比与对应边的比值之间的关系，能够熟练掌握其内在联系，并能求解一些比 较复杂的问题13. 如图所示.在AABC中 AM是BC边上的中线，AE平分ZBAC, BD丄AE的延长线于D,且交AM延长线于F.求 证：EFAB考点：相似三角形的判左与性质：角平分线的性质.专题：证明题.分析：利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明A

23、mefsAMAB,从而EFAB 解答：'证明：过B作BGAC交AE的延长线于G,交AM的延长线于H AE是ZBAC的平分线， ZBAE=ZCAE.V BGAC, ZCAE=ZG, ZBAE二ZG,ABA=BG又 BD丄AG,ABG是等腰三角形，ZABF二ZHBF,.F到AB与BH的距离相等，' SA3F : S/ .HBF=AB: BHt* SAA3F： S/. HBf=AF: FHt.AB: BH=AF: FH.又M是BC边的中点，且BH"AC,易知ABHC是平行四边形，从而BH二AC,AB: AC=AF: FH.VAE是AABC中ZBAC的平分线，AB: AC=B

24、E: EC, AF： FH二BE： EC,即拿(AM+MF)： (AM-MF) = (BM+ME)： (BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC).由合分比定理，上式变为AM： MB=FM: ME.在 AMEF 与2XMAB 中，ZEMF=ZAMB, ZkMEFsAMAB ZABM=ZFEM> 所以 EF AB点评：此题考查学生对相似三角形的判左与性质和角平分线的理解和掌握，证明此题的关键是过B引BGAC交AE 的延长线于G,交AM的延长线于H.和利用合分比左理14. 如图所示.P, Q分别是正方形ABCD的边AB, Be上的点，且BP二BQ, BH丄PC于

25、H求证：QH丄DH.考点：相似三角形的判左与性质：直角三角形的性质；正方形的性质.专题：证明题.要证QH丄DH,只要证明ZBHQ二ZCHD由于APBC是直角三角形，且BH丄PC,熟知ZPBH二ZPCB,从而 分析：ZHBQ=ZHCD,因而ZkBHQ 与ZkDHC 相似.解答：证明：在RtPBC中，TBH丄PC, ZPBC二 ZPHB=90° , ZPBH二 ZPCB.显然，RtAPBCsRtABHC, BfLHCPBBC,由已知，BP二BQ BC二DC, BH=HC BJL BQ BQ CD CH CDeV ZABC=ZBCD=90o , ZPBH二ZPCB, ZHBQ=ZHCDCH

26、 CD在 AHBQ 与 AHCD 中，T 陛型，ZHBQ=ZHCD,HBQHCD, ZBHQ=ZDHC,ZBHQ+Z QHC= ZDHC+Z QHC <又 V ZBHQ-ZQHC=90° , ZQHD二ZQHC+DHC二90° ,即DH丄HQ.点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，难度适中，关键是掌握相似三角形的判泄方法.15. 已知M是RtABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PH丄QM.求证：PQlPB丸Cl考点：直角三角形斜边上的中线：勾股左理.专题：证明题.分析：以M点为中心，AMCQ顺时针旋转180°至AMBN,根据旋

27、转的旋转可得AMCQ与AMBN全等，根据全等三角 形对应边相等可得BMQC, MN=MQ,全等三角形对应角相等可得，ZMBN=ZC,再连接PN,可以证明PM垂直 平分Q，所以PN二PQ,然后证明APBN为直角三角形，根据勾股左理即可证明.解答:证明：如图，以M点为中心，AMCQ顺时针旋转180°至.MCQNffiN BN=QC, MN=MQ, ZMBN=ZC,连接PN, TPH丄QM,.PM垂直平分NQ,PN=PQ,ABC是直角三角形，BC是斜边， ZABC+ZC=90o , ZABC+ZMBN=90o ,即APBN是直角三角形，根据勾股龙理可得，pb'bn2,. PQ

28、9;二 PBLQCI点评：本题考查了直角三角形的旋转，旋转变换的旋转，勾股左理的应用，利用旋转变换耙构造岀以PQ、PB、QC 转化为同一个直角三角形的三边是证明的关键.16. 如图所示.在AABC 中，ZACB二90° , CD丄AB 于 D, AE 平分ZCAB, CF 平分ZBCD.求证：EFBC.考点：相似三角形的判左与性质；平行线的判泄专题：证明题.分析：由题中条件可得AC=AF,即AACF是等腰三角形，所以Ee二EF,进而得出ZECF二ZEFC,结论得证. 解答：证明：V ZACB=90o , CD丄AB, ZCAD=ZBCD又 AE 平分ZCAB, CF 平分ZBCD,

29、ZBCF=ZCAE, ZB=ZACD, ZB+ZECF二ZB+ZBCF,即 ZACF=ZAFC,又 AE 平分ZCAB, AC=AF> /.CE=EF.即 ZECF=ZEFC,. ZEFC=ZBCF,即 EFBC点评：本题主要考査了等腰三角形的性质以及平行线的判左问题，应熟练掌握.17如图所示.在AABC内有一点P,满足ZAPB=ZBPC=ZCPA若2ZB=ZA+ZC,求证：PBAPC. （提示：设法i正明 PABSAPBC.）考点：相似三角形的判左与性质.专题：证明题.分析：用ZAPB=ZAPC=I20° , ZCBP二ZBAP两个对应角相等证明 P.B-PBC,根据相似比可

30、证到结论.解答：'证明：V ZAPB=I20° ,ZABP+ZBAP二60° ,又 V ZABC=60° , ZABP+ZCBP二60° , ZCBP=ZBAP,又 V ZAPB=ZAPC=120° , ABPs ABCP, AFLBP"PB PC，YBPAPC.点评：本题考査相似三角形的判左和性质左理，先用判立泄理证明相似，然后根据相似对应边成比例证明结论.考点：相似三角形的判左与性质；全等三角形的判左与性质：等腰直角三角形.专题：证明题.分析：过B作BC的垂线交CE的延长线于点F,从而可推出ACBF,根拯平行线的性质可得到

31、两组对应角相等从 而可判ACE-BFE,根据相似三角形的对应边对应成比例可得到AC=2BF,进而得到CD=BF,再利用HL 判ACDCBF,由全等三角形的性质得其对应角相等，再根据等角的性质不难证得结论.解答：证明：过B作BC的垂线交CE的延长线于点F, （1分） ZFBC=90°ZACB=90° , ZFBC=ZACB=90° AC/7 BF /. ZACE=ZEFBZCAE=ZEBFACEsABFE.（3 分） AC AE OBF EB 仏AC=2BF（4 分）TD是BC的中点，.,.BC=2CD,VAC=BC,ACD=BF（5 分）在 ZXACD 和 ZkCBF 中rAC=CB< ZACB=ZCBF=90',CD 二 BF.ACDCBF. （6