chapt08-分离变量法6学时ppt课件

1、第八章 分离变量法本章中心内容本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题；用分离变量法求解各种有界问题；本章基本要求本章基本要求n掌握有界弦的自由振动解及其物理意义掌握有界弦的自由振动解及其物理意义n着重掌握分离变量法的解题思路、着重掌握分离变量法的解题思路、n 解题步骤及其核心问题解题步骤及其核心问题-本征值问题本征值问题问题的引入问题的引入 2,0,0ttxxtua uu xxuxx,0 xtxx (1)(2)(3)行波法行波法达朗贝尔公式达朗贝尔公式 1,22x atx atxatxatu x tda 前一章所讲的行波法，适用范围会受到一定限制本章介前一章所讲的行波法，适用范围会受到一定限

2、制本章介绍的分离变量法又称为本征函数展开法是解偏微分方绍的分离变量法又称为本征函数展开法是解偏微分方程定解问题最常用的重要方法程定解问题最常用的重要方法 其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题 8.1 分离变量理论 11111( , )( , )( , )( , )( , )0 xxyyxyA x y uC x y uD x y uE x y uF x y u8.1.1 8.1.1 偏微分方程变量分离及条件偏微分方程变量分离及条件 对于一个给定的

3、偏微分方程实施变量分离应该具备什么条件？假设 （8.1.2的解有下列分离的形式 ( , )( ) ( )u x yX x Y y11111( , )( , )( , )( , )( , )0A x y X YC x y XYD x y X YE x y XYF x y XY1. 1. 常系数偏微分方程常系数偏微分方程,X Y假设假设.4的系数均为常数，并分别用小写的的系数均为常数，并分别用小写的 , , , ,a c d e f代表代表 11111,A C D E F，将方程两边同，将方程两边同除以除以XY, XY, 那么那么0XYXYacdefXYXYaXdXcYeYfXY

4、要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于y的常数，记为 ，从而得到两个常微分方程0()0aXdXXcYeYfY对于变系数函数对于变系数函数 111( , ),( , ),( , ),A x y C x y D x y ，假设存在某一个函数，假设存在某一个函数 ( , )0P x y ，使得方程除以，使得方程除以( , )P x y后变为可分离的形式后变为可分离的形式112233( )( )( )( ) ( )( )0a x X Yb y XYa x XYb y XYa xb y XY上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为 1122

5、33( )( )( )( ) ( )( )0a x X Yb y XYa x XYb y XYa xb y XY123123()XXYYaaabbbXXYY ，从而得到两个常微分方程，从而得到两个常微分方程123123()0;()0a Xa XaXbYb YbY由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐次方程，总是能实施变量分离 需要满足一定的条件，即必须找到讨论需要满足一定的条件，即必须找到讨论2 2中适当中适当的的 函数才能实施变量分离函数才能实施变量分离 但对于变系数的二阶偏微分齐次方程但对于变系数的二阶偏微分齐次方程 ( , )P x y第一类边界条件第二类边界条件( )|,x lu x

6、|, x lux 8.1.2 边界条件可实施变量分离的条件边界条件可实施变量分离的条件|x luhux假设具体定解问题以弦的横振动为例的边界假设具体定解问题以弦的横振动为例的边界条件为齐次的：条件为齐次的： (0, )0, ( , )0utu l t( , )( ) ()u xtX xT t(0) ( ) 0, ( ) ( ) 0XT tX l T t可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件此外，进行分离变量时，量未知函数的边界条件此外，进行分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及还须根据具体情况确定直角坐标系

7、，球坐标系以及柱坐标系柱坐标系( , )u x t( )0T t 须须(0)0, ( )0XX l8.2直角坐标系中的分离变量法 8.2.1 8.2.1 分离变量法介绍分离变量法介绍例例.1：具体考虑长为：具体考虑长为l，两端固定的均匀弦的自由振动，两端固定的均匀弦的自由振动泛定方程泛定方程 初始条件初始条件 02xxttuau(0, 0)xlt（.）00,0 xxluu(0)t （.）00( ),( )tttux ux)0(lx （.） 【解】 第一步：分离变量第一步：分离变量用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：用分离变量法

8、求解定解问题，具体分如下四个步骤：变量分离形式的试探解变量分离形式的试探解 ( , )( ) ( )u x tX x T t代入代入8.2.和和8.2.）:2( )( )( ) ( )0X x T ta Xx T t2( )( )( )( )XxTtXxa T t写为写为偏微分方程分离成两个常微分方程偏微分方程分离成两个常微分方程: :2( )( )0TtaT t(8.2.4)(8.2.4)( )( )0XxX x(8.2.5)(8.2.5)(0) ( )0( ) ( )0XT tX l T t(8.2.6)(8.2.6)( )0T t 0)0(X0)(lX（.7） 第二步：求

9、解本征值或称为固有值问题第二步：求解本征值或称为固有值问题上面推导的方程上面推导的方程0 XX （.5） (0)0,X0)(lX（.7）三种可能逐一加以分析三种可能逐一加以分析000本征值本征值 不能任意取，只能根据边界条件不能任意取，只能根据边界条件.7取某些特定值。取某些特定值。（.5的解为的解为 （）（）0 xxeCeCxX21)(1C2C和和由由.确定，即有确定，即有. 0, 02121lleCeCCC由此解出由此解出0, 021CC0)(xX0)()(),(tTxXtxu0被排除被排除 （）（）0方程方程8

10、.的解是的解是21)(CxCxX解出解出1C2C和和由由.7确定，即确定，即 21200CC lC0, 021CC0)(xX0 XTu0也被排除也被排除 （.5的解的解xCxCxXsincos)(21120sin0CCl如如 0sinl，则仍然解出，则仍然解出 0, 021CC0),(txu01C2C和和只剩下一种可能性： 0sin, 01lCln222nnl), 3 , 2 , 1(n（.8）2( )sinnn xXxCl( )sinnn xXxl（.9正是傅里叶正弦级数的基本函数族正是傅里叶正弦级数的基本函数族

11、n对应的函数为对应的函数为 常数常数的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作本征函数本征函数第三步：先求特解，再叠加求出通解第三步：先求特解，再叠加求出通解22220nTaTl （8.2.10）方程的解：方程的解：( )cossinnnnn atn atT tABll（.11）( )nT tn，由方程，由方程8.2.4求出相应的求出相应的 ( , )cossinsinnnnn atn atn xux tABlll),3,2, 1(n（.12）这就是满足这就是满足(8.2.1)(8.2.1)和条件和条件.2的

12、通解的通解11( , )( , )cossinsinnnnnnn atn atn xu x tux tABlll（8.2.13）初始条件初始条件(8.2.3)(8.2.3)确定叠加系数确定叠加系数 ,nnA B11sin( )sin( )nnnnn xAxln an xBxll（.14）002( )sind 2( )sindlnlnnAllnBn al (8.2.15)至此，定解问题至此，定解问题.1）-(8.2.3)-(8.2.3)的解已经求出的解已经求出(2)(2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解，第二个限制：二阶线性偏微分方程的解，不一定是分离变量的乘

13、积形式不一定是分离变量的乘积形式分离变量法是有条件的，会受到一定的限制分离变量法是有条件的，会受到一定的限制注意：注意：8.2.2. 解的物理意义特解特解 (8.2.12) (8.2.12) 改写为改写为 ,cossinnnnnn xux tNtl22, arctan, nnnnnnnBn aNABAl (8.2.16)驻波叠加驻波叠加振幅振幅: : sinnn xNl频率频率: : n初位相初位相: : n波节波节: : 120 ,nlllxlnnn2135,2222nllllxnnnn波腹波腹: :点数为2，3，4的驻波形状 0 l / 2l 0 l 图 14.1 图8.1（成倍增长）、位

14、相不同、振幅不同的驻波叠加而成的（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的 所以分离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相所以分离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相于是我们也可以说解于是我们也可以说解),(txu是由一系列频率不同是由一系列频率不同的差异，由初始条件决定，而圆频率的差异，由初始条件决定，而圆频率 nn al与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率 中最小的一个 称为基频，n1al111,sinsinxaux tNtll称为基波称为基波 ,432称为谐频，称为谐频， 相应的相应的,432uuu称为谐波称为谐波 基波的作用往往最显著基波

15、的作用往往最显著 2222222uuuuatxyz( , , , )( , , ) ( )u x y z tV x y z T t坐标变量和时坐标变量和时间变量分离间变量分离 2. 2. 三维形式的直角坐标分离变量三维形式的直角坐标分离变量三维齐次热传导方程为例三维齐次热传导方程为例: :222222221TVVVka TVxyz 在上式中平方形式来表示固有值得在上式中平方形式来表示固有值得 22( )( )0T ta k T t22222220VVVk Vxyz亥姆霍兹方程( , , )( ) ( ) ( )V x y zX x Y y Z z20XYZkXYZ由于上式中函数的每一项都是单一

16、自变量的函数由于上式中函数的每一项都是单一自变量的函数 分离变数：其中其中 000XXYYZZ2k上面三个方程，就是上面三个方程，就是X, Y, ZX, Y, Z的分离方程的分离方程. .这些方程这些方程的通解是正弦函数与余弦函数的组合的通解是正弦函数与余弦函数的组合而时间部分的解为:2()( )a tT te 因而，三维形式中热传导问题的完整解为因而，三维形式中热传导问题的完整解为2(),( , , , )( )( )( )a tl m nlmnlmnu x y z tCeXx Yy Zz 8.2.3直角坐标系分离变量例题分析 上面我们已经研究的例题上面我们已经研究的例题8.2.1讨论的是两

17、个讨论的是两个边界点均为第一类齐次边界条件的定解问题下边界点均为第一类齐次边界条件的定解问题下面讨论的例题面讨论的例题8.2.2是既有第一类，也有第二类齐是既有第一类，也有第二类齐次边界条件的定解问题；而例题次边界条件的定解问题；而例题8.2.3讨论的是均讨论的是均为第二类齐次边界条件的定解问题，注意到本征为第二类齐次边界条件的定解问题，注意到本征值和本征函数的区别值和本征函数的区别22222, (0, ),0 (14.2.17)(0, )( , )0 0 (14.2.18)( ,0)( ), xuuaxl ttxutu l ttu xx (14.2.19)( ,0)( ), (0, ) (1

18、4.2.20)tu xxxl例例8.2.2 研究定解问题：研究定解问题： 【解】用分离变量法求解【解】用分离变量法求解. 令令( , )() ( ) (14.2.21)u xtT t X x( )( ) 0 (14.2.22)(0)() 0 (14.2.23)X xX xXX l2( )( )0 (14.2.24)TtaT t0( )cossinX xAxBx则方程的解是则方程的解是(0)0( )cos0XAX lBlcos0l非零解非零解即即: 1() (0,1,2, )2lnn故得到本征值故得到本征值:221() , 0,1,2,2nnnl相应的本征函数是相应的本征函数是21 ( )sin

19、 , (0,1,2, )2nnXxxnl1() (0,1,2, )2lnn将将n代入代入8.2.24解得解得2121cossin , (0,1,2,)22nnnnnTCatDatnll( , )( )( ) (0,1,2,)nnnu x tT t X xn叠加得叠加得0212121( , ) cossinsin 222nnnnnnu x tCatDatxlll系数由定解条件确定傅里叶展开式系数可确定为傅里叶展开式系数可确定为021( ,0)( ) sin 2nnnu xxCxl02121( ,0)( ) sin 22tnnnnu xxDaxll0221 ( )sin( )d 2lnnCxx x

20、ll0421( )sin d (0,1,2,) (21)2lnnDxx xnnal例例:热传导：设物体表面温度保持零度，初始温度分布为热传导：设物体表面温度保持零度，初始温度分布为 ),()0 ,(zyxzyxu【解】定解问题为：230000,(0,0,0,0)000( , , )txx ayy bzz ctukuxaybzc tuuuuuuux y z(8.2.36)(8.2.37)(8.2.38)(8.2.39)(8.2.40)(1) 时空变量的分离： (2) 空间变量的分离空间变量的分离 ： ),()(zyxVtTu 代入方程式，可得：代入方程式，可得：21100 xyzTkTVVVV

21、(8.2.41)( )( , )VX x W y z代入代入8.2.41式及式及8.2.37） 关于关于)(xX的常微分方程及边界条件，构成本征值问题：的常微分方程及边界条件，构成本征值问题：同时， 满足满足0,00)(021 axxXXXX( , )W y z20yyzzWWW （8.2.428.2.42）再令再令 ( , )( ) ( )W y zY y Z z可得另外两个本征值问题可得另外两个本征值问题 和 0, 00)(032byyYYYY 0, 0003czzZZZZ(3) 求本征值问题求本征值问题 这三个本征值问题的本征值与本征函数分别为：这三个本征值问题的本征值与本征函数分别为：

22、 22322223222122,sin,(1,2,3,),sin,(1,2,3,),sin,(1,2,3,)nmPnnZz nccmmYy mbbppXxpaa(8.2.43)(8.2.44)(8.2.45)（8.2.468.2.46）本征值相加:2222222pmnpmnabc本征函数相乘本征函数相乘: :sin()sin()sin()pmnpmnVxyzabc(4) 求解关于 (5) (5) 解叠加起来解叠加起来: :)(tT的常微分方程的常微分方程 ：021TkT2pmnk tpmnpmnTAe21110sin()sin()sin()( , , )pmnk tpmnpmntpmnuA e

23、xyzabcux y z其中其中0008( , , )sin()sin()sin()d d dabcpmnpmnAx y zxyz x y zabcabc 21110sin()sin()sin()( , , )pmnk tpmnpmntpmnuAexyzabcux y z83 二维极坐标系下拉普拉斯方程分离变量 例例 8.3.1 物理模型：物理模型： 带电的云与大地之间的静电场近似是匀强静电场,其电场强度 E0 是竖直的，方向向下水平架设的输电线处于这个静电场之中，输电线是导体圆柱，柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，如图8.2所示不过离圆柱“无远限远处的静电场仍保持为匀强的现在研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场,求出柱外的电势分布 B A 带电云 + + + + + + + y x 图 8.2 解题分析：首先需要把这个物理问题表示为定解问解题分析：首先需要把这个物理问题表示为定解问题取圆柱的轴为题取圆柱的轴为Z Z轴如果圆柱轴如果圆柱“无限长无限长”，那么，那么，这个静电场的电场强度、电势显然与这个静电场的电场强度、电势显然与Z Z坐标无关，我坐标无关，我们只需在们只需在XYXY平面上加以研究就行了图平面上加以研究就行了图8.28.2画出了画出了 XYXY平面上的静电场分布，圆柱面在平面上的静电场分布，圆柱面在