圆心角、弦、弧关系

1、圆心角、弦、弧之间的关系回顾 1.圆是 对称图形，它的对称中心是 2._叫做圆心角3、垂径定理：圆心圆心 弧弧 弦弦 弦心距之间的关系弦心距之间的关系知识要点归纳知识要点归纳 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角

2、定理及推论。 （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。 如图，同心圆，虽然，但，而且，弦心 AOBCODABCDABCD距也不相切。OCABD （2）要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对”一词的含义，从而正确运用上述关系。下面举四个错例：若 中，则，OACDBCEFDCEADFB 这两个结论都是错误，首先 CE、FD 不是弦，CEA、BFD 不是圆心角，就不可以用圆心角定理推论证明。OBDACEF （3）同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般

3、选择劣弧。 （4）在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等” ，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。 5. 1的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成 360 份，我们把每一份这样的弧叫做 1的弧。 一般地，N的圆心角对着 N的弧，N的弧对着 N的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“”之类的错误。因为角与弧是AOBAB两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。 6. 圆中弧、圆心角

4、、弦、弦心距的不等关系 （1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。 当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。OOBACOBACDEF （2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。 注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 7. 辅助线方法小结： （1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系

5、定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。 （2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： （I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。【学海导航学海导航】1. 如图，将圆心角AOB 绕圆心 O 旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？相等的弦： ；相等的弧： 理由： 结论结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相相等，所对的弦也等，所对的弦也 表达式：表达式： 同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的在同圆或等圆中，

6、如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，相等， 所对的弦也所对的弦也 表达式：表达式： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ， 所对的所对的 也相等也相等表达式：表达式： 注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也应的其余各组量也 。5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等圆心角的度数与它所对的弧的度数相等例

7、1、如图，AB、AC、BC 都是O 的弦，AOC=BOCABC 与BAC 相等吗？为什么？例题 2、已知：如图，AB 是O 的直径，点 C、D 在O 上，CEAB 于 E，DFAB 于 F，且 AE=BF，AC 与 BD 相等吗？为什么？如图,在O 中, = ,1=30,则2=_一条弦把圆分成 1：3 两部分，则劣弧所对的圆心角为_。4. O 中，直径 ABCD 弦，60度数AC，则BOD=_。5. 在O 中，弦 AB 的长恰好等于半径，弦 AB 所对的圆心角为 6.如图，AB是直径，Error!Error!Error!，BOC40，AOE 的度数是 。ACBD典型例题：典型例题：例例 1 1

8、如图，在O 中，AB=AC，AOB=60 ，求证AOB=BOC=AOC 例例 2. 如图，在O 中，AB、CD 是两条弦，OEAB 于点 E，OFCD 于点 F，（1）如果AOB=COD,那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果 OE=OF，那么的大小有什么关系？为什么？AB 与 CD 的大小有什么关系？为什么？AOB 与COD 呢？归纳：归纳： 。 【演练反馈演练反馈】1.如果两个圆心角相等，那么（ ） A这两个圆心角所对的弦相等; B这两个圆心角所对的弧相等 C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D以上说法都不对2下列说法中，正确的是（ ）A等弦所对的弧相等 B等弧所对的

9、弦相等 C圆心角相等，所对的弦相等 D弦相等所对的圆心角相等3.如图，AB 是O 的直径， COD=35，求AOE 的度数。,BC CDDE二、探究新知（1）探究：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 （可以出题让学生判断）将圆心角AOB 绕圆心 O 旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？你能证明吗？ 得出：（2）在等圆中，是否也能得出类似的结论呢？做一做：在纸上画两个等圆，画AOB=AOB，连结 AB 和 AB ，则弦 AB 与弦 AB ，弧 AB 与弧 AB还相等吗？为什么？请学生动手操作，在实践中发现结论依旧成立。（3）说一说尝试将上述结论用数学语言表达出来。（4）思考：在同圆或

10、等圆中，如果两条弧相等，你能得到什么结论？在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？在同圆或等圆中，如果两条弦心距相等呢？学生小组讨论，归纳得出：ABCOCABDEFOOABEDCBAABB(B)OOA(A)A三、例题讲解例：如图，在O 中，弧 AB=弧 AC，ACB=60，求证：AOB=BOC=AOC。四、巩固练习1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？（1）如图所示：因为AOB=AOB，所以=. （2）在O 和O中，如果弦 AB=AB，那么=。2. 已知：如图所示，AD=BC。求证：AB=CD。变式练习 1：已知：如图所示，AB=CD。求证：AD=BC。变式练习 2：已知：如图所示，=。求证：AB=

11、CD。变式练习 3：已知：如图所示，AB=CD。求证：=。3.在圆 O 中，AC=DB，求证： BFAE。4.D、E 是圆 O 的半径 OA、OB 上的点，CDOA、CEOB，CD=CE，则CA与CB的关系是？变式练习：已知 AB 为圆 O 直径，M、N 分别为 OA、OB 中点，CMAB，DNAB。求证： BDAC。5.小林根据在一个圆中圆心角、弦、弧三个量之间的关系认为在如图中已知AOB=2 COD,则有 弧 AB=2弧 CD ,AB=2CD,你同意他的说法吗?【典型例题典型例题】 例 1. 已知：如图，在O 中，弦 AB、CD 的延长线交于 P 点，PO 平分APC。 求证：（1）ABC

12、D；（2）PAPCDAO1 2CBEAMOBCDNAEFBCDOOAPCMNDB12 分析：分析：要证明两弦相等，可利用弧、圆心角、弦心距之中的一种相等来证，由于已知角平分线 PO 过圆心，利用弦心距相等可以解决。 证明：证明：（1）过 O 点作 OMAB 于 M，ONCD 于 N PO 平分APC OMON ABCD（在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等） 此题还有几种变式图形，道理是一样的。 弦 AB、DC 的交点在圆上，即 B、P、D 三点重合。 若 PO 平分APC，求证：PAPC。OAPC 弦 AB、CD 交于 P 点（P 点在圆内） PO 平分APC，求证：ABCD。OBADCP 此

13、题还可将题设与结论交换一下，即已知 ABCD，求证：PO 平分APC，证法与上面一样，利用弦心距等。 （2）在 RTPOM 和 RTPON 中， 12OMPONPOPOP POMPONAAS() PMPN AMABCNCDABCD1212， AMCN PMAMPNCN 即 PAPC例 2. 如图，在O 中，AB2CD，那么（ ）OBADC A ABCDB ABCDC ABCDD ABCD.2222与的大小关系不可能确定 分析：分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：ABCD2（ ）把的一半作出来，然后比较与的大小；112ABABCD （ ）把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。222C

14、DCDAB 解法一：解法一： 过 点作于 ，则，OOF ABEAFFBABAEEBAB1212 ABCDAECDAB212， AFFBAFFB，（等弧对等弦） 在中，AFBAFFBABAFAB2 AFCD 222AFCDABCD，即 故选 A。 解法二：解法二： 如图，作弦，连结，则DECDCEDECDCE12 在中，有CDECDDECE 2CDCE ABCDABCE2， ABCEABCD，2例 3. 如图，为 的弦，、交于 、 。CDOACBDOAOBCDFE 求证：OEOF 证法一：证法一：连结 OC、OD OCODCD ， ACBDCOABOD ，（等弧所对的圆心角相等） COFDOE

15、OEOF 证法二：证法二：过 O 点作 OMCD 于 N 交O 于 M CMMD 又，CABDAMMB AOMBOM 又， FNOENOONON90 OFNOEN OFOE例 4. 如图，O 中 AB 是直径，COAB，D 是 CD 的中点，DEAB。 求证： ECEA2分析：分析：在同圆中，要证，考虑分别求出和的度数，而弧的ECEAECEA2度数又等于它们所对的圆心角的度数，则关键是求出COE、AOE 的度数。 证明：证明：连结 OE EDABCO AB/ /， ED CO DCO是中点 OEOCODOEDEO，1230 EOD903060 EC的度数是60 EOADEO30 AE 的度数是

16、30 ECEA2例 5. 如图，是等边三角形，是 直径，、ABCABOAEEFFBCECF交 AB 于 M、N。 求证：AMMNNB 解析一：解析一：由于 、 是半圆的三等分点，故连结，知，因而也为等边三角形。所以，即，则，可求得，知是直径的三等分之一，同理，也是的三分之一，故问题得证。EFAEBOEAOEAOEEABCBAAEBCAMEBMCAMBMAMABBNAB 6012/ 证法一：证法一：连结 OE、AE，设等边ABC 的边长为 2a ABOAEEFFB为 直径， EOAAEB等于的度数13 EOAAOEOa1318060 ， AOE为等边三角形 AEAOa 又， EAOCBAAEBC

17、60/ AMEBMC AMBMAEBCaa212 AMAB13 同理，BNAB13 MNABABAB2313 AMMNNB 解析二：解析二： 连结，易知，也可求得，进而可求得与半径的比。OEOEACAMMOAM/ 证法二：证法二： 如图，连结 OE，设 AC2a，则 ACAB2OE2a CAMAOEACOE60 ，/ OMAMOEACaa212 OMAMAMAMOA3223，即 故AMAB13 31ABBN同理， AMMNNB 解析三：解析三： 要证 AMMNNB，即证 AM：MO2：1，故联想到三角形的重心性质，若能证明 M 是ACG 的重心，问题得证。 （三角形的重心即为三角形三条中线的交

18、点到顶点的距离等于交点到对边中点距离的 2 倍）证明三：证明三： 连结 AE，并延长交 CO 的延长线于 G 设 AC2a，则有 AEOAa（证法一中已证明AOE 为等边三角形） ACBC，AOOB AOCG，CABGAO60，AOAO AOCAOG OCOG，且 AGAC2a AEa，AEEGa 即 E 为 AG 中点，O 为 CG 中点 M 为ACG 的重心 AMAOaAB232313 同理，NBAB13 AMMNNB BACEDOBACEDOFBACEDO圆心角、弦、弧之间的关系圆心角、弦、弧之间的关系2013-9-12013-9-1 1500862070815008620708（李老师

19、）（李老师） 姓名：姓名： 【课后作业课后作业】1、下列三个命题：圆既是轴对称图形又是中心对称图形；垂直于弦的直径平分弦； 相等的圆心角所对的弧相等在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么弦也相等。其中真命题的是（ ）AB C D 2如果两个圆心角相等，那么（ ）A这两个圆心角所对的弦相等; B这两个圆心角所对的弧相等C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D以上说法都不对3如图 1，如果 AB 为O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，那么下列结论中，错误的是（ ） ACE=DE B弧 BC=弧 BD CBAC=BAD DACAD4在同圆中，圆心角AOB=2COD，则两条弧 AB 与 CD 关系是（

20、 ） A弧AB=2 弧 CD B弧 AB2 弧 CD C弧 AB2 弧 CD D不能确定5 题 6 题 7 题 9 题5、如图,已知O 中,弧 AB=弧 BC,且弧 AB：弧 AMC=3:4,则AOC=_.6、如图，已知 AB,CD 是O 的直径，CE 是弦，且 ABCE,C=，则弧 BE 的035度数为 7如图，AB 为O 直径，E 是弧 BC 中点，OE 交 BC 于点 D，BD=3，AB=10，则AC=_8、P 为O 内一点，OP=3cm，O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_；最长弦长为_9如图，OE、OF 分别为O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果 OE=OF，那么_（只需

21、写一个正确的结论）10.在O 中，圆心角AOB=90，点 O 到弦 AB 的距离为 4，则O 的直径的长为（ ）A42 B82 C24 D1611.如图，在中，是互相垂直的两条弦，OABAC、于点，于点，且ODABDOEACE，那么的半径长_8cm6cmABAC，OOA12.如图，的两条弦、互相垂直，垂足为，且 ABCD，已OABCDE知 CE=1，ED=3 则的半径是 O13. 半径为 4cm，120的圆心角所对的弦长为（ ） A. B. C. D. 5cm4 3cm6cm3 3cm14. 在O 中，圆心角AOB90，点 O 到弦 AB 的距离为 4，则O的直径的长为（ ） A. B. C. 24D. 164 28 215. 如图，AB 为O 的直径，C、D 是O 上的两点，BAC=20，弧 AD=弧 CD，则DAC 的度数是（ ）A. 70 B. 45C. 35D. 3016. 一条弦把圆分成 1：3 两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为_。17. 一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为_。18. 在半径为 R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于_。19. 在O 中，弦 CD 与直径 AB 相交于 E，且AEC30，AE1cm，BE5