初三奥数知识点小结

1、初三奥数总结第一章 一元二次方程概述形如 ax2 bx c 0（a 0） 的方程称为一元二次方程，使等式成立的实数称 为此方程的实数根。1、含字母系数的一元二次方程： 解决含字母系数的一元二次方程的问题，经常需要对该方程的根进行分析、处理。 常用方法有： （1）利用解的定义，整体代入法，从而达到将高次方程降次的目的或其他；（ 2）从两个方程的公共实根出发，先确定该公共实根的值，再求各系数；（ 3）解决整数根常用方法有：利用韦达定理，再拆分，然后验根；含字母系数的一元二次方程，常可 利用因式分解法求根，再双重检验（验，验整数根条件） ；利用缩小字母系数的范围， 再验根进行取舍。 （4）利用不等式

2、的性质（如 x y 2 xy ）；（ 5）求出方程解，再消去未 知系数，求不定方程的解，再带回求参数的方法； （ 6）利用韦达定理，再消参数法； （7）参 数交换法 （即把字母系数与未知数的地位互换时， 所得方程与原方程完全一样， 从而将一个 较弱的条件得以加强，从而使问题的本质浮出水面）等。2、根的判别式与韦达定理：概述一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0） 有实数解的条件是b 2 4ac 0 ，设 x1,x2 为此方程的两个根，则根与系数之间存在如下关系：bx1 x2acx1x2a3、可化为一元二次方程的方程（组） 概述我们总是将方程的求解问题利用代数式变形转化为一次方程或一元二次方

3、程 来处理， 这是化规思想在方程理论中的基本运用。 实现这一转化的方法是多种多样的， 换元 法是其中最常用的方法。具体到各个问题时，应根据方程的特点灵活处理。常见题型的常用处理办法： （ 1）一般代数三次方程尽管有求根公式，但中学阶段不会 出现需用到求根公式才能处理的三次方程，给出的三次方程，往往容易看出其中的一个根， 再由因式定理转化为求解一个一元二次方程。 （ 2）利用换元法达到降次的目的； （3）拆、添 项因式分解求解；（ 4）处理系数对称的高次方程 ，常用 下题的 解法（如 解方 程2x43x316x23x22 1 10 。变形得到： 2（ x2 2 ） 3（x ） 16 0 ，进而得

4、到：x2 x2 ( x1x)223(x1x)16 0 ，然后再换元求解即可） （5）参数交换法； （6）利用一xx元二次方程根的判别式，构造一元 二次方 程解题 （如：已 知 x、 y 为有 理数， 且x5 y5 2x2y2。证明 1xy时一个有理数的平方。证明：若 x、y中有一个为 0，则 1xy 1时一个有理数的平方。 若 xy0，两边除以 x2y2，得：x（x）2 y（y）2 2。令 t（x）2， y x y由 x、 y为有理数，可知关于 t 的一元二次方程： xt2 2t y 0有有理根。而上述方程的 系数均为有理数，故 44xy4（1xy）是一个有理数的平方。所以， 1xy 是一个有

5、 理数的平方。 ）4、整系数一元二次方程： 一般地，若整系数一元二次方程有整数根，则该方程的根的判别式是一个完全平方数。这一性质在处理一元二次方程的整数根问题时经常被用到。常用方法有： （1）利用韦达定理拆分，再利用数论方法与技巧；（2）利用整数理论来处理整系数一元二次方程的整数根（如a，b 模 m 同余等）问题是不易考虑到的想法，解题中往往能出奇制胜； （ 3）利用判别式处理（即如利用 （2k 1）2 40 m2 【为完全平方 数】，再利用平方差展开和整系数进而求解。 ）（4）利用函数图像方法。5、勾股数与完全平方数：称满足不定方程 x2 y2 z2 的正整数数组（ x,y,z）为勾股数组（

6、国际上，一般称为毕达哥拉斯数组） 。勾股数组有许多有趣的性质，例如，若（x ， y， z）为勾股数组，则 x、 y、z 中有一个数为 3 的倍数；有一个数为 4 的倍数；也有一个数为 5 的倍数。完全平方数是一类重要的自然数，竞赛中许多问题要用到完全平方数的性质。 说明：（1）如果两个互质的自然数之积是一个完全平方数，则这两个自然数都是完全平方数。（ 2）如果正整数 x 可表示为两个正整数的平方和，则 2x 也可表示为两个正整数的平22 2 2 2 2方和。（如 x u2v2 ， 2x2u2 2v2（u v）2（u v）2 。于是2x 可表示为两个整数u+v 和 u v 的平方和。（3）相邻两

7、个完全平方数之间的自然数都不是完全平方数。 （4）在勾股三角形中，周长为面积的整数倍的三角形，可以用勾股数组来试探，这一 过程是发现勾股数性质的一般尝试方法。第二章 函数1、函数及其图像： 某个变化过程中有两个变量，如果对于 x 在某个范围 D 内的每一个确定的值，按照某 个对应法则 f， y 都有唯一确定的值与它对应，那么y 就叫做 x 的函数，记作 y=f（x） ，x D（为方便，这里沿用集合的记号， x D，读作 x 属于 D，表示 x 在范围 D 内变换，或 x 是 集合 D 的元素）。X 的取值范围 D 叫做函数的定义域， 和 x 的值相应的 y 值叫做函数值， 函 数值的全体构成的

8、集合叫做函数的值域。要求会用函数解方程组问题，判断图像题，求方程的解的题。2、一元二次不等式的解与一元二次方程实数根的分布：我们把形如 ax2 bx c 0 ， ax2 bx c 0 (a 0)的不等式叫做一元二次不等式。 要会二次函数的图像来解一元二次不等式。22对于 ax bx c 0( a> 0)的两根为 x1、 x2( x1< x2，记 f(x) ax bx c ，则 不等式 ax2 bx c 0(或 ax2 bx c 0 )的解就是 y=f(x)的图像在 x 轴上方(或 x 轴下方) 所对应的 x 的全体；若 a> 0，> 0，则 ax2 bx c 0 的解集

9、为 x x1 或 x x2 ；2ax bx c 0的解集为 x1 x x2 。2b若 a> 0， 0，则 ax2 bx c 0 的解集为 x 的全体实数；2aax2 bx c 0 的解集为空集；若 a> 0，< 0，则 ax2 bx c 0 的解集为全体实数；2ax2 bx c 0 的解集为空集；此类题要求会用二次函数图像的方法解题。3、函数的最大值与最小值：设函数 y=f(x) 在x0处的函数值是 f (x0) ，如果不等式 f(x) f ( x0 )对于定义域内任意 x都成立，那么 f (x0)叫做函数 y=f(x)的最大值。类似地，如果不等式 f (x) f (x0)对

10、于定 义域内任意 x 都成立，那么 f (x0) 叫做函数的最小值。如果 f(x) c 是一个常数函数，那么 c既是 f(x)的最大值，又是 f(x)的最小值。如果自变量 x 的取值范围为 p x q ，那么一次函数 f(x)=kx+m 既有最大值又有最小 值。当 k>0时， f(x)随着 x 的增大而增加，故 f(q)是它的最大值， f(p)是它的最小值；当 k<0时， f(x)随着 x 的增大而减小，故 f(p)是它的最大值， f(q)是它的最小值；2对于二次函数 f(x) ax2 bx c而言，经过配方，得：b 2 4ac b2f (x) a( x) 22a4 ab 4ac

11、b 2当 a> 0 时，当 x=时， f(x) 取最小值，而 f(x) 无最大值；2a 4ab 4ac b当 a< 0时，当 x=时， f(x)取最大值，而 f(x)无最小值；2a 4a对于二次函数 f(x) ax2 bx c ，如果自变量得取值范围限制在 p x q ，那么函数2f(x) ax2 bx c (a0)既有最大值，又有最小值。当a>0时，在满足 p x q的x中，设使 x b 最小的 x为x0，则f (x0)即为最小 2a 0 0值；设使 x b 最大的 x 为 x1，则 f (x1) 为最大值。2a从图像上看， f(x) ax2 bx c( p x q )的图

12、像是一段抛物线弧， f(x)的最大值 或最小值只能在抛物线弧的顶点(若抛物线弧顶点横坐标 b 满足 p b q )或两端 2a 2a 点取到。初中数学中的函数最大值与最小值问题，基本上都能转化为求前面叙述的这些函数的 最大值与最小值。对于绝对值函数可以把函数转化成分段函数。推广到一般情况，即对 n 个实数 a1a2 L an ，求 f(x) x a1x a2L xan 的最小值。由 于 a1, a2 ,L , an 中 有 些允 许 相等 ，因 此 ， 我 们应 该 会 求 函 数f (x)k1 xa1k2xa2Lknxan 的最小值，这里k1,k2,L,kn 都是自然数。第三章 解三角形1、

13、三角函数： 三角函数是建立在相似三角形的基础上的。如图，在 ABC 中， C=90 °，则 a b a b 正弦函数 sin A ；余弦函数 cos A；正切函数 tan A ；余切函数 cot A 。ccba利用锐角三角函数定义以及比例的性质、勾股定理、不等关系可以得到以下结论：1）同角三角函数的三个关系式：sin 2 2tan cot1；tan；sin cos 1 ；cos2）互余角三角函数的关系式：sin(90 A) cosA； cos(90 A)sin A ；tan(90 A) cot A； cot(90A)tan A 。3）若 090 ，则 0 sinsin1， 1 cos

14、 cos0 ， 0 tantan 。1 sincos 2 （在斜边给定的直角三角形中，等腰直角三角形的面积最大）对于钝角 A ，通过进一步学习可以得到：sin A sin(180 A) ； cosAcos(180 A) ；tan Atan(180 A) ；0。cot A cot(180 A) 。角度15°30°45°60°75°sin624122232624cos623212624224tan23331323cot233133231 ， tan0 tan90 不存在，1 ， tan180 角的三角函数值还可以证明同角三角函数的三个关系式对于钝角

15、依然成立。 特别地，当 A=0 °时， sin0 0， cos0 当 A 90°时， sin90 1， cos90 0， 当 A180°时， sin180 0， cos180 要求会求 15°角的倍角的三角函数值和 180， cot0 不存在。 cot90 0， cot180 不存在。 构造黄金三角形） 。sin2cos21 列方程求解。要注意最后检验方程有无实数根。当遇到三角函数与一元二次方程的综合时，基本解法是用韦达定理和2、三角形中的边角关系： 对于直角三角形（如图， ABC 中， C 90°）边角关系主要有：（1）角角关系：两锐角互余（

16、 A+B=90 °） ;（2）边边关系：勾股定理（ a2 b2 c2 ）。（3）边角关系： a c sin A c cosB b tanA b cotB ； b c sinB c cosA a tanB a cot A.90C理2BC2 BDB= ACD ，22AB,AC 2 AD AB,CD 2对于斜三角形，通过转化成直角三角形可以得到一般三角形边角关系的几个重要公式。 如图， ABC 中， CD 是 AB 边的高。1)A2)A为锐角，为直角，CDCDb sinA ； b b sin90sinA；3)A为钝角，CDb sin(180A)b sin A ；所以高 CD bsinA ，

17、S ABC CDABC 21 absin C2这是一般三角形用两边及夹角求面积的公式。AB1 bcsin A2同理可得： S ABC1 ca sin B21从这三个公式可得 12S理。bcsin Aca sin B，同时乘 abc，得： ab sin Cabc2S同样，sin AsinBc 2R sinCR 为 ABC 外接圆的半径） 。此等式称为正弦定在上述ABC 中， a2 CD 2BD2.（1）A 为锐角， BD AB AD c bcosA 。（2） A 为直角， BD c （c b cos90 ） c bcosA ；（3）A 为钝角， BD=AB+AD=c+bcos（180 °

18、; A） c-bcosA c bcosA 。所以BD=cbcosA .2 ab22 c2bc cos A ；b22 a2 c2ac cos B ；2 c2 ab22ab cosC 。这三个等式称为余弦定理。3、面积问题：11 三角形面积关系有： S ABCahaabsinC ；ABC 2 a 2由正弦定理abc2Sabsin A sinBcsinC2R 知 b=asin Bsin A21asinB a sin B sinC所以 S ABC asinC2 sinB 2sin ADE 平S ABC p（p a）（p b）（p c） （其中 在选面积公式时，要适当。如在 ABC 中， C=90

19、76;， AC=4 ，abcp ）。此公式称为海伦公式。BC=3 ，D、E 是 ABC 边上的点，且直线分 ABC 的面积，求线段 DE 的最短长度。 （DE2，AD=AE= 10 ）等周三角形中，以正三角形的面积最大，此为三角形的“等周定理”4、与三角形有关的整数问题：定理：满足方程 x2 y2 z 2的一切基本勾股数组 x， y，z（y 为偶数），都可表示成：2 2 2 2x p q ，y 2pq，z p q ，其中 p,q是满足 p q 0 ，p，q一奇一偶且（ p,q） 1 的任意整数。整数 x，y，z 是某个斜三角形的三边长，且这个三角形的面积也是整数，那么数组x，13， 14，15

20、 的三角形的面积为 84）。y， z 称为三斜数组，也称为海伦数组。如（边长第四章 圆1、圆的有关性质：利用相似三角形，四点共圆等证明或求解。2、四点共圆问题： 四点共圆是平面几何证题中一个十分有力的工具。四点共圆这类问题一般有两种形式： 一是要证明某四点共圆（或以四点共圆为基础证明若干点共圆） ；二是通过某四点共圆来得 到一些重要的结果，进而解决问题，下面是与四点共圆有关的一些基本知识。（1）若干个点与某定点的距离相等，则这些点在同一圆周上。（2）在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆。（3）若四点连成的四边形对角互补或有一个外角等于它的内对角，则这四点共圆。

21、（4）若点 C、D 在线段 AB 的同侧，且 ACB= ADB ，则 A、B、C、D 四点共圆。（5）若两线段 AB 、CD相交于点 E，且AE*EB CE*ED ，则 A、B、C、D四点共圆。（6）若相交直线 PA、PB 上各有一点 C、D，且 PA*PC=PB*PD ，则 A 、B 、C、D 四点共圆。（7）蝴蝶定理：设 O 为圆的弦 MN 的中点，过 O 作弦 AB 、CD，连 AD 、BC 分别交 MN 于 F、 E，如图，则： EO=FO 。3、直线与圆、圆与圆位置关系： 直线与圆的位置关系依据直线与圆的公共点个数，分为三类：（1）直线与圆相交。直线与圆有两个公共点，此时直线称为圆的

22、割线，圆心到直线的距离 小于圆的半径，反之亦然。（2）直线与圆相切。直线与圆只有一个公共点，此时直线称为圆的切线，圆心到直线的距 离等于圆的半径，反之亦然。（3）直线与圆相离。直线与圆没有公共点。圆心到直线的距离大于圆半径，反之亦然。 两圆的位置关系可以依据两圆的半径及圆心距来分类，也可以依据公切线的条数来分 类。设两圆的半径分别为 R,r ，圆心距为 d。1）两圆外离2）两圆外切d R r ；dR r ；3）两圆相交Rr d R r 。（ R r ）4）两圆内切dR r 。（ R r ）5）两圆内含dR r 。（R r ）4、三角形中重要的点和线：（1）重心：三角形的三条中线的交点，叫做三角

23、形的重心； 三角形的重心到一边中点的距离等于这边上的中线长的三分之一。（2）外心： 三角形三边的中垂线的交点， 叫做三角形的外心， 也就是三角形的外接圆圆心； 锐角三角形的外心，在三角形内；直角三角形的外心，是斜边的中点；钝角三角形的外心， 在三角形外。（3）垂心：三角形的三条高线的交点，叫做三角形的垂心。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心，就是直角顶点；钝角三角形的垂心，在 三角形外。4）内心：三角形的三条（内）角平分线的交点，叫做三角形的内心，也就是三角形的内切圆的圆心。如图，设 ABC 的内心为 I，则有：AE=AF=p a,BD=BF=p b，CD=CE=p c。1其中

24、p （a b c） 是半圆长。2 另我们常常用垂心来证明两条直线互相垂直。在 证明多点（大于 4 个点）共圆时，我们常常先作其中三个 点的一个外接圆，然后证明其余的点在这个圆上。 西姆松定理：自三角形的外接圆上的一点，引各边的垂 线，则三个垂足共线。如图： 直线 EF称为西姆松线。只要证明 BDE= CDF。欧拉线：三角形的外心 O ，重心 G，垂心 H 三点共 线。欧拉定理： 已知 ABC 的外接圆半径为 R，内切圆 半径为 r，外心为 O，内心为 I，则： OIR2 2Rr .第五章 专题选讲1、四种命题及其关系： 用来判断某一件事情的语句称为命题。命题可分为真命题和假命题。正确的命题称为

25、 真命题；错误的命题称为假命题。一般来说，一个命题包含“前提”和“结论”两部分。若把原命题的前提与结论互换，就构成它的逆命题； 若把原命题的前提与结论分别换成它们的否定， 就构成它的否命题；否命题、逆否命命题的否命题，或者是否命题的逆命题。就是逆否命题，原命题、逆命题、 题这四种命题及其关系如图所示：逆命题互否原命题逆否命题互为逆否的两个命否命题 原命题和它的逆否命题都是真命题；逆命题同否命题都是假命题。题必同真或同假。 利用这亦规律我们可以用来解题。 例如， 有时证明某一命题是真或假都不 太容易，我们可以只证明它的逆否命题是真或假即可。又如， 反证法，其思想其实也是利用 了原命题与它的逆否命题等价规律。2、待定系数法： 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法。在求解某些数学命题时，能根据已知条 件，确定所求解的基本表达式， 从而设出若干各参数， 并根据题意转化为求解方程或方程组 问题。 这种思想方法一般称为待定系数法。在中学阶段中，待定系数法主要应用在