第1-4节-n阶行列式的定义

1、2021/8/611 物电学院物电学院计算物理教研室计算物理教研室 线性代数Linear Algebra 2021/8/622 重要性重要性 线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性与逻辑性，是高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，也是硕士研究生入学全国统一考试中必考的数学课程之一。广泛性广泛性 由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。尤其在计算机日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要。主要内容主要内容 本课程主要讲授行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换、向量组

2、的线性相关性、矩阵的相似变换、二次型等共六章内容教学要求教学要求 通过教学，使大家大家掌握该课程的基本理论与方法，培养创造性分析、思维和逻辑推理能力，培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。Summarize 2021/8/63考试方法考试方法 期末总评成绩满分100分, 按如下三部分折算 ： 1) 平时成绩：20% (作业+考勤) 总共10次作业，每次4道计算题。缺交一次扣4分，迟交一次扣2分； 课堂点名共10次，缺席一次扣4分，迟到一次扣2分 2) 期中考试：20% 3) 期末考试：60% 参考书目参考书目1、杨荫华， 线性代数， 北京大学出版社，

3、 20042、陈龙玄，钟立敏 线性代数简明教程， 中国科学技术大学出版社，19973、线性代数, 同济大学应用数学系 编，高等教育出版社，20054、王中良, 线性代数解题指导-概念、方法与技巧，北京大学出版社，20055、线性代数附册学习辅导与习题选解，同济大学应用数学系编，高等教育出版 社，20042021/8/64 总目录总目录 第一章第一章 行列式行列式（6课时）课时）1. 二、三阶行列式的定义 2 全排列及其逆序数3 n阶行列式的定义 4 对换5 行列式的主要性质 6 行列式按行(列)展开 7 克拉默法则 第二章 矩阵及其运算（5课时）1 矩阵 2 矩阵的运算 3 逆矩阵 4 矩阵的

4、分块 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（5课时）3.1 矩阵的初等变换 3.2 初等矩阵 3.3 矩阵的秩 3.4 线性方程组的解 第四章 向量组的线性相关性（8课时）4.1 向量组及其线性组合 4.2. 向量组的线性相关性4.3 向量组的秩 4.4 线性方程组的解的结构4.5 向量空间第五章第五章 相似矩阵及二次型（相似矩阵及二次型（8课时）课时） 5.1 向量的内积、长度及正交性 5.2. 方阵的特征值和特征向量5.3 相似矩阵 5.4 对称矩阵的对角化5.5 二次型及其标准形 5.6 用配方法化二次型成标准形5.7 正定二次型2021/8/655 物电学院物电学院计算物理教研室计算物理

5、教研室 线性代数2021/8/66 目目 录录 1 二、三阶行列式二、三阶行列式 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 3 n阶行列式的定义阶行列式的定义 4 对换对换 5 行列式的性质行列式的性质 6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 7 克莱姆法则克莱姆法则第一章第一章 行列式行列式2021/8/67 一、内容提要一、内容提要 行列式是研究线性代数的一个重要工具，近代被广泛行列式是研究线性代数的一个重要工具，近代被广泛运用到理工科各个领域，特别在工程技术和科学研究中，运用到理工科各个领域，特别在工程技术和科学研究中，有很多问题需要用到有很多问题需要用到“行列式行列式”这个这个 数学工具

6、。数学工具。 本章主要讨论如下几个问题：本章主要讨论如下几个问题： 1、行列式的概念及性质；、行列式的概念及性质； 2、行列式的计算；、行列式的计算； 3、展开法则；、展开法则； 4、Cramer 法则求解方程组。法则求解方程组。第一章第一章 行列式行列式2021/8/68物电学院物电学院NoImageNoImageNoImage一、引例一、引例 本节从二元方程组的解法入手，介绍二、三阶行列式的概念以及学会用对角线法则求二、三阶行列式n阶行列式的概念源于对线性方程组的研究：阶行列式的概念源于对线性方程组的研究：例例 设有二元线性方程组设有二元线性方程组 12212211122122111 22

7、1 1211221221baa bxa aa aa ba bxa aa a第一节第一节 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式利用加减消元法利用加减消元法: (1)*a22-(2)*a12 和和 (1)*a21-(2)*a11)2() 1 (22221211212111bxaxabxaxa 式中的分子和分母都是方程式中的分子和分母都是方程组中四个组中四个系系数分两对相乘再相减数分两对相乘再相减而得。而得。2021/8/69若若112212210a aa a 则该线性方程组有唯一解，且可用消元法求则该线性方程组有唯一解，且可用消元法求出出, ,其解可以写成如下形式其解可以写成如下形式 ：1221221

8、1122122111 221 1211221221baa bxa aa aa ba bxa aa a2021/8/61010 此解的公式不易记此解的公式不易记, ,为便于记忆和应用为便于记忆和应用, , 萨鲁斯萨鲁斯( (Sarrus.P.F.)创造性地引进行列式的记号创造性地引进行列式的记号: :定义定义: :设设 是四个数，称是四个数，称为二阶行列式。为二阶行列式。 称为这个二阶行列式的称为这个二阶行列式的(i,j)元素，元素， 两个下角标两个下角标i, j分别表示所在的行和列的序号，分别表示所在的行和列的序号， 第一个下标第一个下标 i 称为称为行行标，表明该元素位于第标，表明该元素位于

9、第i 行；行； 第二个下标第二个下标 j 称为称为列列标，表明该元素位于第标，表明该元素位于第 j 列。列。( ,1,2)ija i j 22211211aaaa21122211aaaa11122122,aaaa2021/8/61111a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa 1221.a a二、二阶行列式的计算二、二阶行列式的计算 若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆。分别称式中二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆。分别

10、称式中红红、兰兰线为主、副对角线。线为主、副对角线。2021/8/612NoImage对上面线性方程组的解，若用行列式记号，令：对上面线性方程组的解，若用行列式记号，令：D22211211aaaa021122211aaaa1D212221222121baababab2112112211112abbababaD11 1122121 12222,.a xa xba xa xb12122aDa12bb11221aDa12bb2021/8/613物电学院物电学院NoImage解可写成解可写成.;2211DDxDDx 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaa

11、ababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaDDx 2021/8/614例如，对线性方程组例如，对线性方程组221532121xxxx由于由于0) 1(5232153D, 8252122511D, 7) 1(12321132D二元一次方程组的解为二元一次方程组的解为：.117;1182211DDxDDx2021/8/615NoImageNoImageNoImage类似地，为了得出关于三元线性方程组：类似地，为了得出关于三元线性方程组： 11 1122133121 1222233231 13223333a x

12、a xa xba xa xa xba xa xa xb的解法，引入三阶行列式：的解法，引入三阶行列式：111213212223313233933aaaaaaaaa设有 个数排成 行 列的数表2021/8/616定义定义: 称称= 332112322311312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa上式称为数表所确定的上式称为数表所确定的. .三、三阶行列式三、三阶行列式 2021/8/617物电学院物电学院四、三阶行列式的计算四、三阶行列式的计算333231232221131211aaaaaaaaaD

13、 列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，红线上三元素的乘积冠以正号， 蓝线上三元素的乘积冠以负号蓝线上三元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 2021/8/618 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa系数行列式系数行列式3332312322

14、21131211aaaaaaaaaD , 0 附录附录: 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2. 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, , 不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项三项 为负为负.2021/8/619 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 若记若记同理求出同理求出D2, D3,3333123221131112abaabaabaD 1112

15、132122231323.aabDaabaab则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:,11DDx ,22DDx .33DDx 2021/8/620解：解： 按对角线法则有：按对角线法则有：例题例题2 计算三阶行列式计算三阶行列式124221342D 1242213421 2 ( 2)2 1 ( 3)( 4) ( 2) 4( 4) 2 ( 3) 1 1 42 ( 2) ( 2)4632482414D 2021/8/621例题例题3 求解方程求解方程211123049xx解：方程左端的三阶行列式解：方程左端的三阶行列式2223418921256Dxxxxxx2560 x=2,x=3xx由解

16、得：或2021/8/62222 NoImageNoImage 为了给出为了给出n阶行列式的定义，以及展开表达式一般形阶行列式的定义，以及展开表达式一般形式，先介绍式，先介绍“全全排列排列”及其及其“逆序数逆序数”的概念。的概念。 1 1【排列排列】 permutation 把把n个不同的元素排成一列，个不同的元素排成一列，叫做这叫做这n个元素的全排列，或个元素的全排列，或n阶排列（简称排列）。阶排列（简称排列）。例如例如:自然数自然数1, 2 的排列共有两种：的排列共有两种： 12, 21 自然数自然数1, 2, 3的排列共有六种：的排列共有六种： 123，132， 213，231，312，3

17、21 推广推广: n个不同元素的排列共有个不同元素的排列共有 n! 种。其中种。其中, n 阶排列中阶排列中都有一个从小到大的排列都有一个从小到大的排列1,2,3,.n,称为自然顺序排列称为自然顺序排列(或标准排列或标准排列). 用用Pn表示表示n个元素所成全排列的个数，则个元素所成全排列的个数，则Pnn！ 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数2021/8/623物电学院物电学院线性代数23 NoImageNoImageNoImage 为了方便起见，今后把自然数为了方便起见，今后把自然数 1,2,n 视为视为n个个不同的元素的代表。用不同的元素的代表。用Pn表示这表示这n个不同的元素个不同的元

18、素中的一个排列中的一个排列(Pn=1,2,n) ,且且 时时 于是于是 便是便是1,2,n的一个排列。的一个排列。ijijpp123np p pp2021/8/6242 2【逆【逆序序】 an inverseorder 在一个排列中在一个排列中,如果某两个元素比较如果某两个元素比较,前面的数大于后前面的数大于后面的数面的数,就称这两个数构成一个逆序就称这两个数构成一个逆序; 如在如在n个不同自然数的一个排列中个不同自然数的一个排列中,某个数字的右边有某个数字的右边有ti个比它小的数字个比它小的数字,则说明该数字在此排列中有则说明该数字在此排列中有ti个逆序。个逆序。例如例如: 有一排列有一排列

19、: 31254, 31254 其中其中,3 后面比后面比3小的有小的有1,2两个数字两个数字, 则则3在该排列中有两个逆序在该排列中有两个逆序.一个排列中所有数字的逆序数之和称为该排列的逆序一个排列中所有数字的逆序数之和称为该排列的逆序数。对于排列数。对于排列 把这个排列中各数的反序之把这个排列中各数的反序之和称为这个排列的逆序数和称为这个排列的逆序数. 记为记为【逆序数逆序数】：number of the inverse-orders12np pp12121()nnniitt p pptttt2021/8/62525 NoImage例如例如排列的逆序数记作：排列的逆序数记作：(1,2, )0

20、tn (23514)1 12004t ( (1)(2)321)(1)(2)2 1 0(1)2t n nnnnn n (23541)1 12 1 05t 1212()nntt p ppttt2021/8/6263 3【计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法】方法方法1 1分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数

21、码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆逆序数序数.方法方法2 2例例1 1 求排列求排列32514的的逆逆序数序数.解解在排列在排列32514中中,3排在首位，逆序数为排在首位，逆序数为0;2的前面有的前面有一个大的数一个大的数,逆序数逆序数1； 5是最大的数，其是最大的数，其前前面没有大数面没有大数,逆序数为逆序数为0;2021/8/627物电学院物电学院线性代数3 2 5 1 401031于是排列于是排列32514的的逆逆序数为序数为:1的前面有的前面有3个比个比1大的

22、数大的数,其其逆逆序数为序数为3;4的前面有的前面有1个大数个大数,故故逆逆逆序数为逆序数为1;(32514)0 1 03 15tt 2021/8/628例如例如 2431 45321 12nt(2431) = 4 偶排列偶排列 t(45321) = 9 奇排列奇排列t (12n) = 0偶排列偶排列注意注意: 1、标准排列是偶排列、标准排列是偶排列.4 4【排列的奇偶性排列的奇偶性】奇排列奇排列（odd permutation） 逆逆序数为奇数的排列称为奇排列序数为奇数的排列称为奇排列;偶排列偶排列（even permutation） 逆逆序数为偶数的排列称为偶排列；序数为偶数的排列称为偶排

23、列； 2021/8/629例例 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 2179863541解解4536897125443100100 1 00 1 344518t 此排列为此排列为偶排列偶排列.2021/8/630 321212 nnn解解(2)(1)nn ,21 nn当当 时为偶排列；时为偶排列；14 ,4 kkn当当 时为奇排列时为奇排列.34 , 24 kkn0t 1 32121 nnn2102021/8/631物电学院物电学院线性代数 kkkkkk132322212123 解解0 t kkk 21112,2k 当当 为偶数时，排列为偶排列，

24、为偶数时，排列为偶排列，k当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.k1 1 2 kkk 112 kkkkk0 1 1 2 2 k2021/8/6322 2 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3 计算计算排列排列逆序数常用的方法有逆序数常用的方法有2 种种.1 1 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n!.n 小结小结4 n 阶全排列逆序数的范围阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数最小的逆序总数: 最大的逆序总数最大的逆序总数: 一般情形为一般情形为 : 2021/8/6333 n阶行列式的定义阶行列式的定义 333231232221131

25、211aaaaaaaaaD 列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，红线上三元素的乘积冠以正号， 蓝线上三元素的乘积冠以负号蓝线上三元素的乘积冠以负号注意注意 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 1、三阶行列、三阶行列式的结构式的结构2021/8/634从上式可以看出三阶行列式展开式的特点从上式可以看出三阶行列式展开式的特点:1）三阶行列式展开式中共有）三阶行列式展开式中共有

26、3!=6项；项；2）各项都有）各项都有3个因子个因子,且是每行每列中各选一个不同的且是每行每列中各选一个不同的 元的积；元的积；3）每项都有确定的符号。）每项都有确定的符号。 把上等式右端展开的每项的三个因子按它们在行列把上等式右端展开的每项的三个因子按它们在行列 式中行的顺序排成式中行的顺序排成: 即每项三个元的行标恰好是按自然顺序排列而列标即每项三个元的行标恰好是按自然顺序排列而列标排成排成p1p2p3,构成自然数构成自然数123的一个排列的一个排列,共有共有3!=6种排列种排列.其中偶排列前带正号其中偶排列前带正号,奇排列前带负号奇排列前带负号.因此，二、三阶行列式展开式可以改写如下因此

27、，二、三阶行列式展开式可以改写如下: 以上结果可以很自然地推广到以上结果可以很自然地推广到n 阶情形阶情形 1212121112()122122( 1)t p pppp paaaaaa123123pppaaa123123111213212223123313233( 1)tpppp p paaaaaaaaaaaa2021/8/6352 2【定义】【定义】 n n2 2个元素排成个元素排成n n行行n n列，称列，称 为为n n阶行列式，其中阶行列式，其中是对所有是对所有n n阶排列阶排列取和。取和。此行列式可简记此行列式可简记()ija或或 ， 。ijnDa记一阶行列式记一阶行列式 ；1111a

28、a1211121212221212( 1)nntnppnpnnnnaaaaaaaaaaaadetij(a )12np pp2021/8/6361212np ppnt其中为自然数 ， ， ， 的一个排列，为这个排列的逆序数12111212122212t1p2 p1nnnnnnnnpaaaaaaDaaaaaa 2021/8/6373 【n阶行列式的等价定义阶行列式的等价定义】：nnnnnjijijijjjjjjiiinijaaaaD 2211212121)()() 1(nnnnnjijijijjjjjjiiiaaa 2211212121)()() 1() 1(1 2121 12 212121212

29、()()()12( 1)( 1)( 1)nnn nnnnnj jjiiiiji ji ji jniiiiiiijiii nniiiDaa aaDaa aa 2021/8/6384 4【说明说明】1）行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个）行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个 数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2） 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n3） n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n个元个元素的乘积素的乘积;正负号由下标排列的逆序数决定正负号由下标排列的逆序数决定

30、.4）一阶行列式）一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 2021/8/6395 5【几个特殊行列式】：【几个特殊行列式】： 例例1 1 上三角行列式、下三角行列式、对角形行列式的上三角行列式、下三角行列式、对角形行列式的值均为主对角线元素的乘积。值均为主对角线元素的乘积。上三角行列式上三角行列式下三角行列式下三角行列式对角形行列式对角形行列式副上（下）三角形行列式、副对角形行列式的绝对值是副对角线元素之乘积：副上（下）三角形行列式、副对角形行列式的绝对值是副对角线元素之乘积： 2021/8/6406【实例分析】：【实例分析】：例例1 1 计算上计算上三角行列式三角行列

31、式nnnnaaaaaa00022211211展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaa解解 分析分析 用展开定义求：用展开定义求：nnnnaaaaaa00022211211 1211 221nnna aa .2211nnaaa 2021/8/641例例2 2 计算下计算下三角行列式三角行列式1121221200nnnnaaaaaa展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn1231,2,3,nppp

32、n所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解 分析分析 用展开定义求：用展开定义求： 11 221tnna aa .2211nnaaa 1121221200nnnnaaaaaa11221tnna aa2021/8/642例例3?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 2021/8/643n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式2021/8/644n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.

33、若记若记,1, iniia 则依行列式定义则依行列式定义11,21nnnaaa 证毕证毕2021/8/645例例5 5计算对角行列式计算对角行列式0004003002001000展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解 分析分析0004003002001000 432111 2 3 4 .24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa413223142021/8/6461、分别用两种方法求排列、分别用

34、两种方法求排列16352487的逆序数的逆序数.2、已知、已知 1211123111211xxxxxf .3的的系系数数求求 x3 3 用行列式的定义计算用行列式的定义计算nnDn0000000010020001000 4 确定确定5阶行列式中乘积项阶行列式中乘积项 的符号的符号.5215342143aaaaa2021/8/647思考题思考题1解答解答解解用方法用方法1 11 6 3 5 2 4 8 7 用方法用方法2 201012130 t8 由前向后求每个数的逆序数由前向后求每个数的逆序数. 810231100 t2021/8/648思考题思考题2解答解答解解含含 的项有两项的项有两项,即

35、即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于4334221112341aaaa443322111aaaa. 13 的系数为的系数为故故 x343342211)1243(3443322112) 1() 1(xaaaaxaaaa2021/8/649线性代数 !.1221nDnnn 221 nn解解31,12,21,11nnnnnnDaaaa 1 1 21nn 1!,n 1221nnn 1232 nn2021/8/650第一章50 线性代数线性代数【例【例4】确定】确定5阶行列式中乘积项阶行列式中乘积项 的符号的符号.5215342143aaaaa【解】【解】方法方法1 )31452

36、()42315(tt5 + 4 = 9负号。负号。方法方法252433421155215342143aaaaaaaaaa 7)51432(t又负号。负号。2021/8/6512021/8/652NoImageNoImage定义定义: 在一个排列中，将某两个数的位置对调在一个排列中，将某两个数的位置对调 （其它数不动）的变动叫做一个对换。（其它数不动）的变动叫做一个对换。定理定理1 一个排列中的任意两个数对换后，排列一个排列中的任意两个数对换后，排列 改变奇偶性。改变奇偶性。 推论推论 n n ! ! 个个n n 阶排列在同一个阶排列在同一个对对换下换下, ,两两配对两两配对, , 由一个变成另一个。由一个变成另一个。 定理定理2 2 在全部在全部n n 阶排列中，奇偶排列各阶排列中，奇偶排列各 占一半。