心理统计学精髓学习知识重点

1、第一节正态分布1正态分布的特点 首先，钟形对称分布其次，|X | 1.96 的概率是95%; |X |2.58 的概率是99%;将|X| 1.96称为决策水平0.05上的小概率事件，将|X | 2.58称为决策水平0.01上的小概率事件。其中，X是总体中的随机抽取的一个数值；卩为总体 平均值，第三，曲线两端无限靠近横轴。2应用(1) 某学校三年级学生的平均智商是100，其标准差为15.那么，从中随机抽取 一个学生，其智商大于等于130的概率是多少？其智商小于等于 85的概率是多 少？(2) 某企业生产的产品重量均值为100，标准差为15。质检人员从市场上随机 抽取一件，发现其重量为115,仅从

2、质量上看，如何用统计学视角来判断此产品 是否属于这一企业(决策水平为 0.05)。(3) 在上题中，如果质检人员从市场上发现一个产品的重量为140，那么，仅从质量上判断，此产品是否属于这一企业(决策水平为0.01)。3数据处理一让学生报告自己的身高、体重以及自己的肥胖感知(我认为自己很肥胖) 、以及 自己的性别。数据处理任务包括：报告三个变量的茎叶图，并大致判断其分布形 态；报告三个变量的平均值、中数以及中位数、标准差。第二节标准正态分布将总体的平均值记为卩，标准差记为c,将其中的数据或个案记为 X。那么，使用X公式z ，就可以将正态分布转化为标准正态分布。标准正态分布是正态分布的一个特例，

3、因此，第一节的内容皆可以标准正态分布 进行直译。思考题：标准正态分布的标准差是多少？其平均值又是多少？对于标准正态分布而言，|z| 1.96为决策水平0.05上的小概率事件，将|z| 2.58 为决策水平0.01上的小概率事件思考题：某地三年级学生的身高是一个总体，并且是正态分布，均值为160厘米， 标准差为5厘米。研究者随机抽取一个学生，其身高为170厘米。那么，此生在 标准正态分布中的身高数值应该为多少？这次抽到他是一个小概率事件吗？为 什么？练习：将“数据处理一”中三个变量转化为标准正态分布，并报告其茎叶图。第三节样本均值的分布1存在一个非常数总体，无论其为何种分布。并且此总体平均值卩与

4、标准差C已 知。用（放回式）随机抽样，获得无数个容量相等的样本 ，当每一个样本容量大 于30时，样本均值的分布就是正态分布。2将样本平均值记为X，标准差记为S,容量记为n,则此分布的标准误 3样本均值分布的特点：首先，是正态分布，第二，此分布的理论均值等于总体均值卩第三，其标准误 X第四，X 1.96X的概率是95%将X1.96 X称为决策水平为0.05上的小概率事件；|X |2.58 X的概率是99%将|X |2.58 X的事件称为决策水平为0.01上的小概率事件；第五，用公式Zx仝一将其标准化，则得到标准正态分布。那么，IZx| 1.96X为决策水平0.05上的小概率事件，将| zX|2.

5、58为决策水平0.01上的小概率事件。第四节统计检验的逻辑如果一个样本是从某一总体中随机抽样得来的，那么，这一个样本必定能够代表这一总体的特征，其含义有三。其一，两者的分布形态是一致的；其二，两者的 方差是一致的；其三，两者的平均值是一致的。“一致”的统计含义是，在0.05或者0.01的决策水平上，是没有差异的。当然，随机样本不能百分百地代表总体的特征， 当这样的样本不能代表总体特征 时，就说是小概率事件发生了。在科学研究中，总体往往是一个理论上的或者特定的描述，包括其分布形态、平 均值以及其标准差。而样本往往来自于现实的抽取中， 通过比较三个方面，就可 以决断这个样本是不是属于这个理论或者特

6、定的总体。比如，某地区90年代的14岁儿童的平均身高为卩厘米，标准差为c厘米，并且 为正态分布。现在来考察这一地区14儿童的身高是否与90年代同龄儿童的身高 是否一致。在统计学上，只能这样做：从现在的 14岁儿童中，随机进行抽样，比如，抽取 n个儿童构成一个样本，其平均值为 ，X标准差为So由于是真正的随机抽样，那么，决策者会检验三个方面。第一，看此样本的分布 是否与（90年代的那个）特定总体的分布形态有一致性，如果两者分布形态一 致，即样本也是正态分布，那么第二，看此样本的方差是否与特定总体的方差具 有一致性，如果两者方差一致，那么第三，看此样本的平均值是否与特定总体的 均值具有一致性，如果

7、一致，则可以认为此样本依然属于那个特定的总体，或者说，如今此地区14岁儿童的身高依然与90年代一样。在上述中，“一致”是指在0.05或者0.01的水平上进行判断，即没有发生小概率事件。如果小概率事件发生，则说明“不一致”，或者说“具有显著性差异”。 关于分布形态一致性检验与方差一致性检验在后面再学习。这里，我们先认为此样本分布形态和方差皆与那个特定总体的一致，那么，就只剩下检验样本均值是否与那个特定总体的一致。统计学上的检验过程表述如下。Ho:此样本是从90年代的总体中随机抽取的，那么，就有X x 1.96 x计算过程：因为XX 肩,所以只需要证明X1.96二是否成立，即n1.96是否成立。如

8、果成立，则认为Ho是正确的；反之，如果1.96，则说明小概率事件发生了； 一次随机抽样，就发生了小概率事件，那么我宁愿在0.05的水平上相信Ho是不正确的，也就是说，此样本不是 从90年代的那个样本中随机抽取的，或者说，这个样本不属于这个特定的总体。 在上面的逻辑过程中，H0的表述非常重要，因为，只有先假定此样本是能够代表这个特定总体，才能套用公式|X X| 1.96 X，这是为什么？这是因为，从任 何非常数总体中，随机抽取无数个容量相等的大样本（通常指容量大于等于30）， 那么样本的均值（无数个X ）形成正态分布（其理论均值X =，标准误x f=）那么，X7n1.96 X的概率是95% 也即

9、，X1.96的概率是95%反之就是0.05水平上的小概率事件发生了。因此，理解H0与否，关系着统计检验的理解与否。练习：从“数据处理一”中随机生产一个样本，并且报告此样本均值的标准分数。 看全班同学抽取到的平均值有几个是小概率事件。第四节t分布存在一个非常数总体，无论其为何种分布。并且此总体平均值卩已知，但其标准 差c未知。用（放回式）随机抽样，获得无数个容量相等的样本，样本均值X的分布就是t分布。t分布的特点如下表述。首先，t分布为对称分布，并且左右对称其次，t分布是一簇曲线，并且每个df （即自由度，df=n-1 ）皆有自己的分布形 态。df越大，t分布越接近正态分布。,其中S是样本的标准

10、差，s=J咅。，其理论均值 x等于总体均值。第三，在此情况下，样本均值分布的标准误sSX 第四，|x X t0.05水平上的临界值SX的概率是95%，而X X t0.05水平上的临界值SX则为 0.05水平上的小概率事件。X X t°.01水平上的临界值Sx的概率是99%，而to.01水平上的临界值Sx则为0.01水平上的小概率事件t检验练习某心理量表的常模均值是14分。100名被试经过测试发现平均分为16.4 （标准 差为1.44）。请检验以上样本是否与量表的常模均值有显著差异（假设有关的分 布是正态分布）。决策过程壬上44 =0.144。 n J00首先，提出虚无假设：H。：如果

11、此样本是从（均值为14的）特定总体中随机抽 取的，那么，在0.05的决策水平上，应该有 X X t0.05水平上的临界值sX 。第三步，计算。 X =14， X X =16.4-14=2.4。sX表，发现当df=100-1=99时t°.°5水平上的临界值2.00，因此, to.o5水平上的临界值 Sx =2.00 0.144=0.288 ， 2.4f 0.288可见，在0.05的水平上，|XX| t0.05水平上的临界值sX是不成立的，这样，小概率事件发生了。决策结果是，此样本（均值为 16.4 ）不是从（均值为14的）特定 总体中随机抽取也来的，而是从另一个均值显著大于1

12、4的总体中随机抽取出来的。进一步推断，这100名学生代表着一个智商远远大于14的总体。第五节独立样本t检验存在一个非常数总体，无论其为何种分布。并且此总体平均值卩与标准差c皆未 知。用（放回式）随机抽样，得到两个独立的样本，它们的平均值分别为X1与X2， 标准差分别为®与S2，样本容量分别为 n1与压X1的分布为t分布，自由度df= m-1； X2的分布为t分布，自由度df= n2-1;当n1与n2皆较大时，两个样本皆可以较好地代表这个总体，这意味着，两个样本的方差 致（或同质），两个样本的平均值一致，即 X1与X2在统计学上是相等的。均值之差的分布具有自由度df= df1 df2=

13、山+ n2-2两个样本均值之差（X1 - X2 ）也是t分布，与相关的结论表述如下: 首先，其次,均值之差分布的标准误为sX1 X2 ,j2S联合2，其中S联合ss, SS2df1 df2 '第三.X1 X2t0.05水平上的临界值SX1 X2的概率是95%X1 X2t0.05水平上的临界值sx1 X2的概率是5%称为0.05水平上的小概率事件。.X1X1 x2练习：X2t°.01水平上的临界值 Sx X2的概率是99%,t0.01水平上的临界值Sx x2的概率是1%称为0.01水平上的小概率事件。一个研究者对双性化心理特征感兴趣。他在大学一 年级新生中选取了 10名双性化和

14、20名非双性化对其 施测双性化量表。10名双性化学生在量表上得到的 平均分是X125，S3670 ；0名非双性化学生的平均分是X218，SS21010。这些数据能否表明两组间存在差异？ （=0.01）决策过程如下表述。首先，如果这两个样本为同一总体中随机得来的独立样本，那么，两个样本的方差应该一致或者同质。关于样本方差同质性检验以后再学。现在我们暂且认为两个样本方差同质。其次，提出虚无假设 H。：如果这两个样本为同一总体中随机得来的独立样本，那么，在0.01的决策水平上，就应该有X1 X2 t°.01水平上的临界值Sx1 X 2计算过程。X1 X2 =17，在df 28时，t

15、6;.01水平上的临界值=2.763S联合SS1 S' （670 1010）/28 60，sXdf1 df21t0.05水平上的临界值 sx1 乂2=2.7633=8.289X2可见X13X2X1率事件发生了。 一次实验或抽样就发生了小概率事件，因此, 是来自同一个总体，双性化学生（总体）的均值要显著高t0.01水平上的临界值 Sx1 X2 是不成立的,t0.01水平上的临界值我们宁可相信，于非双性化学生（总体）的均值。sX1 X2，小概两个样本并不练习：在“数据处理一”中，有三个变量的数据。请比较男性与女性在三个变量 上是否有显著的差异。要求写出假设，并且解释处理结果的关键数据。第五

16、节独立样本t检验中的方差齐性检验 首先介绍F分布。从一个正态总体中，随机抽取两个样本，它们的方差分别为s2与s2，F将较大者视为S2）是F分布。S2F0.05水平上临界值的概率是95%此F0.05水平上临界值，就认为在0.05的0.01水平上的情形类推。时，就认为两个样本方差同质（或者相齐、一致） ；- 水平上，两者方差不相齐，或者说它们来自不同的总体。在 练习：一个研究者对双性化心理特征感兴趣。他在大学一 年级新生中选取了 10名双性化和20名非双性化对其施测双性化量表。10名双性化学生在量表上得到的 平均分是X125，SSi 670 ；0名非双性化学生的平均分是X218，SS21010。请

17、检验两个样本的方差是否同质（=0.01 ）。下面是决策过程。首先，提出虚无假设 H0:如果两个样本是随机来自于同一个总体，那么，就应该有 笙FS2 F0.0i水平上临界值。26702 SQ 1010S 74.4474.44, S2-53.158。一 =1.409df119S2 53158查表，在分子df1 9,分母df2 19的情况下，F0.01水平上临界值=3.52。所以，在0.01的决策S2 水平上，笃S2样本各自代表的总体具有一致的方差。计算过程。Si2 SS|df153.158。F0.0i水平上临界值 是成立的，因此接受 H 0。所以，在0.01的决策水平上，两个练习：在“数据处理一”

18、中，有三个变量的数据。请比较男性与女性在三个变量 上的方差是否具有一致性。要求写出假设，并且解释关键结果的含义。第六节相关样本t检验从某一人群中随机抽取一个样本（容量为n），然后测量其打字水平，对这一样本培训一段时间，再次测量其打字水平。计算出每个被试前后测量的差异D,根据D的情况来判断培训是否有效。以上情况应该用相关样本t检验。 检验过程：首先，确保差异数据 D是正态分布（如果不符合正态分布，则用非参数检验） 其次，提出虚无假设 H0:当培训没有效果时， D便是一个随机样本，它来自均值为 自由度为n-1的t分布，这样，在0.01的决策水平上，应该有|D2Dt0.01水平上的临界值 昂，其中,D2 n df最后，根据计算结果进行决策。 如果小概率事件发生，就拒绝虚无假设，做出与虚无假设相 反的结论。实验：产生“数据处理二”。SDn，sD第七节方差分析1独立样本方差分析从一个正态总体中，随机抽取K个样本，如果这K个样本皆能很好地代表同一个 总体，那么，必定有（1）K个方差一致（2）K个样本分布一致，皆为正态分布;（3）K个样本均值一致，此时，在F观测值MS组内 F0.05水平（df组间,df组内）0.05的决策水平上，必有, 三个样本均值相等其中MS组间SQi间/ df组间，MS组内SQ且内/ df组内2重复