函数奇偶性与单调性的综合应用专业题材

1、函数奇偶性与单调性的综合应用专题【寄语：亲爱的孩子， 将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！ 】教学目标： 1. 掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；.2. 能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质；3. 能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性.教学重难点： 函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质 .【复习旧识】1. 函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？2. 函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？3. 奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？【新课讲解】一、常考题型1. 根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的

2、大小；x1 x22. 当题目中出现“ f(x1) f ( x2 ) > 0(或< 0 )”或“ xf ( x) >0(或< 0)”时，往 往还是考察单调性；3. 证明或判断某一函数的单调性；4. 证明或判断某一函数的奇偶性；5. 根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“ f（x）0（或 0）”时 x的 取值范围）；6. 确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围 .二、常用解题方法1. 画简图（草图），利用数形结合；2. 运用奇偶性进行自变量正负之间的转化；3. 证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论 .三、误区1. 函数的奇偶性是函数的整体性质，与

3、区间无关；2. 判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称；3. 奇函数若在“ x 0 ”处有定义，必有“ f （0） 0”；4. 函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异；5. 运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制 .四、函数单调性证明的步骤：（1 ） 根据题意在区间上设；（2 ） 比较大小；（3 ） 下结论.函数奇偶性证明的步骤：1）考察函数的定义域2 ）计算 的解析式，并考察其与 的解析式的关系；3 ）下结论 .【典型例题】例 1 设 f （x） 是定义在 （，）上的偶函数，且它在 0 ， ）上单调递增，1若a f (log 2 3)，b f

4、(log 312)，cf （ 2） ，则 a ，b，c 的大小关系是 （B b> c> aA a>b>cC c>a>bD c> b> a考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质og解析】 因为 logog 2 2 2，0<log< f(2) ，af(log 2f(log f(logbf (log 3f(log 3 2)f(l ogcf ( 2) f(2) 所以 c>a>b.答案】 C例 2 （2014 ?成都一模）已知 f（ x）是定义在 1，1 上的奇函数，且 f （1）=1 ，若 m，n 1， 1 ， m+n 0

5、时有>01）判断 f （x）在 1，1 上的单调性，并证明你的结论；2）解不等式： f（ x+）< f （）；3）若 f（x）t22at+1 对所有 x1，1 ，a1，1 恒成立，求实数t 的取值范围【考点】 函数的奇偶性； 函数单调性的判断与证明； 函数的最值与恒成立问题【解析】 解：（ 1）任取 1 x1< x21，则f（x1） f（x2）=f （x1）+f （ x2）=1x1<x21，x1+（ x2）0，由已知> 0，又 x1 x2<0，f（x1） f（x2）< 0，即 f（x）在 1， 1上为增函数；2）f（x）在 1， 1上为增函数，故有3）

6、由（ 1）可知： f（x）在 1，1上是增函数，且 f（1）=1 ，故对 xl，1 ，恒有 f（x）1所以要使 f （ x）t 2 2at+1 ，对所有 x1，1 ，a1，1恒成立，即要 t 2 2at+1 1成立，故 t22at 0 成立即 g（a）=t 22at 对 a1，1 ，g（a）0 恒成立，只需 g（a）在 1 ，1上的最小值大于等于零故 g （ 1 ）0 ，且 g （1）0，解得： t 2 或 t=0 或 t2【点评】 本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想课堂练习】、选择题1.函数 y2 |x|的单调递增区间是 （ ）B （， 0A （ ， ）

7、C0 ， )D （0 ， ）2已知 f(x)是定义在 R上的偶函数，它在0 ，)上是减函数，如果 f(lgx )>f(1)，那么 x 的取值范围是 ( )A（101）1B （0 ， 10 ） （1 ， ）1C(10 ，10)D (0,1) (10 ， )3. 下列函数中既是奇函数，又在定义域上是增函数的是( )1 Ay 3x1Bf(x)x1 Cy 1Df(x)x3x4. 如图是偶函数 yf(x)的局部图像，根据图像所给信息，下列结论正确的是( )Af（1）f（2）>0Bf(1)f(2)0Cf（1）f（2）<0D f（ 1） f （2）<0g(x) 在区间 0 ， ) 上

8、的图像与5. 定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数，偶函数 f(x)的图像重合，设 a>b>0 ，给出下列不等式：f(b)f(a)>g(a)g(b)； f(b)f(a)<g(a)g(b)；f(a)f(b)>g(b)g(a)； f(a)f(b)<g(b)g(a)其中成立的是 6. 设 f (x )为定义在 (， )上的偶函数，且 f(x)在0 ， )上为增函数，则f(2) ，f()，f(3)的大小顺序是 (A f( )> f (3)> f(2)Cf()< f(3)< f(2)7. 已知 f(x)是奇函数且对任意正实数 一定正确的是

9、( )A f(3)> f(5)C f( 5)> f(3)8定义在 R 上的偶函数 f(x)在0得()Aa<bBf()> f( 2)> f(3)D f()< f(2)< f(3)f (x1) f (x2) x1，x2(x1 x2)，恒有1 2 >0 ，则x1 x2Bf(5)> f(3)D f(3)> f(5) )上是增函数，若 f(a)< f (b )，则一定可Ba>bC|a|<| b|D0a<b或 a>b09.若偶函数 f(x)在(，0)内单调递减， 则不等式 f(1)< f(lg x)的解集是 (

10、 )1A (0,10)B.，101011C. ， D. 0， (10 ， )10 10二、选择题10.若奇函数 f(x)在区间3,7 上是增函数，在区间 3,6 上的最大值为 8，最小值为1，则 2f(6)f(3)的值为 .11 若函数 f(x)是 R 上的偶 函数，且在0 ，)上是减函数， 则满足 f()< f(a)的实数 a 的取值范围是 三、解答题12. 已知函数 f(x)x22|x|1， 3x3.(1) 证明： f(x)是偶函数；(2) 指出函数 f(x)的单调区间；(3) 求函数的值域13. 定义在 2,2上的偶函数 f(x)在区间0,2上是减函数，若 f(1m)<f(m

11、)求 实数 m 的取值范围14. 已知函数 f(x)ax2bx3ab 为偶函数，其定义域是 a1,2a，求 f(x)的值域15. (1) 已知 yf(x)是定义在 R 上的奇函数， 且在 R 上为增函数， 求不等式 f(4x 5)>0 的解集；(2)已知偶函数 f(x)(xR)，当 x0 时，f(x)x(5x)1，求 f(x)在 R 上的解 析式16. ( 本小题满分 12 分)设函数 y f(x)的定义域为 R，并且满足 f(xy)f(x)1 f(y)，(f )1，当 x>0 时， f(x)>0.3(1) 求 f(0) 的值；(2) 判断函数的奇偶性；(3)如果 f(x)f

12、(2x)<2 ，求 x 的取值范围参考答案BCDC ADCD5. 答案 解析 f(a)f(a)，g(6.b)g(b)，a>b>0 ，f(a)>f(b)，g(a)> g(b)f(b)f(a)f(b)f(a)g(b)g(a)>g(a)g(b)g(a)g(b)，成立又g(b)g(a)g(b)g(a)，成立10. 答案 1511.答案 (，)解析 若 a0，f(x)在0，)上是减函数，且 f()<f(a)，得 a<.若 a<0 ，f () f(), 则由 f(x)在0，)上是减函数，得知 f(x)在(，0 上是增函数由于 f()< f(a )

13、 ，得到 a> ，即< a<0.由上述两种情况知 a (，)12. 解析 (1) 略(2) f (x)的单调区间为 3，1，1,0，0,1 ，1,3 (3) f (x)的值域为 2,2 13. 解析 f ( x)为偶函数， f (1 m )< f (m )可化为f (|1 m |)< f (|m |)，又 f(x)在0,2上是减函数，1|1m |>| m |，两边平方，得 m<2，又 f(x)定义域为 2,2 ，21m 2，1解之得 1 m 2 ，综上得 m 1 ， )2m 2，214. 解 f(x)ax2bx 3ab 是定义在区间 a1,2a上的偶函

14、数，1a12a0，a ，13f(x) x21b0，3b0.12231f(x) x2 1 在33，3 上 的值域为 1， 27 .15. 解 (1)yf(x)在 R 上为奇函数， f(0)0.又 f(4x5)>0 ，即 f(4x5)> f(0)，5 又 f(x)为增函数， 4x5>0 ，x> .45即不等式 f(4x5)>0 的解集为 x|x>4 .(2)当 x<0 时， x>0 ，f(x) x(5x)1，又 f(x)f(x)，f(x) x(5x)1.x 5 x 1x0f(x)x 5 x 1x<016. 解 (1)令 xy0，则 f(0) f(0)，f(0)0.(2)令y x，得 f(0)f(x)f(x)0， f(x)f(x)，故函数 f(x)是 R 上的奇函数(3)任取