专升本高等数学公式全集

1、专升本高等数学公式（全）常数项级数：n等比数列：1,q,q2，qni =1 一口i -q等差数列：123 n =（n 1）n21 11调和级数：1 1 1 1是发散的2 3n级数审敛法:别法）：散。1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判' ：二1时，级数收敛设：P=lim时,则Jp>1时，级数发散n）二：.P =1时,不确定2、比值审敛法：p"1时，级数收敛U设：p=iim U±,则p>1时，级数发散 n- U °一 一，、n: =1时，不确定3、定义法:sn =“ +u2+un; lim sn存在，则收敛；否则发交错级数U1 -u2 +u3

2、 -u4+（或-u1 -+U2-U3十，un A 0）的审敛法莱布尼兹定理：.一、.一 un un + .如果交错级数满足|imu =0,那么级数U敛且其和sMu1,其余项rn的绝对值rn Mun#nJPC n绝对收敛与条件收敛:（1）u1 +u2 +un+，其中un为任意实数;(2)同+" +u31+|un +如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;如果（2）发散，而（1）收敛，则称 为条件收敛级数。调和级数：'、1发散，而 ' 匕U-收敛; nn1 .级数：'）收敛；n13 / 10P -1时发散p.1时收敛哥级数1+X+X2S必+卜1时,收

3、敛于1- x之1时，发散对于级数（3）a0 +a1x +a2x2 +anxn +，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存/|x <R时收敛在R,使j |x >R时发散，其中R称为收敛半径x = R时不定求收敛半径的方法：设lim a土 = P,其中an, an中是（3）的系数，则 3 anD, 1p = 0时，R =Pd=0时，R=：二p = M时，R=0函数展开成哥级数：函数展开成泰勒级数：f (x) = f (xo)(x x。 ) +，(x0 ) (x -xo)2 +(0)- (x- xo )n +2!n!（n 1）（余项：Rn=f山（x-x0）n+ f （x）

4、可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn=0（n 1）!f ：x0 =0时即为麦克劳林公式：f (x) = f (0) + f 0)x + f (0) x2 +f(0) xn +2!n!一些函数展开成哥级数：mm(m -1) 2 m(m -1)(m - n -1) n(1 x)m F mx x2 +二m一<xn(-1 ：二 x < 1)2!n!352n Asin x =x - -(一1)n (-二 二 x ；：)3!5!(2n -1)!可降阶的高阶微分方程类型一：y(n) =f(x)解法(多次积分法)：令口=丫"= du=f(x)=多次积分求f(x) dx类型二：y&#

5、39;'= f(x, y')解法：p = y'= dp = f (x, p)= 一阶微分方程dx类型三：y'' = f(y, y')解法： p = y'= dp =生曳=pdp= f(y,p)= 类型二dx dy dx dy类型四：y' p(x)y =Q(x)若Q(X)等于0,则通解为y=CeTP(x)dx (一阶齐次线性)。若不等于0,通解y =e-/p(x)dx 卜Q(x)e P(x)dxdx +c '(一阶齐次非线性)。一阶齐次非线性方程的通解是对应齐次方程的通解与它的一个特解之和。三、线性微分方程类型一：y'

6、;' + P(x)y'+Q(x)y =0 (二阶线性齐次微分方程)解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：yi(x),y2(x)则：y(x) =Gy(x) c2y2(x)类型二：y'' + P(x)y'+Q(x)y= f(x)(二阶线性非齐次微分方程)解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：y3(x) =Gy1(x) +c2y2(x)再找出非齐次方程的任意特解yp(x),则：y(x)= yp(x)+Gyi(x) + c2y2(x)类型三：y''+py'+q=0 (二阶线性常系数齐次微分方程)解法(特征方程法)：K2 + p7u+q=

7、0= % =+？出(') = p2 4q >0= " 丰、.2n y = Ge'1、+.3'"(2) =0=兀=K2 =九=y = (c1+c2x)e'x(3) ：二 0二 '1 =： i , ' 2 - i - 二 y = e'x(c1 cos : x c2 sin ： x)导数公式:(tgx) =sec2 x(ctgx) - - csc2 x (secx) = secx tgx (cscx) = -cscx ctgx (ax),=axlna1(lOg ax)- xln a(arcsin x) , 1(arcc

8、os x)-12-x1,1 - x1 (arctgx) = -一21 x1(arcctgx) = 21 x基本积分表：三角函数的有理式积分:Jtgxdx = -ln cosx +CJctgxdx =ln sin x +CJsecxdx =ln secx+tgx +CJcscxdx =ln cscx- ctgx +Cdx.2-cos xdx.2 sin x2= sec xdx = tgx C2= csc xdx = -ctgx Csecx tgxdx = secx Cdx.-22a xdx.22x -adx.-22a -xdx1 x-=一 arctg 一 Caln2aln2ax +aax C a

9、 -xxcscx ctgxdx = - cscx Cxaxdx =CIn ashxdx = chx Cchxdx = shx Ca2-x2=arcsin- Cadx.x2 ±a2=ln(x x2 a2) , CIn2=sinn xdxocos0xdx =9 Ini.x2 a2dx =22 . x一 a dx = x222 x-x dx = a2nln(x . x2 a2) C22J222 a. x 八-x - arcsin C一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦双曲余弦双曲正切x . x, e -e:shx =2x_x, e e:chx :2x_xX1 shx e -e:thxxxc

10、hx e e.sinx dlim= 1T Xlim(1 l)x=e = 2.718281828459045J xarshx =ln(xx2 1)archx - _ln(x - x2 -1)1 1 xarthx ln 2 1 -x和差角公式:和差化积公式:sin"二 1：,) cos('工二 P)= sin 工 cos 二cos。：sintg(、：二 I-)= cos二 cos : "sin 二 sin tg 二 tg :ctg (:二 I '1)二ctg ctgl ：,二 1ctgI-二ctg-：a + P a -Psin .：s : sin : = 2si

11、ncos22R a + P a - Psin 二 一sin - =2 cossin22R a + P a -Pcos 二" cos : =2coscos22R a +P a - Pcos: - cos : = 2 sinsin22倍角公式:sin2： = 2sin 二 cos：222. 2cos2： =2cos 1-1 =1 2sin : = cos 二一sin 二,2,c ctg 1-1ctg2：二-2ctg.)3sin3： =3sin二 一4sin，3cos3： =4cos 二 一3cos_：tg2：2tg：1 -tg 2a3tga -tg3a tg3 =21 -3tg2：半角公

12、式:1 -cos ：sin.2,:1cos：1cos： sin：tg = = =2, 1 cos 二 sin 11 cos：1 cos：cos.2 .2,:1 cos：1 cos： sin ：ctg 21 - cos： sin ：1 - cos：正弦定理：_a_ ="_ =_c_ =2Rsin A sin B sin C余弦定理：c2 = a2 b2 - 2abcosC反三角函数性质： arcsin x = - -arccosx arctgx =- - arcctgx 22中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理： f (b) - f (a) -f ( )(b - a)柯西中值定理：f(

13、b) - f(a) = fs F(b) -F(a) F ()当F(x)=x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理空间解析几何和向量代数空间2点的距离：d =|M 1M 2 = v(x2 - x1 )2 +(y2 - y1)2 +(z2 -z1)2向量在轴上的投影：PrjuAB = AB cos巴中是Q与u轴的夹角。Pr ju(a1a2) = Pr ja1 Pr ja2axbxay byazbz两向量之间的夹角:cos 二二a b =1a ,b cosH =axbx+ayby+azbz，是一个数量，222,2,2,2axayaz, bxbybzc = axb=ax ay bxbykaz, c =

14、 a 'b sinB.例：线速度：v = wxr.az_bz = a m b c cos« ,ot为锐角时,Czbzax ay向量的混合积：abc = (a Mb) c = bx by cx cy代表平行六面体的体积平面的方程：1、点法式:A(x-x0) B(y-y0) C(z-4)= 0,其中 n = A,B,C, M。d,y。4)2、一般方程：Ax By Cz D =03、截距世方程："丫?=ia b c平面外任意一点到该平 面的距离：d -Axo+Byo+Czo+D 、A2 B2 C2x = x° mt空间直线的方程：x0 =-一y0 =z0 =t,

15、其中s =m,n, p;参数方程：y = y0+nt m n p、z= zo + pt二次曲面：2221、椭球面：今 J = 1a b c222、抛物面： 匕=z,(p,q同号)2p 2q3、双曲面：222单叶双曲面：- J =1a b c222双叶双曲面：x-+z- =1(马鞍面)a2 b2 c2多元函数微分法及应用zz全微分：dz = dx dyFxy3：:u,3du =dx dy dzFx 2 y Fz全微分的近似计算：z dz = fx(x, y). x fy(x,y) y多元复合函数的求导法：z = fu(t),v(t)z = fu(x,y),v(x,y)dzjzdtju:z:u:z

16、 :v:v寸:z :u. z :v_:x .:u .二 x _:v .:x当u=u(x,y), v=v(x, y)时,：:u ,：:u ,du =dx dyxFy隐函数的求导公式:dv' :x：Vdx dyy隐函数F(x,y) =0,u, dx Fyd2yFxdx2fxFy隐函数 F(x,y,z) -0,微分法在几何上的应用:x =空间曲线T y N (t)在点M (x0,y0, z0)处的切线方程: z =0x -x0y -yOFz-z0 (t。)在点 M处的法平面方程：邛(t0)(x x0)+中'(t0)(y y0) +8'(t0)(z z0) =0若空间曲线方程为

17、：F(x，y，z)=°则切向量T = FyFz|FzFx|l FxFyG(x,y,z)=0,%yGz'GzGx'GxGy'曲面 F (x, y,z) =0上一点 M (xO, yoz),则：1、过此点的法向量：n =Fx(x0, y0,z0), Fy(x0,y0, ), Fz(x0, y0,z°)2、过此点的切平面方程 ：Fx(x0,y0,z0)(xx°)+Fy(x0,y0,z0)(y y°) + Fz(x0,y0,z0)(z 。)=03、过此点的法线方程:x -x0= y - y0二z-z0Fx(x0,y0,z0) Fy(x0,

18、y0,z0) Fz(x0,y0,z°)方向导数与梯度:函数z = f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为：=costP + sinP 耕；x ；:y其中中为x轴到方向l的转角。f；:f函数z= f (x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf(x,y) = i +jFxFy 内-,.-一、，一匕与方向导致的关系是：一=gradf(x,y) e,其中e = cosP i +sin中,j,为l方向上的 fl单位向量。f 是gradf (x,y)在l上的投影。Fl多元函数的极值及其求法：fyy(x0,y。) =C仅 f x ( x0 ,y0) fy(x0,y0)= 0,令：fxx(x0,y0) A, fxy(x0,y0) B ,2B2 - AC则：B2 ACA <0,(x°, y°)为极大值<0n7, j、A a0,(x0, yO)为极小值>0时，无极 值B2 - AC =0时，不确定柱面坐标和球面坐标: 曲线积分：第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)：x =*(t)设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：,x7, (otE