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1、初高中数学衔接教材 目录 引 入 乘法公式第一讲因式分解1. 1 提取公因式1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1. 3 分组分解法1. 4 十字相乘法（重、难点）1. 5 关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c（a 工 0）的因式分解.第二讲 函数与方程2.1一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2. 22.2.12.2.22.2.3二次函数二次函数 y = ax2+ bx+ c 的图象和性质 二次函数的三种表示方式 二次函数的简单应用第三讲 三角形的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:我们还可以通过证明得到下列一些乘法

2、公式:(1)立方和公式)立方差公式(3) 三数和平方公式(4) 两数和立方公式(5) 两数差立方公式 对上面列出的五个公式,例 1 计算：(X 1)(x - 1)(x2- X 1)(x2X 1)解法一：原式=(x2-1) (x2 1)2-X2=(X2- 1)(x4X21)=X6-1 解法二：原式=(x 1)(xx 1)(X-1)(X2X 1)=(x31)(x3-1)=X6-1 .例 2 已知a b 4,ab be a4，求a2b2c2的值. 解：a2b2c2=(abc)2- 2(ab be ac) = 8.练 习1 .填空：121211(1)“2b2=(1b 1a)()；9423(2)(4m)

3、2=16m24m ();(3 )(a 2b -c)2二 a24b2c2()2选择题:(1) 若x2mx k是2个完全平方式，则k等于(A)2m(B)1m2(C)1m2(D) gm24316(2)不论a ,b为何实数，a2 b2-2a-4b 8的值(A)总是正数(B)总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数第一讲因式分解(1) 平方差公式(a -.-b)( a _b) =a2_b2；(2) 完全平方公式2 2 2(a _b) -a十2ab b-(a b)(a2jb b2) m3b3；(a -b)(a2adb2) =a3-b3；(a他讦c)2=a2讦b2讦c2：2(ab讦be诰ac)；(

4、a b)3=a3-3a2b -3ab2-b3；(a _b)3=a3-3a2b - 3ab2_b3 有兴趣的同学可以自己去证明.因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应 了解求根法及待定系数法.1 十字相乘法例 1 分解因式：2(1) X 3X+ 2;2(2) x + 4x 12;(3) x?_(a b)xy aby2;(4)xy -1 x - y.解：（1）如图 1. 1- 1，将二次项 x2分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成一 1 与一 2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x，就是 x2- 3x + 2 中的一次项，所 以，

5、有x 3X+ 2= (x 1)( x 2).:.-6xayx- - byx . -:图 1. 1-1图 1 . 1-2图 1. 1 3图 1 . 1 4说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图来表示（如图 1. 1-2 所示）.(2)由图 1. 1-3,得2x + 4x 12= (x-2)( x+ 6).(3)由图 1. 1-4,得2 2x - (a b) xy aby =(x_ay)(x_by)(4)xy -1 x_y= xy + (x-y) - 1=（x- 1） （ y+1）（如图 1. 1 -5 所示）.课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：(1)x2+5x -6 =

6、_。(2)x2-5x 60(3)x25x 6二0(4)x2-5x -60(5)x2- a 1 x a0(6)x2+18 =06x2+7x +2 =0(8)4m2-12m 9二0(9)5+7x-6x2=0(10)12x2xy-6y2=02、x24x _ = x 3 x _3、若 x2axb - x2 x - 4 贝 Ua =_，b =_、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）在多项式(1)x27x 6(2)x24x 3(3)x26x 8(4)x27x 10(5)X2+15X+44中，有相同因式的是()只有(1) (2)B 只有(3) (4)只有(3) (5)D (1)和(2); (3)和(

7、4); (3)和(5)分解因式a2 8ab -33b2得()a 11 a-3 B、a 11b a-3b C、a-11b a-3b D、a-11b a 3b3、 a b28 a b -20 分解因式得()1. 1 - 1 中的两个 x 用 11、AC2、(3) x?_(a b)xy aby2;(4)xy -1 x - y.Aab10a b-2 B 、 ab5ab-4C a b 2 a b -10 D 、 a b 4 a b-54、若多项式x2_3x a可分解为 x5 xb，则 a、b的值是()A、a =10,b2B 、a =10,b -一2C 、a - -10,b-一25、若 x2mx-10=

8、xa x b 其中 a、b为整数，则 m 的值为(D、a - -10,b二2)A3或9B、_3C、一9D、一3或_9三、把下列各式分解因式21、6(2 pq ) _11(q2p )+32322、a -5a b 6ab3、2y2_4y -6、b4-2b2-82提取公因式法例 2 分解因式：(1)a2b -5i亠 a 5 -b(2)x39 3x23x解： (1). a2(b5)+a(5b)=a(b 5)(a 1)(2)x39 3x23x=(x33x2) (3x 9) = x2(x 3) 3(x 3) =(x 3)(x23).或x39 3x23x= (x33x23x 1) 8 = (x 1)38 =

9、 (x 1)323=(x 1) 2(x 1)2-(x 1) 2 22 二(x 3)(x23)课堂练习：一、填空题：1、 多项式 6x2y-2xy2+4xyz 中各项的公因式是 _ 。2、 m(x -y)+ n(y -x)=(x-y”_ 。3、 m(x _y2十 n(y_xf=(x_y2*_ 。4、 m(x _y_z)+ n(y+z x )= (xy z_5、 m(x -y_z)-x + y+ z = (x_y_z )_ 。6、-13ab2x6-39a3b2x5分解因式得_ 。7、_计算99299 =1、2a2b 4ab2=2ab a b ,()2、am bm m 二 ma b ,()3、-3x

10、36x2-15x=3xx22x-5 ,( )4、x +x4 =x4(x +1 )()二、判断题：(正确的打上“V”，错误的打上“X”)3:公式法例 3 分解因式： (1) -a4+16(2) (3x + 2y f(x y2解：(1) -a416= 42(a2)2=(4 a2)(4 a2) =(4 a2)(2 a)(2 a)(2)(3x +2y2-(x - y2=(3x + 2y+x-y)(3x+2y-x+y)= (4x + y)(2x + 3y)课堂练习一、a2-2ab b2,a2-b2,a3例 4(1) x2-xy 3y -3x(2)2x2xy _y2_4x 5y _6=2x2(y _4)x

11、 _ y25y _6= 2x2(y -4)x-(y-2)(y-3) =(2x-y 2)(x y -3).或2 2 222x xy _ y _4x 5y_6 = (2x xy _ y ) _ (4x _5y) _ 6 =(2x_y)(x y)-(4x_5y)-6=(2x -y 2)(x y -3).课堂练习：用分组分解法分解多项式(1) x2- y2 a2- b2 2ax 2by(2)a2-4ab+4b2-6a+12b+95.关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(aM0的因式分解.若关于 x 的方程 ax2bx 0(a = 0)的两个实数根是 x1、x2,则二次三项式 就可分解为a(x -

12、xj(x-x2).例 5 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：-b3的公因式是1、2、3、判断题：(正确的打上“V”4x2-0.01 二99a2-8b2=(3aS -(4bf =(3a+4bX3a-4b),，错误的打上“X”)x+0.1 I一 x-0.1 i,0于是(1) 当 b2 4ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根b 土 Jb24acXi,2=2a(2) 当 b2 4ac= 0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根bXi= X2=；2a(3)当 b2 4acv0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边(x巴)2定大于或2a等于零，因此，原方程没

13、有实数根.由此可知，一元二次方程 ax2+ bx+ c = 0 (a0)的根的情况可以由 b2 4ac 来判定，我 们把b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0 (az0)的根的判别式，通常用符号“ ”来 表示.综上所述，对于一元二次方程 ax2+ bx + c = 0 (a 0)，有(1)当0 时，方程有两个不相等的实数根-b7b2-4acXi,2=2a(2) 当= 0 时，方程有两个相等的实数根所以，1当 a= 2 时， = 0,所以方程有两个相等的实数根X1= X2= 1;2当 a2时， 0，所以方程有两个不相等的实数根X1= 1，X2= a 1.(3)由于该方程的根的

14、判别式为2 =24X1xa=44a=4(1a)，所以bX1= X2=;2a当 0，所以方程一定有两个不等(3)a + Ja2+4由于该方程的根的判别式为=a Ja2+4a4x1 x( a1)=a4a+4=(a2)，1当 0,即 4(10,即 av1 时，方程有两个不相等的实数根捲=11 - a,X2= 1 -，1 - a;2当= 0,即 a= 1 时，方程有两个相等的实数根Xi=X2=1；3当 1 时，方程没有实数根.说明：在第 3, 4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是， 在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做 分类讨论.分类讨论这一思想

15、方法是高中数学中一个非常重要的方法， 在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0 （a 0）有两个实数根如果 ax2+ bx+ c= 0 （a0）的两根分别是 Xi，X2，那么 xi+ X2= -，xi X2=-.这一a a关系也被称为韦达定理.特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+ px+ q = 0，若 Xi，X2是其两根，由韦达 定理可知X1+ X2= p，X1 X2= q，即p= （X1+X2），q = X1 X2，所以，方程 X + px + q= 0 可化为 X （X1+ X2）X +

16、 X1 X2= 0，由于 X1，X2是一元二次方程 X2+ px+ q= 0 的两根，所以，X1，X2也是一元二次方程 x2（X1+X2）X+ X1 X2= 0.因此有以两个数 X1，X2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是X2 （X1+X2）x+ X1 X2= 0.2例 2 已知方程5x kx - 60的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的 一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两 根之

17、和求出 k的值.解法一： 2 是方程的一个根，2 5X2 +kX26=0，k = 7.所以，方程就为 5x2 7x 6 = 0，解得 X1= 2， X2=3.5所以，方程的另一个根为一-，k 的值为一 7.5解法二：设方程的另一个根为 X1，贝U2 X1=6， X1=-.55则有人=七厂4aC，X2b b24ac2a2a_b +Jb2_4ac片 x2-b - . b2- 4ac -2bb2a2aX Jb-b- . g b2-(b2-4ac)4ac c2a2a4a2所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：4a2a由 （3） + 2=，得 k = 7.55所以，方程的另一个根为-5,k的值为

18、-7.例 3 已知关于 x 的方程 x2+ 2(mi-2)x+ mi+ 4= 0 有两个实数根，并且这两个实数根的 平方和比两个根的积大 21，求 m 的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21 得到关于 m 的方程，从而解得 m 的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此， 其根的判别式应大于零.解：设 Xi，X2是方程的两根，由韦达定理，得2Xi+ X2=- 2(m 2)，Xi X2= m+ 4.2 2/ Xi+ X2 Xi X2= 21，2.(Xi+ X2) 3 Xi X2= 2i，即2(m 2)2 3(m + 4) = 2i，化简，得

19、m i6m i7= 0， 解得 m= i，或 m= i7.当 m= i 时，方程为 X +6X+ 5 = 0， 0，满足题意；当 m= i7 时，方程为 X2+ 30X + 293= 0，= 302- 4Xix293v0,不合题意，舍去.综上，m= i7.说明：(i)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 2i”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值 即可.(i)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.例 4 已知两个数的和为

20、4，积为一 i2，求这两个数.分析：我们可以设出这两个数分别为 X，y，利用二元方程求解出这两个数.也可以利用 韦达定理转化出一元二次方程来求解.解法一：设这两个数分别是X，y，贝UX + y= 4，xy = i2.由，得 y= 4-X，代入，得X(4X)= i2,即X24Xi2= 0， Xi= 2， X2= 6.因此，这两个数是一 2 和 6.解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程X24Xi2= 0的两个根.解这个方程，得Xi= 2， X2= 6.所以，这两个数是2 和 6.说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法 一简捷.例 5 若 Xi和 X2分别是一

21、元二次方程2X2+5X3= 0 的两根.y6,(1)(2)(3)解：(1)求| X1 X2|的值；求 4 丄的值；X-Ix233IX1+ X2. X1和 X2分别是一元二次方程 2X2+ 5x 3 = 0 的两根，53X2，X1X2 -1 2222222523/ | x1 X2| = X1+ x2 2 x1X2= (X1+ X2) 4 x1X2=(_)- 4 ()2 2. | X1一 X2| =25+649+6二丁，4472.(3)5232511X12X22(N X?)2-2x1X2(匚)一2(匚)73372222厂X1X2X1X2(X1X2)/3)299(一2)4X13+ X23= (X1+

22、 X2)( X12 X1X2+ X22) = (X1+ X2) ( X1+ X2)2 3X1X2215(X1X2)25523=(|)x(|)23X(3)22 28说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一 个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 X1和 X2分别是-b亠b24ac儿次方程 ax2+ bx+ c = 0 (a0),则Xi2a7X2 =-72aX1 X2| =-b &b24ac-bJb24ac12 Jb24ac2a2aH 2a4ac /i .a |a|于是有下面的结论:-b Jb24aC若 X1和 X2分别是一元二次方程 a

23、x2+ bx+ c= 0 (a 0),则|x1一 X2| =(其中 = b|a|4ac).今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2 x + a 4 = 0 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a的取值范围.解：设 X1, X2是方程的两根，则X1X2=a4v0，且 = ( 1) 4( a 4) 0.由得由得av4,17av .a 的取值范围是 av4.4练 习1.选择题：(1)方程(A)有一个实数根-2、3kx 3k 0 的根的情况是()(B)有两个不相等的实数根2 .填空:(1)围是()(A) m-44(C) m1，且m04

24、4(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根(2)若关于 x 的方程 mX + (2 m+ 1)x + m= 0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范若方程 x2 3x 1 = 0 的两根分别是 X1和 X2,则丄丄x-ix2方程 mf+ x 2m= 0 (m 0)的根的情况是 以一 3 和 1 为根的一元二次方程是 _(2)(3)3. 已知 心2一 8a_16 |b-1| = 0，当 k 取何值时，方程 kx2+ ax + b= 0 有两个不相等的实数根?4. 已知方程 x2 3x 1 = 0 的两根为 X1和 X2,求(X1 3)( X2 3)的值.习题 2.1A 组1 .选择题：1)

25、已知关于 X 的方程 x2+ kx 2 = 0 的一个根是 1,则它的另一个根是()A) 3( B) 3(C) 2(2)下列四个说法：1方程 X + 2x 7 = 0 的两根之和为一 2,两根之积为一 7;2方程 x2 2x + 7= 0 的两根之和为一 2,两根之积为 7;3方程 3 x2 7 = 0 的两根之和为 0,两根之积为-7；34方程 3 x2+ 2x= 0 的两根之和为一 2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是A) 1 个(D)(C) 3 个B) 2 个(3)关于 x 的一元二次方程 ax2 5x + a2+ a= 0 的一个根是A) 0(B) 1(C) 12 .填空：(1)

26、方程 kX + 4x 1 = 0 的两根之和为一 2,贝 U k=_(2)(3)0,(D)则 a 的值是()(D) 0,或一 1方程 2X X 4= 0 的两根为a,B,贝U+B乞_.已知关于 x 的方程 x2 ax 3a = 0 的一个根是一 2,则它的另一个根是(4)2方程 2x + 2x 1 = 0 的两根为 X1和 X2,则| x1 X2| =3. 试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 nix2 (2 m+ 1) x + 1 = 0 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4. 求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x2 7x 1= 0 各根的相反数.B

27、组1 .选择题：若关于 x 的方程 x2+ (k2 1) x + k + 1 = 0 的两根互为相反数，贝 U k 的值为 ( )(D) 0(C) 1(A) 1,或12 .填空：(1)若 mn 是方程 X2+ 2005X1= 0 的两个实数根，则 mn+ mrn mn 的值等于(B) 1(2)如果 a, b 是方程 x2+ x 1= 0 的两个实数根，那么代数式a3+ a2b + ab2+ b3的值是_.3. 已知关于 x 的方程 x2 kx 2 = 0.(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；(2) 设方程的两根为 xi和 X2，如果 2(xi+ X2) X1X2，求实数 k 的取值范围.4

28、. 一元二次方程 ax2+ bx+ c = 0 (a0)的两根为 Xi和 X2.求：(1) 1 X1 X2| 和XiX2；2(2) X13+ X23.5. 关于 x 的方程 x2+4x+ m= 0 的两根为 X1, X2满足| x1 X2I = 2,求实数 m 的值.C 组1 .选择题：(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2 8x+ 7= 0 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于(A),3(B) 3(C) 6(D) 9(2) 若 X1，X2是方程 2x2 4x + 1 = 0 的两个根，贝U冬竺的值为()X2X-I3(A) 6(B) 4(C) 3( D)-2(3) 如果关于 x

29、 的方程 x2 2(1 m)x + m= 0 有两实数根a，B，则a+B的取值范围为( )11(A)a + B(B)a+B=(C)a + B1(D)a+B =122(4) 已知 a，b，c 是 ABC 勺三边长，那么方程 cx2+ (a+ b)x + - = 0 的根的情况是4(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)有两个异号实数根2. 填空：若方程 x2 8x + m= 0 的两根为 X1，X2，且 3x1+ 2x2= 18，则 m=_.3.已知 X1，X2是关于 x 的一元二次方程 4kx2 4kx + k + 1 = 0 的两个实数根.3(1)是否存在实数

30、 k，使(2x1 X2)( x1 2 x2)=成立？若存在，求出 k 的值；若不2存在，说明理由；(2) 求使互生2 的值为整数的实数 k 的整数值；x2X_j(3) 若 k = 2，二互，试求的值.X224. 已知关于 X 的方程x2_(m_2)x-m-0.4(1) 求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；(2) 若这个方程的两个实数根 X1，X2满足|X2|=|X1| + 2，求 m 的值及相应的 X1，X2.5. 若关于 x 的方程 x2+ x + a= 0 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数 a 的取值范围.2. 2 二次函数2.2.1二次函数 y= ax2+ b

31、x+ c 的图象和性质情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图(1)y=x2(2) y=x2y = x22x 3 教师可采用计算机绘图软件辅助教学函数 y= ax2与 y = x2的图象之间存在怎样的关系?- 1 -问题 1为了研究这一问题，我们可以先画出 y 二 2x2, y 二-x2, y 二一 2x2的图象，通过这些函数2图象与函数 y=x2的图象之间的关系，推导出函数 y 二 ax2与 y= x2的图象之间所存在的关系. 先画出函数 y= x2，y = 2x2的图象.的 x2的值扩2x2的图象函数图象之图象各点的图 2.2-1x2的图象各点的纵坐标变为原来的先列表：1

32、2=x，y =2的图象之间通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数 y= ax2(a0)的图象可以由 y = 二次函数 y = ax2(a0)中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口 的大小.问题 2 函数 y= a(x + h)2+ k 与 y= ax2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图 系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函 1)2+ 1 与 y 二 2x2的图象(如图 2 2 所示)，从 我们不难发现，只要把函数 y 二 2x2的图象向左 位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y+ 1 的图象.这两个函数图象之间具有“形状

33、不同”的特点.类似地，还可以通过画函数 y 二3x2, y + 1 的图象，研究它们图象之间的相互关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数 y= a(x+ h)2+ k(a0)中，a 决定 图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图 移，而且“ h 正左移，h 负右移”；k 决定了二 的上下平移，而且“ k 正上移，k 负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数22b2由于 y = ax + bx+ c = a(x +x) + c = a(xa制x丹2中，2a 4a|y2y= 2(x+ 1) + 1y= 2(x+ 1)22y= 2x图 2.2-2a 倍得到.在象之间的关数

34、y=2(x+ 函数的同学 平移一个单=2(x + 1)2相同，位置-3(x - 1)2了二次函数象的左右平次函数图象y = ax2+ bx+ c(a0)的图象的方法:,b| b2、一b2+x+2) + C a 4a4a所以, 移得到的,(1)大而增大；当y = ax2+ bx+ c（ a0）的图象可以看作是将函数 y = ax2的图象作左右平移、上下平于是，二次函数 y= ax + bx+ c（a 0）具有下列性质：当 a0 时，函数 y = ax2+ bx + c 图象开口向上；顶点坐标为（，a-；当 xv时，y 随着 x 的增大而减小；当 x -时，2a2a2ax 二时，函数取最小值 y=

35、4acb.2a4ab 4ac-b2、），对称4a随着 x 的增4ac -b2） ，4ab；当 x v -时，y 随着 x 的增大而增大；当 x - 时，y 随着 x2a2a2a时，函数取最大值 y 二4acb.2a4a上述二次函数的性质可以分别通过图 2. 2-3 和图 2. 2-4 直观地表示出来因此，在 今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.(2)对称轴为直线当 av0 时，函数 y= ax2+ bx+ c 图象开口向下；顶点坐标为（b2ab2a的增大而减小；当 x=)求二次函数 y = 3x2-6x + 1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值

36、（或最小值），并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象.2 2解：ty = 3x - 6x+ 1 = - 3（x + 1） + 4，函数图象的开口向下； 对称轴是直线 x =- 1； 顶点坐标为（一 1, 4）； 当 x = 1 时，函数 y 取最大值 y =4； 当 xv-1 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x- 1 着 x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点 A（ - 1, 4），与 x 轴交于B（2 33,0）和 C（ 23 3Q），与 轴的交点为 咲 0,1），33时，y 随占八、过这五点画出图象(如图 2-5 所示).说明：从这个例题可以看

37、出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键 点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.函数 y= ax2+ bx+ c 图象作图要领：(1)确定开口方向：由二次项系数 a 决定(2)确定对称轴：对称轴方程为 x=-b2a(3) 确定图象与 x 轴的交点情况，若 0 则与 x 轴有两个交点，可由方程 x2+ bx + c=0求出若 =0 则与 x 轴有一个交点，可由方程 x2+ bx + c=0 求出 若 0则与 x 轴有无交点。(4)确定图象与 y 轴的交点情况,令 x=0 得出 y=c，所以交点坐标为(0，c)(5)由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图(1)

38、y = x2- x - 6 (2) y = x22x 1(3) y = - x21例 2 某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x (元)与产品的日销售 量 y (件)之间关系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的 销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润=日销售量 yx(销售价 x-120)，日销售量 y 又是销售价 x 的一 次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系

39、求出每天利润的最大值.解：由于 y 是 x 的一次函数，于是，设 y= kx + (B)将 x= 130, y= 70； x = 150，y= 50 代入方程，有70 =130k b,50 =150k b,解得 k = 1，b= 200.y= x+ 200.设每天的利润为 z (元)，则2z = ( x+200)( x 120) = x + 320 x 24000=(x 160)2+ 1600，当 x = 160 时，z 取最大值 1600.答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为 1600 元.例 3 把二次函数 y= x2+ bx+ c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4

40、 个单位，得到 函数 y=x2的图像，求 b，c 的值.解法一：y = x2+ bx + c = (x+b)2，把它的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 424个单位，得到y=(x 4)22的图像，也就是函数 y = x2的图像，所以，-b_4 =0,22解得 b= 8，c = 14.b2c 2=0,i4解法二：把二次函数 y 二 x2+ bx + c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得 到函数 y 二 x2的图像，等价于把二次函数 y 二 x2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单 位，得到函数 y= x2+ bx+ c 的图像.由于把二次函数 y 二 x2的

41、图像向下平移 2 个单位， 再向右平移 4 个单位， 得到函数 y 二(x 4)2+2 的图像，即为 y = x2 8x +14 的图像，.函数 y= x2 8x+ 14 与函数 y= x2+ bx+ c 表示同一个函数，二 b= 8， c= 14.说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要 牢固掌握二次函数图像的变换规律.这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解 决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等 价的问题来解，具有计算量小的优点.今后， 我们在解题时， 可以根据题目的具体情况

42、，选 择恰当的方法来解决问题.例 4 已知函数 y= x2， 2x 2，求该函数的最大值与最小值，并求出 函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值.分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 解：(1)当 a= 2 时，函数 y = x2的图象仅仅对应着一个点 大值和最小值都是 4,此时 x 二2;(2) 当一 2vav0 时，由图 2. 2 6可知，当 x= 2 时，a 时，函数取最小值 y = a2；(3) 当 0Wav2 时，由图 2. 2 6可知，当 x = 2 时，函数取最大值 y = 4;当 x= 0 时，函数取最小值 y = 0;(4) 当 a2时，由图 函数取最

43、小值 y=0.说明：在本例 中，利用了分类讨论 的方法，对 a 的所有 可能情形进行讨 论此外，本例中所 研究的二次函数的 自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来 直观地解决问题. 练 习 1 选择题：(1) 下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是(A) y= 2x2(B) y = 2x2 4x+ 2(C) y= 2x2 1(D) y = 2x2 4x(2) 函数 y = 2(x 1)2+ 2 是将函数 y = 2x21r-y4/K/丨3/2ax*a 的取值进行讨论.(2, 4)，所以，函数的最函数取最大值 y= 4；当 x 二2. 2-

44、6可知，当 x = a 时，函数取最大值图 2.2-6(1)_二次函数 y= 2x2- m灶 n 图象的顶点坐标为(1 , - 2)，则 m=_ , n=_.(2)_ 已知二次函数 y = x2+(m-2)x-2m,当 m=_ 时，函数图象的顶点在 y 轴上；当 m二_ 时，函数图象的顶点在 x 轴上；当 m时，函数图象经过原点.(3)_ 函数 y = 3(x + 2)2+ 5 的图象的开口向 _ ，对称轴为 _，顶点坐标为_ ;当 x 二_ 时，函数取最_ 值 y 二_;当 x时，y 随着 x 的增大而减小3. 求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况

45、, 并画出其图象.2 2(1) y = x 2x 3；(2) y= 1 + 6 x x .4.已知函数 y= x2 2x + 3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x 的值：(1)x2; (2)x2; (3)2x1； (4)0 总 0 时，抛物线 y= ax2+ bx+ c(az0)与 x 轴有两个交点；反过来，若抛物线 y = ax2+bx+ c(az0)与 x 轴有两个交点，则 0 也成立.(2)当= 0 时，抛物线 y = ax2+ bx+ c(az0)与 x 轴有一个交点(抛物线的顶点)；反 过(A) 向左平移 1 个

46、单位、(B) 向右平移 2 个单位、(C) 向下平移 2 个单位、(D) 向上平移 2 个单位、2 填空题再向上平移 2 个单位得到的再向上平移 1 个单位得到的再向右平移 1 个单位得到的再向右平移 1 个单位得到的来，若抛物线 y = ax2+ bx+ c(az0)与 x 轴有一个交点，则 = 0 也成立.(3)当0 时，抛物线 y= ax2+ bx+ c(az0)与 x 轴没有交点；反过来，若抛物线y=ax2+ bx + c(az0)与 x 轴没有交点，则 0 也成立.于是，若抛物线 y= ax2+ bx + c(az0)与 x 轴有两个交点 A(X1，0)，B(X2，0)，则 X1，X

47、2是方程ax2+ bx+ c = 0 的两根，所以bcXl+ X2=, XiX2=aa即-=-(Xi+ X2),- = XlX2.aa所以，y = ax2+ bX+ c = a(X2 -X-)a a2=aX(Xi+X2)X+ X1X2=a(x Xi) ( x X2).由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线 y= ax2+ bx+ c(a0)与 x 轴交于 A(Xi, 0) , B(X2, 0)两点，则其函数关系式可 以表示为 y = a(x xi) ( xX2) ( a 工 0).这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3.交点式：y = a(xxi) ( x X2) ( a0)，其中

48、Xi, X2是二次函数图象与 x 轴交点的横 坐标.今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.例 i 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y = x + i 上，并且图象经过点 (3, i),求二次函数的解析式.分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件一一最大值、顶点位置，从而可以 将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a.解：二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标， 顶点的纵坐标为 2.又顶点在直线 y= x+ i 上, 所以，2 = x + i , x= i.顶点坐标

49、是(i, 2).设该二次函数的解析式为y二a(x2)2i(a：0),二次函数的图像经过点(3, i),- -i = a(3 - 2 i，解得 a = 2.二次函数的解析式为y=-2(x-2)27，即 y= 2x2+ 8x 7.说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然 后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题.因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件， 并巧妙地利用条件简捷地解决问题.例 2 已知二次函数的图象过点(一 3, 0) , (i , 0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二 次函数的表达式.分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实

50、际上就是二次函数的图 象与 x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式.解法一：二次函数的图象过点(一 3, 0) , (i , 0), 可设二次函数为 y = a(x + 3) ( x i) ( a0), 展开，得y = ax2+ 2ax 3a,2 2顶点的纵坐标为也翌4a,4a由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2,1 | 4a| = 2, 即卩 a= _丄.2所以，二次函数的表达式为 y =1x23，或 y=1xx -.2 2 2 2分析二：由于二次函数的图象过点(一 3, 0) , (1 , 0)，所以，对称轴为直线 x= 1,又 由顶点到 x 轴的距离为 2，可知顶点的纵坐

51、标为 2，或一 2，于是，又可以将二次函数的表达 式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(一 3, 0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式.解法二：二次函数的图象过点(一 3, 0) , (1 , 0),二对称轴为直线 x =一 1.又顶点到 x 轴的距离为 2,顶点的纵坐标为 2,或一 2.于是可设二次函数为 y = a(x +1)2+ 2,或 y= a(x +1)2 2, 由于函数图象过点(1 , 0),2 20= a(1 + 1) + 2,或 0 = a(1 + 1) 2.1、1 a=-,或 a=2 2所以，所求的二次函数为 y= 2(x+ 1)2+ 2,或 y =(x + 1)2 2

52、.2 2说明：上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点 式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题.例 3 已知二次函数的图象过点(一 1, 22) , (0， 8) , (2 , 8)，求此二次函数的表达 式.解：设该二次函数为 y = ax2+ bx+ c(a0).由函数图象过点(一 1, 22), (0， 8), (2 , 8)，可得-22二a -b c, _8 =c,g =4a +2b +c,解得 a= 2, b= 12, c = 8.所以，所求的二次函数为 y= 2x2+ 12x 8.通过上面的几道例题，同学们能否

53、归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶 点式、交点式来求二次函数的表达式？练 习1 .选择题：1)函数 y = x2+ x 1 图象与 x 轴的交点个数是()(A) 0 个(B) 1 个(C) 2 个(D)无法确定12(2)函数 y = 2 ( x + 1) + 2 的顶点坐标是()(A) (1 , 2)(B) (1 , 2)(C) ( 1, 2)(D) ( 1, 2)2.填空：(1) 已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(一 1, 0)和(2 , 0)，则该二次函数的解析式可设为 y= a(_ az0).(2)_二次函数 y= x2+2；3x + 1 的函数图象与 x 轴两交点之间

54、的距离为 _.3.根据下列条件，求二次函数的解析式.(1)图象经过点(1 , 2) , (0， 3) , ( 1, 6);(2)当 x= 3 时，函数有最小值 5,且经过点(1 , 11);(3)函数图象与 x 轴交于两点(1 2, 0)和(1 + 2, 0)，并与 y 轴交于(0, 2).223 二次函数的简单应用、函数图象的平移变换与对称变换1 平移变换问题 1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究 二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点一一只改变函数图象 的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，

55、只需利用二次函数图象 的顶点式研究其顶点的位置即可.例 1 求把二次函数 y = x2 4x + 3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解 析式：(1) 向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位；(2) 向上平移 3 个单位，向左平移 2 个单位.分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数)，所以只改变二次函数图象的顶点位置 (即只改变一次项和常数项)，所以，首先将二次函数的解 析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图 像所对应的解析式.解：二次函数 y = 2x2 4x 3 的解析式可变为y 二 2(x 1)

56、2 1，其顶点坐标为(1， 1).(1) 把函数 y = 2(x 1)2 1 的图象向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位后，其函数图 象的顶点坐标是(3， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y = 2(x 3)2 2.(2) 把函数 y 二 2(x 1)2 1 的图象向上平移 3 个单位，向左平移 2 个单位后，其函数图 象的顶点坐标是(一 1，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为2y = 2(x +1) + 2.2 对称变换问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

57、我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这 样的特点一一只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图 象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题.例 2 求把二次函数 y= 2x2 4x + 1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：(1) 直线 x = 1 ；(2) 直线 y = 1.解：(1)如图 2. 2 7,把二次函 4x+ 1 的图象关于直线 x = 1 作对称 改变图象的顶点位置，不改变其形状.由于 y = 2x2 4x + 1= 2(x 1)2数 y = 2x2 4x + 1 图象的顶点为 A(1, 对称后所得到图象的顶点为 A1( 3, 二次函数 y= 2x2 4x + 1 的图象关于 对称后所得到图象的函数解析式为y1，即卩 y= 2x2+ 12x+ 17.数 y = 2x2变换后，只1,可知，函1)，所以，1)，所以，直线 x = 1=2(x + 3)2(2)如图 2. 2-8,把二次函数